精品解析：天津市静海区第一中学2025-2026学年高二上学期10月学生学业能力调研数学试卷

静海一中2025-2026第一学期高二数学（10月） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第I卷基础题（115分）和第II卷提高题两部分，卷面分3分，共150分. 知识与技能 学习能力（学法） 内容 空间向量与立体几何 直线的方程 易混易错 总分 分数 61 55 31 150 第I卷 基础题（共115分） 一、选择题：（每小题5分，共45分）. 1. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)； 故选：D 2. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 3. 直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出的倾斜角及斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即， 则直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是． 故选：A. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 6. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 7. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 8. 已知点和点，直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】得到所过的定点，考虑直线的斜率不存在和斜率存在，数形结合得到实数的取值范围. 【详解】直线变形为，所以过定点， 当时，直线的斜率不存在，与线段有交点，满足题意， 当时，直线的斜率为， 其中，， 结合图象，可知当且时，与线段有交点， 解得：且， 综上：实数的取值范围是， 故选：A 9. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. 平面上存在定点使得的长度为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 点到直线的距离的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】确定动点的轨迹，结合轨迹判断A、D；结合基本不等式判断B、C. 【详解】由直线方程可得，因为，所以两条动直线垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆. 由，知圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为. 对于A：若定点为圆心，则的长度为定长，即圆半径，A正确； 对于B：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，B正确； 对于C：，当且仅当时取等号，C正确； 对于D：点的轨迹是以为直径的圆，所以点到直线的距离的最大值是圆的半径，D错误. 故选：D. 二、填空题：（每小题5分，共25分）. 10. 已知两条平行直线与间的距离为4，则的值为___________ 【答案】-2 【解析】 【分析】由两平行线间的距离公式计算求解. 【详解】由已知得，所以，解得或， 又，所以. 故答案为：. 11. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 12. 平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到平面的距离公式即可求解. 【详解】因为，，， 所以点到平面的距离. 故答案为： 13. 已知在直线上，则的最小值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 14. 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，为等腰直角三角形，，，，则异面直线AB与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由于，所以或其补角为异面直线AB与所成的角，取AC的中点D，再结合已知可得，再.取的中点E，可证得，从而可求出，在中利用余弦定理可得的余弦值，也可建空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【详解】解法一：在三棱柱中，，所以或其补角为异面直线AB与所成的角.取AC的中点D，连接，BD，因为为等腰直角三角形，D是AC的中点，所以，又，所以.因为四边形为菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC.取的中点E，连接，CE，易知，，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面ABC，即平面，又平面，所以.连接，在中，，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以异面直线AB与所成角的余弦值为. 解法二：取AC的中点D，连接，BD，因为为等腰直角三角形，，D是AC的中点，所以，.又四边形为菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC，所以以D为坐标原点，以DB，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以异面直线AB与所成角的余弦值为. 故答案为： 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力和空间想象能力，属于中档题. 三、解答题：（本大题共3小题，共45分） 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边和所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线的方程. （4）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. （5）在解决上述关于直线方程的问题时，我们运用了多种求直线方程的方法，如点斜式、截距式，还涉及到直线垂直时斜率的关系等知识.请结合这些问题，总结一下求直线方程的常见方法以及在不同条件下如何选择合适的方法 【答案】（1） （2） （3） （4）或 （5） 求直线方程的常用方法：直接法和待定系数法. 方法选择建议：（1） ‌已知斜率和一点‌：优先用点斜式；（2）‌已知斜率和截距‌：直接使用斜截式；（3）‌已知两点‌：用两点式，需注意垂直坐标轴的情况；（4）‌已知截距‌：用截距式，但需排除截距为的情况；（5）‌无特殊条件或需统一形式‌：化为一般式，并确保‌。 【解析】 【分析】（1）由两点式或点斜式求解； （2）由两点式或点斜式求解； （3）求出中点，由点斜式求解； （4）由点斜式求解； （5）略. 【小问1详解】 解法1：由两点式得边所在直线方程为， 即. 由截距式得边所在直线方程为，即. 解法2：因为，所以边所在直线方程为， 即. 因为，所以边所在直线方程为， 即. 【小问2详解】 设的中点为，由中点坐标公式可得， 因为，所以垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为，即. 【小问3详解】 因为，所以高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为， 即. 【小问4详解】 若直线在两个坐标轴上的截距为，则直线过原点， 方程为，整理得，即； 若直线在两个坐标轴上的截距不为0，设为， 代入，得，解得， 所以方程为，即. 【小问5详解】 略 注意事项： （1）使用点斜式或斜截式时，需先讨论斜率是否存在；（2）截距式不能表示过原点的直线或垂直于坐标轴的直线；（3）最终方程若无特殊要求，建议化为一般式。 16. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由，即， 则，解得，所以直线过定点. 【小问2详解】 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 17. 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明: 因为直角梯形，，，， 则，则 ，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再根据即可求出； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，再利用公式计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，为基底建立空间直角坐标系， 则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 第II卷 提高题 18. 已知直线和点. （1）在直线上求一点，使的值最小； （2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程. （3）已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）全称点关于直线的对称点，可知点即直线与直线交点； （2）直线与直线的位置关系有两种，讨论求方程； （3）由中线求出点坐标，由角平分线求出点A的对称点，由、求直线方程. 【小问1详解】 设点关于直线的对称点为， 根据对称点的性质，直线MM'与直线垂直，且MM'的中点在直线上， 直线的斜率为，因为两直线垂直斜率之积为，所以①， 又因为MM'的中点在直线上，所以②， 联立①②，解得，，所以， 连接M'N，与直线的交点即为所求的点，此时，根据两点之间线段最短，的值最小， 已知，，根据两点式可得直线M'N的方程为，即， 联立直线M'N与直线的方程，解得，， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线.因为直线斜率为3，故方程为，即. ②直线过中点.中点为，又直线经过点，所以直线方程为. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 设（因在角平分线上），则中点. 中线过，代入得， 解得，故. 设关于的对称点则，解得， 所以，由角平分线性质知在上. 因为，所以直线方程为， 整理得. 19. 如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点. （1）当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）（i）设平面的法向量为，， 则 解得 令，得. 因为， 所以. 又平面， 所以平面. （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）证明与平面的法向量垂直；（ii）由线面角的空间向量求法求解； （2）设，由两个平面夹角的空间向量求法求出. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，. （1），由， 可得， . （i）略 （ii）， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 ，设， 则， 设平面的法向量为， 则 取，则， 则 化简得：， 解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2025-2026第一学期高二数学（10月） 学生学业能力调研试卷 考生注意： 本试卷分第I卷基础题（115分）和第II卷提高题两部分，卷面分3分，共150分. 知识与技能 学习能力（学法） 内容 空间向量与立体几何 直线的方程 易混易错 总分 分数 61 55 31 150 第I卷 基础题（共115分） 一、选择题：（每小题5分，共45分）. 1. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 2. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 3. 直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 6. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 7. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点和点，直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. 平面上存在定点使得的长度为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 点到直线的距离的最大值为 二、填空题：（每小题5分，共25分）. 10. 已知两条平行直线与间的距离为4，则的值为___________ 11. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 12. 平面α的一个法向量，点在内，则平面外点到平面的距离为_____． 13. 已知在直线上，则的最小值为_______． 14. 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，为等腰直角三角形，，，，则异面直线AB与所成角的余弦值为_______. 三、解答题：（本大题共3小题，共45分） 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边和所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线的方程. （4）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. （5）在解决上述关于直线方程的问题时，我们运用了多种求直线方程的方法，如点斜式、截距式，还涉及到直线垂直时斜率的关系等知识.请结合这些问题，总结一下求直线方程的常见方法以及在不同条件下如何选择合适的方法 16. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 17. 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 第II卷 提高题 18. 已知直线和点. （1）在直线上求一点，使的值最小； （2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程. （3）已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程； 19. 如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点. （1）当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $