精品解析：河北保定市第一中学2026-2027学年高一第一学期10月考试数学试题

河北10月高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的． 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②正确； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 所以正确的个数为2个. 2. 限速50km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过50km/h，写成不等式就是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】速度不超过，写成不等式就是. 3. 下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A. π的近似值 B. 比较小的数 C. 与给定点A，B等距离的点 D. 3班的高个子同学 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义逐项判断. 【详解】对于A，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度， 该对象不具有确定性，故A中的对象不能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准， 该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“与给定点A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线， 故C中的对象能构成集合； 对于D，描述的对象“班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准， 该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由绝对值定义等价于，根据充分、必要条件定义判断结论. 【详解】因为， 所以“”可推出“”，“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 设全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， ∵， ∴阴影部分可以表示为. 6. 已知，记，，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用权方和不等式结合题设可得答案. 【详解】由权方和不等式可知， 当且仅当，即时取等号. 所以z的最小值为. 8. 已知非空集合，且若，则必有，那么所有满足上述条件的集合共有（ ）个 A. 3 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据必有，及即可列举出所有满足条件的，进而得解． 【详解】解：根据题意得： ，共7个 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，由，得，则，所以，即故A正确； 对于选项B，由，得，故B错误； 对于选项C，由，得，故C正确； 对于选项D，由，得，故D正确. 10. 下列命题中为真命题的有（ ） A. “四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B. 若是无理数，则也是无理数. C. 若，则实数的值为1或2. D. ，则的子集个数是4个. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正方形、长方形的性质及充分、必要条件的定义，可判断A的正误；代入特殊值，可判断B的正误；根据集合的确定性及互异性，可判断C的正误；根据交集的定义及子集个数的求法，可判断D的正误. 【详解】选项A：若四边形是正方形，则四边形也是长方形； 若四边形是长方形，邻边可能不相等，则不能得到四边形是正方形， 所以“四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件，故A正确； 选项B：若是无理数，则是有理数，故B错误； 选项C：若，则或， 若，则，不满足互异性，故舍去； 若，则或（舍），综上实数的值为2，故C错误； 选项D：由题意，有两个元素， 则的子集个数有个，故D正确. 11. 已知正数，满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合作差法、不等式性质求解即可. 【详解】对于A，由，得， 又，，所以，所以，即，A错误. 对于B，由基本不等式得，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为，B正确. 对于C，，当且仅当时等号成立，C正确. 对于D，因为，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，有”的否定是___________. 【答案】，有 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得出答案. 【详解】解：由全称量词命题的否定为存在量词命题， 得命题“，有”的否定是“，有”. 故答案为：，有. 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 14. 某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【详解】设矩形的长与宽分别为和，则由直角三角形内切圆半径公式可得， 即，故， 平方整理得 ， 由重要不等式得， 则 而，解得，， 当且仅当时，等号成立， 此时取得最小值746，所以矩形花园占地面积的最小值为746. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，集合，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用交集的运算，即可求解； （2）根据条件，利用补集的运算，即可求解； （3）根据条件，利用并集及补集的运算，即可求解. 【小问1详解】 因为，则. 【小问2详解】 因为，，则. 【小问3详解】 因为，，则， 又，则. 16. 已知命题关于的方程有两个不相等的实数根；命题． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若中一真一假，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不同的解，得到，再结合条件，即可求解； （2）分真假，假真，两种情况，即可求解. 【小问1详解】 若关于的方程有两个不相等的实数根，则，解得， 又为假命题，则为真命题，所以. 【小问2详解】 若真假，则，解得， 若假真，则，此时，所以实数的取值范围为. 17. 解决下列问题 （1）.已知，求的最小值； （2）.已知正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）5； （2）. 【解析】 【分析】（1）由基本不等式可解决问题； （2）由基本不等式结合“1”的妙用可解决问题. 【小问1详解】 ， 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为5； 【小问2详解】 易知， 当且仅当，即时取等号； 即的最小值为. 18. 已知，． （1）求y的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【小问1详解】 设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． 【小问2详解】 ∵，，∴，∴， 所以． 【小问3详解】 设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 19. 已知集合. （1）求证：任何奇数都是集合中的元素； （2）判断偶数是否为集合的元素？请说明理由； （3）求证：属于集合的两个元素之积仍属于集合； （4）若将集合中的正整数由小到大排列，求出集合中第个正整数． 【答案】（1）设任意奇数为，而，因此所有奇数都属于集合. （2）由题知， 当、均为奇数时，设，， 则， 因为、，故，，从而可知为的倍数； 当、均为偶数时，设，，为的倍数； 当、为一个奇数一个偶数时，不妨设为奇数，为偶数， 设，， 则为奇数. 无论哪种情况均不满足， 故偶数不是集合的元素. （3）对任意两个属于集合的元素，， 则 ， 而、，故. （4） 【解析】 【分析】（1）由任意奇数，可证； （2）由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； （3）取，，则，，计算，并结合完全平方公式可得； （4）由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 由前两问可知，的倍数和奇数属于集合A中的元素， 令集合中的正整数元素为、、， 对任意的，连续的个整数、、、中有三个数、、都在集合中， 因为，所以集合中第个元素为， 故第个元素是之后第一个属于的数，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北10月高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的． 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 限速50km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过50km/h，写成不等式就是（ ） A. B. C. D. 3. 下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A. π的近似值 B. 比较小的数 C. 与给定点A，B等距离的点 D. 3班的高个子同学 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，记，，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 25 8. 已知非空集合，且若，则必有，那么所有满足上述条件的集合共有（ ）个 A. 3 B. 7 C. 8 D. 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中为真命题的有（ ） A. “四边形是正方形”是“四边形是长方形”的充分不必要条件. B. 若是无理数，则也是无理数. C. 若，则实数的值为1或2. D. ，则的子集个数是4个. 11. 已知正数，满足，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，有”的否定是___________. 13. 集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 14. 某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，集合，求： （1）； （2）； （3）． 16. 已知命题关于的方程有两个不相等的实数根；命题． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若中一真一假，求实数的取值范围． 17. 解决下列问题 （1）.已知，求的最小值； （2）.已知正数，满足，求的最小值． 18. 已知，． （1）求y的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围． 19. 已知集合. （1）求证：任何奇数都是集合中的元素； （2）判断偶数是否为集合的元素？请说明理由； （3）求证：属于集合的两个元素之积仍属于集合； （4）若将集合中的正整数由小到大排列，求出集合中第个正整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $