天津市静海区第一中学2026-2027学年高二上学期10月学生学业能力调研数学试题

静海一中2026-2027第一学期高二数学（10月) 学生学业能力调研试卷 命题人：张佳明 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第I卷基础题(120分)和第Ⅱ卷提高题(30分)两部分，含卷 面分3分，共150分。 知识与技能 学习能力（学法） 内容 空间向量与立体几何 直线的方程 易混易错 规律总结 分数 60 87 22 10 第I卷基础题（共120分） 一、选择题： (每小题5分，共45分). 1.已知直线的方程是y=√3(x+1),则该直线的倾斜角为() A. 6 C. D. 2.直线X+y=1的一个方向向量是() 42 A.(（1,2) B.(1,-2) C.(-2,1) D.(-2,-1) 3.在空间直角坐标系O-xz中，已知A(2,-1,4),B(-2,-1,-4),则点A和点B关于 () A.x轴对称 B.平面yOz对称 C.y轴对称 D.平面xOz对称 4.直线ax+y+=0与直线x+y+=0在同一坐标系中的图象可能是() B. 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第1页共8页 5.如图，空间四边形OABC中，OA=ā，OB=b,OC=c, M 点M在OA上，且OM=MA,N为BC中点，则等于() A.-1a+16 1 -a+-b+C B.1a-26+1c 322 232 1 2 1 C. 2 2 D. 6.已知直线：x+y+1=0,12:2x+4y+3=0,且1l2,则与12的距离为() A. 5 B. 5 C.5 D.5 10 5 2 7.在空间直角坐标系中，已知A(1,0,1),B(1,1,-1),C(2,2,-1),则点B到直线AC的 距离为() A.3 B.√3 C.1 D.√ 8.如果直线1经过A(2,1),B(1,m)(m∈R)两点，那么直线的倾斜角a的取值范围 是() A.0≤a≤π B.0≤s5或C<a<元 42 C.0≤&s 、元 5<<π 4 n.a 2 9.已知实数xy满足x-3y+7=0,且-1≤x≤2，则’的最小值为() X-3 A.-3 C. D.3 二、填空题：（每小题5分，共25分）. 10.在四面体O-ABC中，空间的一点M满足3OM=+上oB+0c,若M、A、 4 6 B、C四点共面，则1= 11.已知A(-2,-6),B(0,4)两点到直线1：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第2页共8页 12.在空间直角坐标系中，点A(0,2,2),点B(5,4,6),点C(2,1,1),则B在CA方 向上的投影向量的坐标为 13.在直棱柱ABC-ABCG中，D为AB,的中点，AB=BC=2,A4=1,AC=2N2则异 面直线BD与AC所成角的大小为 14.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题 可以转化为几何问题加以解决.对于任意x∈R,不等式Vx2-2x+10+Vx2-8x+17≥m 恒成立，则最大值为 三、解答题：（本大题共3小题，共50分） 15.(22分)15.根据下列条件分别写出直线的方程.并化为一般式方程. (1)求经过点(1，-1)，且倾斜角为π的直线方程； (2)已知点A(-2,1),B(4,3).求线段AB的垂直平分线的方程： (3)求经过点P(2,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. (4)经过两条直线2x-y-8=0和x+2y+1=0的交点，且平行于直线4x+3y-7=0; (5)垂直于直线3x+4y+5=0,且到点P(1,1)的距离为1. (6)针对(3)问中“截距相等”的条件，可以设方程的哪几种形式？各自有什么局 限？ 16.(13分)已知直线1的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (1)求证：不论m为何值，直线l必过定点M; (2)m为何值时，点Q(4,5)到直线的距离最大，并求最大值. (3)过点M的直线马交坐标轴正半轴于A,B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周 长 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第3页共8页 17.