精品解析：山东日照市北京路中学2026--2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

初三数学单元监测（一） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 －13.75 －8.04 －2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为（ ） A. 20.5＜x＜20.6 B. 20.6＜x＜20.7 C. 20.7＜x＜20.8 D. 20.8＜x＜20.9 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1+x）2＝3990 B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990 C. 1000（1+2x）＝3990 D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990 8. 关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①一元二次方程有两个相等的实数根； ②若点，，在该函数图象上，则； ③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是； ④在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点坐标为． 以上四个结论中正确的序号是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知是的反比例函数，当时，．则这个函数的解析式是__________． 12. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为______． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是______． 14. 如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时，点P坐标为____________． 15. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为______． 16. 抛物线（是常数，）， ，若有最大值9，则的值为__________． 三、解答题（本题共7小题，共72分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2）（配方法） （3）（因式分解法） （4）=0（公式法） 18. 已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． （1）求该二次函数解析式． （2）当时，求y的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 20. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 22. 已知二次函数（且为常数）． （1）若抛物线的对称轴为y轴，求a的值； （2）当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若点在该抛物线上，且，求的取值范围； 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式及D点的坐标； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学单元监测（一） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有x，y两个未知数，故不是一元二次方程； B、方程未知数最高次数为3，故不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中分母含未知数，故不是一元二次方程． 2. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的开口方向、与y轴的交点坐标、顶点坐标及增减性逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意； B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意； C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意； D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意； 故选：D． 3. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为， 故选：C． 4. 如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，是解题的关键．根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵函数图象位于第一象限， ∴． 故选：A． 5. 输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 －13.75 －8.04 －2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为（ ） A. 20.5＜x＜20.6 B. 20.6＜x＜20.7 C. 20.7＜x＜20.8 D. 20.8＜x＜20.9 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：由表格可知， 当x=20.7时，（x+8）2-826=-2.31， 当x=20.8时，（x+8）2-826=3.44， 故（x+8）2-826=0时，20.7＜x＜20.8， 故选C． 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，分情况讨论是解题的关键．根据一次函数和二次函数的性质，讨论：和的情况． 【详解】解：当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是上升的；抛物线开口向上，顶点在轴负半轴，A选项符合题意，选项B、C、D都不符合题意； 当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是下降的；抛物线开口向上，顶点在轴正半轴，选项A、B、C、D都不符合题意； 综上，A选项正确． 故选：A． 7. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A. 1000（1+x）2＝3990 B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990 C. 1000（1+2x）＝3990 D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990 【答案】B 【解析】 【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元， 依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990． 故选B． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率问题的求解. 8. 关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于的方程，再结合判别式验证即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵ ， ∴， ∴舍去， ∴的值为． 9. 已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为． 因为， 所以和时的函数值相等， 因为，当时，函数取得最大值， 所以 ， 又因为当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 解得． 故选：C． 10. 如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①一元二次方程有两个相等的实数根； ②若点，，在该函数图象上，则； ③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是； ④在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点坐标为． 以上四个结论中正确的序号是（ ） A. ②③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】解出方程的解即可判断①；利用图象开口向下，点离对称轴越近，值越大即可进行判断②；先写出平移之后的解析式，再根据沿x轴翻折，即为关于x轴对称，即可得判断③；设点的坐标为，则，求出点的坐标即可判断④． 【详解】解：①方程整理得：， 解得：， 一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确，符合题意； ②由图可得，对称轴为直线， 则，，， 抛物线图象开口向下，且， ，故②正确，符合题意； ③， 将该抛物线先向左平移1个单位得到的抛物线的解析式为：， 平移后再沿x轴翻折， 翻折后得到的抛物线表达式是，故③正确，符合题意； ④由③可得点的坐标为， 当时，， ， 设点的坐标为，则， 的面积为1， ，即， 解得：或， 点的坐标为或，故④错误，不符合题意； 以上四个结论中正确的序号是①②③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二次函数的图象与性质，熟练掌握一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知是的反比例函数，当时，．则这个函数的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设这个函数的解析式是， ∵当时，， ∴， ∴， ∴这个函数的解析式是． 12. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的含义和根与系数的关系，由a是方程的根，可得 ，由根与系数的关系可得，再代入所求表达式求解． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴ ，即， 又∵a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系，得， ∴ ． 故答案为：． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与轴的另一个交点的坐标是解题的关键． 根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时，的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，一个交点为， 根据对称性，则另一交点为， 所以，的取值范围是， 故答案为：． 14. 如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时，点P坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先利用待定系数法求出函数解析式，进而求出的坐标，连接，直线与轴的交点即为点P，求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， 连接，设直线的解析式为， 则，解得， ∴； ∵两点关于轴对称，点P是y轴上一点， ∴， ∴， ∴当点在直线上时，取得最小值， ∵当时，， ∴； 故答案为：． 15. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割数，为． 根据黄金分割的定义先求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 16. 抛物线（是常数，）， ，若有最大值9，则的值为__________． 【答案】或2 【解析】 【分析】根据题意可得，则对称轴为直线，当时，则当时，，当时，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵当时，有最大值9， ∴当时，， ∴，即， ∴； 当时，则离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，有最大值9， ∴当时，， ∴，即， ∴； 综上所述，的值为或2． 三、解答题（本题共7小题，共72分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2）（配方法） （3）（因式分解法） （4）=0（公式法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法将方程分解为两个一次因式乘积求解； （2）按配方法步骤配方后开方求解； （3）移项后提取公因式分解求解； （4）确定二次方程系数，计算判别式后代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴ 或 ， ，； 【小问2详解】 解：， 移项得 ， 配方得 ， 即 ， 开方得 ， ，； 【小问3详解】 解：， 移项得， 提取公因式得， ∴或， ，； 【小问4详解】 解：， ，，， ， ∴， ，． 18. 已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． （1）求该二次函数解析式． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【小问1详解】 解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后代入求出；然后联立和求出或6，然后将代入即可得到； （2）找出图象中直线在反比例函数图象上方时x的范围即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 20. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】（1）且. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． 【小问2详解】 解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元? 【答案】(1) y=－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15且x为整数); (2) 每件55元或56元时，最大月利润为2 400元; (3)当时，， 解得：，， ∴当时，， 当时，， ∴当售价定为每件51元或60元，每个月的利润为2200元，当售价不低于51元不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元． 【解析】 【详解】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件,得 （0＜x≤15且x为整数）； （2）把进行配方即可求出最大值，即最大利润. （3）当时，，解得：,． 当时，，当时，． 当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元． （1）（且为整数）； （2）． ∵a=-10＜0， ∴当x=5.5时,y有最大值2402.5． ∵0＜x≤15且x为整数， ∴当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+6=56，y=2400（元） ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元． （3）略 22. 已知二次函数（且为常数）． （1）若抛物线的对称轴为y轴，求a的值； （2）当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若点在该抛物线上，且，求的取值范围； 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式求解即可； （2）①把解析式化为顶点式即可得到答案；②根据二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大，则可得，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 【小问2详解】 解：①当时，二次函数的解析式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标为； ②由（2）①得二次函数的对称轴为直线，且函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点在该抛物线上，且， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式及D点的坐标； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为：，点的坐标为 （2）①②点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【小问1详解】 解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $