江西省九江第一中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情自测

初三数学 满分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1．下列性质中，矩形不具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．对边平行且相等 2．以下属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 3．学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（ ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．以正方形的边为边作等边三角形，则的度数为（ ） A． B．或 C．或 D． 6．如图，，矩形的顶点，分别在、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中，点到点的最大距离为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7．若是关于的一元一次方程，则________． 8．一元二次方程的一个解为，则________． 9．如图，菱形的面积为，对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，则的长为________． 10．已知三角形三边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是________． 11．数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的值为________． 12．如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为________ 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．解方程： （1） （2） 14．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，原方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根为矩形的两条邻边的长，当为何值时，矩形为正方形？求出这个正方形的边长． 15．已知四边形是正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，在正方形中，点，分别在边，上，且，请在边，上分别确定点，，使四边形为矩形； （2）如图②，对角线，相交于点，，，，分别是对角线，上的点，且是内嵌于正方形的正八边形的四个顶点，请作出完整的正八边形． 16．如图，菱形，是的中点，且，． （1）求的度数； （2）求对角线的长． 17．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 ， 琪琪同学 ，， ∴原方程无实数根 （1）你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法________，琪琪同学的解法________（填“正确”或“错误”）； （2）请选择合适的方法解一元二次方程： 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19．某超市以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式． （2）若超市要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 20．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； 22．定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）若方程①与其“换位方程”有公共根，求这个公共根及的值． 六．解答题（本大题12分） 23．综合与实践 （1）如图，已知正方形，点在的延长线上，以为边构造正方形，连接和，则和的数量关系为________，位置关系为________． （2）如图，若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、 ①请判断线段和有怎样的关系，并说明理由； ②连接，若，求长． （3）在（2）的条件下，点在边上运动时，则的最小值为________（直接写答案） 学科网（北京）股份有限公司 $