(15分)如图，在正方体ABCD-AB,CD中，E为BB的中点. A (1)求证：BC∥平面ADE; B C 5 (2)求直线A4与平面ADE所成角的正弦值： (3)若正方体的棱长为2，求点A到平面ADE的距离 第Ⅱ卷提高题（共30分） 18.（12分)已知直线1：x+y-2-3=0,12:2x-y-3=0 (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围： (2)若m=-1,△ABC的边AB在直线上，∠A的平分线所在直线为l2,求直线AC 的方程 19.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°， AB=AD=2,AP=4,BC=CD,AC=4W2,E为棱PD的中点. (I)求平面ABD与平面ABE夹角的余弦值： (2)M是棱PC上一点， (i)证明：平面BDM⊥平面PAC; ()平面ABM与平面ABB夹角的余弦值为，求兴的值 10 20卷面分：(3分) 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第4页共8页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 9 答案 B C C D A A C B A 7 10.12 11.0或-5 12.(4,-2,-2) 13.3 14.5 15.(1)x+y=0 (2)3x+2y-5=0 (3)2x-y=0和x+y-6=0 (4)4x+3y-6=0 (5)4x-3y+4=0或4x-3y-6=0」 (⑥)截距式或点斜式，设截距式注意截距为0需要单独讨论， 【详解】(1)过(1，-1)，斜率为-1，y+1=(&-1),所以直线的一般方程为x+y=0 (2)因为点4〔-2-)，B(4,3),中点为L1),k=3 4+23 则垂直平分线的斜率kk如=-1，则k=-3 方程为y-1=c-1),所以直线的一般方程为3x+2y- (3)设直线在两坐标轴上的截距为a,即直线过(0，a),(a,0) 当城距a=0时，直线过(Q0).及-号2，则y=2,即2-少=0： 当截距a≠0时，直线斜率k=0=-1,则y-4=-k-2),即x+y-6=0. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x-y=0和x+y-6=0, 2x-y-8=0 (4)联立 x+2y+1=0,得x=3y=-2, 设平行于直线4x+3y-7=0的直线方程为4x+3y+c=0,代入点(3，-2)， 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第5页共8页 得4×3+3×(2)+c=0,得c=-6, 所以满足条件的直线方程为4x+3y-6=0: (5)设垂直于直线3x+4y+5=0的直线方程为4x-3y+=0, 点P1,1)到直线4x-3y+m=0的距离d=m+1-1,解得m=4或m=-6, 5 所以满足条件的直线方程为4x-3y+4=0或4x-3y-6=0. 16.(1)由(2m+1)x+(+1)y-7m-4=0可得，m(2x+y-7)+x+y-4=0, 2x+y-7=0,x=3, 令 x+y-4=0y=1, 所以直线1过定点M(3,1). (2) 由(1)可知，直线1恒过定点M(3,1)。 点Q(4,5)到直线1的距离，可以看作是点Q 到经过点M的动直线1的垂线段长度。 根据几何性质，当直线1与线段MQ垂直 时，点Q到直线1的距离达到最大，此时最 大距离即为线段MQ的长度。 首先计算线段MQ的斜率kQ: k0=号=1=4 因为直线1与MQ垂直，所以直线1的斜率 内=一讽=一。 将直线1的方程 (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0化为斜 截式，其斜率为 =-2m+出 m+1 令-=-，即： 额号=}→4(2m+1)=m+1→8m+4=m+1→7m=-3→m=- 此时，点Q到直线的最大距离为MQ: 1MQ1=/(4-3)2+(5-1)2=V12+42=V17 (3)8+210 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第6页共8页 由(1)知，直线恒过定点M(3,1), 由题意可设直线l的方程为y-1=k(x-3)(k<0),直线与x轴、y轴正半轴的交点 分别为A,B, 令=0，得=1-3：令v=0,得-3花 所以AOB的面积 8---r划6P6-6 当且仅当-9g=云即k=-号时等号成立，此时408面积茶水 A(6,0),B(0,2),4B=V6+(←2)2=210， AOB的周长为6+2+2W0=8+2M0. 所以当AOB面积最小时，AOB的周长为8+210. 17.(1)ABIIC D,AB=CD,平面ABCD为平行四边形，BCAD, ,ADC平面ADE,BC1文平面ADE,.BC1∥平面ADE. (2)设正方体边长为2，以A为原点，AD为x轴，AB为 B y轴，A4为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， C D E 则A(0,0,0),D(2,0,2),E(0,2,1),4(0,0,2), B ·AD=(2,0,2),AE=(0,2,1),A4(0,0,2, 设平面ADE的法向量为n=(x,y,), 则 ADi=0∫2x+2z=0 AE.=0 9{2+2=0，令z=-2,则x=2y=1,i=(2,1-2列， 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第7页共8页 设直线A4与平面ADE所成角为6，则sin6=cos元A4 n.AA A4 2×3 (3)正方体棱长为2，同(2)中假设， ∴.AD=（2,0,2),AE=(0,2,1),A40,0,2,平面ADE的法向量1=(2,1，-2)， 元-AA ·点A到平面ADE的距离d= 4 4 V2+12+(-2 23 18.(1) (2)7x-y-13=0 【详解】(1)当m=0时，直线的方程为x-3=0,符合题意； 当m0时，直线的方程为y=-1x+2+3 3 ≥0 n 3 则 3x3 ,解得-二≤m<0 ≤0 2 综上，实数m的取值范围是 . (2)当m=-1时，{的直线方程为x-y-1=0, 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第8页共8页 已知边AB在直线l1上，∠A的平分线所在直 线为l2:2x-y-3=0。 由对称性可知，直线AC与直线AB关于直线 l2对称，即直线AC是直线l1关于直线l2的对 称直线。 联立11与l2的方程 x-y-1=0 2x-y-3=0 解得交点A的坐标为(2,1)。 在直线l1上取一点B(0,-1),设其关于直线 l2的对称点为C(x0,0)。 由对称性质可得： ∫日=- x0-0 2·号-w2-3=0 2》 解得x0=8,0=-号，即C(g,-)。 直线AC经过点A(2,1)和点C(,-) 其斜率为： kAC=司 =7 所以直线AC的方程为： y-1=7(x-2) 化简得直线AC的方程为7x-y-13=0。 19.(1) ·坐标系建立：以A为原点，AB、AD、AP 分别为工、、z轴，得： ·A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0), P0,0,4),E0,1,2)(PD中点)。 ·法向量求解 ·平面ABD法向量： n1=AB×AD=(0,0,4),取单位方向 n1=(0,0,1)。 ·平面ABE法向量：由AB=(2,0,0), AE=(0,1,2),解得n2=(0,-2,1)。 ·夹角余弦 cos0=n nal=l1l=v5 nln2l V5 5 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第9页共8页 (2)()证明：平面BDM⊥平面PAC ·确定点C坐标 ·由BC=CD且AC=4√2，结合几何 对称性，得C(4,4,0)。 ·关键垂直关系： ·BD=(-2,2,0),AC=(4,4,0), AP=(0,0,4)。 ·计算点积： ·BD·AC=0→BD⊥AC ·BD·AP=0→BD⊥AP ·因AC∩AP=A,故BD⊥平面PAC。 ·又BDC平面BDM,因此平面BDM⊥ 平面PAC。 （3》设=元∈0，]，即Pm=P沁，由 PC PM=2PC=元(4,4，-4)=(42,42，-42)，AP=(0,0,4), 所以AM=AP+PM=(0,0,4)H(4元42-424元4元，4-42)， 设平面ABM的法向量为i=(a,b,c), m.AB=2a=0 所以 m:M=4a+4b+(4-42=0’令c=元，得m=(02-1, 所以cosm= m 2-九 7迈 m同V5x2-1+元210' 化简整理符：恩平-582+9=0，解得2=号或 9 所以存在点M,当P或9时，使得二面角M-AB-2的余弦值为5 PC4×22 10 高二数学(10月)学生学业能力调研试卷第10页共8页