吉林吉林市第一中学2026-2027学年度高一上学期第一次月考数学试题（创新班）

吉林一中2026-2027学年度高一年级第一次月考数学试题（创新班） 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B． C． D．或 4．若不等式对任意、恒成立，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 5．函数f（x）=|x3|•ln的图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知是定义在上的奇函数，且 ，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 11．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 12．定义在上的函数满足，且当时，则（   ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 13．如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．存在集合A，使得 C．若，则 D．若，则 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 14．已知函数，则函数的零点个数为________. 15．设，，若p是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______；若是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______. 16．已知函数，若，，且，则的最小值是______． 17．已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为_________． 四、解答题（本题共4小题，共62分） 18．已知函数，． (1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 19．已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． (1)求集合； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 20．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若成立的一个充分不必要条件是，求的最大值. 21．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知定义在上的函数的图象关于点对称． (1)求的值； (2)设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②用定义证明在区间上单调递增，并求在上的值域； ③在题干条件下，当时，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 吉林一中2026-2027学年度高一年级第一次月考数学试题（创新班）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B A C D A D A 题号 11 12 13 答案 AC ABC ACD 1．B 【分析】求出两集合，根据交集含义即可得到答案. 【详解】，， 则. 故选：B. 2．D 【详解】特称命题的否定，把存在量词改为全称量词，只否定后面的不等式结论， 所以命题“，”的否定是：. 3．C 【分析】先求出对恒成立的等价条件，逐项判断与前者的关系后可得正确的选项. 【详解】若，则恒成立，故符合； 若，则，故， 综上，， ABCD四个选项中，只有C中范围为的真子集， 故为对恒成立的充分不必要条件； 故选：C. 4．B 【解析】本题首先可将转化为，然后根据基本不等式即可得出结果. 【详解】因为，， 所以即，， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最大值等于， 故选：B. 5．A 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊点的函数值是否对应进行排除即可． 【详解】f（-x）=|x3|•ln=-|x3|•ln=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D， f（）=ln=ln＜0，排除C， 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键． 6．C 【分析】由幂函数的定义和奇偶性确定的值，求得，利用二次函数的单调性即可确定参数a的取值范围. 【详解】因幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意． 故，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得． 故选:C. 7．D 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 8．A 【分析】根据单调性的定义得到在上是单调递减函数，从而得到，计算得到的取值范围. 【详解】不妨设，则，，， ，在上是单调递减函数， ，， ，的取值范围是. 故选：A. 9．D 【分析】根据得到函数关于直线对称，对任意均有成立得函数在上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案. 【详解】因为函数满足，所以函数关于直线对称， 因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减. 由对称性可知在上单调递增. 因为，即， 所以，即，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查函数对称性和单调性的应用，解题的关键是得出关于直线对称，在上单调递减. 10．A 【分析】先通过构造辅助函数 ，将这个条件转化为单调性条件，再利用奇偶性，化简抽象不等式，最后利用单调性脱去函数符号，将问题转化为常规的代数不等式求解即可. 【详解】不妨令，所以，即， 令 ，即，所以在R上是增函数， 因为 是奇函数，所以 ， 则原不等式可化为： 将 代入上式： 所以 则 化简得：，所以， 即，所以，即， 故选：A. 11．AC 【解析】直接利用函数的定义求解. 【详解】A中，，定义域都为，故是同一函数； B中，定义域为，定义域为，故不是同一函数； C中，定义域都为，故是同一函数； D中，定义域为，定义域为，故不是同一函数； 故选：AC. 12．ABC 【分析】代入可得A正确；令，由奇函数的性质可得B正确；令，由函数单调性的定义集合已知可得C正确；令再结合递增函数可得D错误； 【详解】对于A，令，可得，即，故A正确； 对于B，令，可得，且定义域为，故B正确； 对于C，令，则，， 所以，所以，且当时， 所以，即， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，令，可得， 所以，即， 又函数为增函数，所以， 所以，故D错误； 故选：ABC. 13．ACD 【分析】选项A，列出集合的子集，然后得到集合，然后利用元素与集合关系判断即可； 选项B，利用集合元素的个数和子集个数的关系得到的元素个数判断即可； 选项C，利用集合的运算得出集合与集合无相同元素，然后再判断的交集即可； 选项D，利用集合元素个数和集合子集个数的关系判断即可. 【详解】若， 所以 故，选项A正确； 若一个集合有个元素，则其子集个数为个，即，显然当时，无解，故选项B错误； 若已知，则集合与集合无相同元素，故集合与集合只有唯一相同子集，所以，故选项C正确； 若，假设集合有个元素，则集合有个元素，所以集合与集合的子集个数分别为个， 即 故，所以选项D正确. 故选：ACD 14． 【分析】画出函数的图象，令，可得，求得的值，结合图象，根据交点的个数，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 令，即，令，可得， 若，令，解得或； 若，令，解得， 当时，即，此时函数和的图象有4个交点，即4个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点. 综上可得，函数的零点个数为7个. 故答案为：. 15． 或 或 【分析】先化简命题 ，再根据两命题满足的条件建立不等式求解参数即可 【详解】由可得；由可得 所以满足：或 p是的充分不必要条件，则，或，即或 则满足：或 若是q的必要不充分条件，则或，即或 故答案为：或；或 16． 【分析】求出，得到，根据函数的奇偶性，得到，利用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 由，得， 则，则， 又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 17． 【分析】根据函数的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于的最小值是，所以在上单调递减， 所以，此时单调递增， 则，整理得， 解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 18．(1) (2)当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【分析】（1）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的性质即可求解. （2）化简问题得出，对分三类讨论，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】（1）依题意，在实数集上恒成立． ①当时，，成立； ②当时，要使原不等式恒成立， 则，解得． 综上所述，实数的取值范围是． （2）不等式， 等价于， 即． ①当时，解原不等式可得或； ②当时，不等式整理为，解得； ③当时，方程的两根为，， （i）当时，因为，解原不等式得； （ii）当时，因为，原不等式的解集为； （iii）当时，因为，解原不等式得， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 19．(1) (2) (3) 或 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【详解】（1）命题为真，即存在使得成立， 二次函数的图象开口向上，故需判别式， 所以 ，解得，因此集合； （2）由得， 将代入对应方程得： ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； （3）由得，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 ，解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得： ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 20．(1)， (2) 在区间上单调递增. 证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，，， 故， 所以. 所以在区间上单调递增. (3). 【分析】（1）由题可得：，，代入函数计算即可； （2）利用单调性的定义即可证明； （3）结合奇偶性和单调性可将转化为，求出的范围，根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， 所以， 又，所以，解得， 所以，经检验满足题意. （2）略 （3）等价于， 因为是定义在上的奇函数，所以原不等式转化为. 因为，所以， 当时，,原不等式为,即，不成立， 当时，， 又因为在区间上单调递增， 所以原不等式等价于，即，解得或， 又因为，所以或. 由，得. 又因为，所以. 因为成立的一个充分不必要条件是， 所以或， 所以，解得， 所以的最大值为. 21．(1) (2)①函数的定义域为， 又，则 ， 所以的对称中心为； ②任取，且， 则， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. 所以在上单调递增，又， 所以在上的值域为. ③ 【分析】（1）根据函数的对称性计算可得； （2）①根据对称性的定义证明即可；②利用单调性定义证明，再根据所得单调性结合定义域求值域即可；③记在区间上的值域为，则.由此问题转化为讨论的值域，分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）因为的图象关于点对称， 所以， 令，得. （2）①略 ②略 ③由于对任意，总存在，使得成立， 于是问题转化为在上的值域是在上的值域的子集， 记在区间上的值域为，则 因为的图象关于点对称，当时，， 当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增， ∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， ∴满足题意； 当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出两函数的值域，再利用两函数值域的包含关系即可得到不等式组，解出即可. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $