精品解析：浙江省杭州启正中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试题

2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区启正中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，解决本题的关键是根据轴对称图形的概念进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故A选项不符合题意； B选项：图标沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合， 这个图标不是轴对称图形， 故B选项符合题意； C选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故C选项不符合题意； D选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故D选项不符合题意． 2. 在数轴上表示不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解题的关键． 把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限的判断，掌握各象限点的坐标符号是解题关键；根据第二象限点的特征：横坐标为负，纵坐标为正判断即可． 【详解】解：第二象限的点满足且， 选项A：，，，在第一象限； 选项B：，，，在第三象限； 选项C：，，，在第二象限； 选项D：：，，在轴上，不属于任何象限； 故选C． 4. 能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出各选项角的度数，进而可得出结论． 【详解】解：A、是锐角，不符合题意； B、与是两个锐角，不符合题意； C、是锐角，不符合题意； D、是钝角，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知反例的定义是解题的关键．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例． 5. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向；据此逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原式不成立，不符合题意； B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； C、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； D、由，可得，原式一定成立，符合题意； 故选：D． 6. 在中，，，的对边分别为a，b，c．能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，，， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理逆定理及等腰三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理、三角形内角和及等腰三角形的性质可进行排除选项． 【详解】解：A、由，，可知：，故不是直角三角形； B、由，，可知：，故是直角三角形； C、由可设，则有，解得，所以，故不是直角三角形； D、由，可知：，故不是直角三角形； 故选B． 7. 用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP，射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（ ） A. m>0，n>0 B. m>0，n<m； C. m>0，n<DE D. m>0，n>DE 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的画法判断即可． 【详解】解：作∠ABC的平分线的步骤如下： ①以B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E，即m＞0； ②分别以D，E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P，即n＞DE； ③画射线BP． 射线BP即为所求． ∴m＞0，n＞DE， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，属于中考常考题型． 8. 在同一平面直角坐标系内，已知点，，下列结论正确的是（ ） A. 线段 B. 直线轴 C. 点A与点B关于y轴对称 D. 线段AB的中点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的特点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．∵点，，纵坐标相同，横坐标不同， ∴直线轴，故B正确，符合题意； C．点A关于y轴的对称点为，故C错误，不符合题意； D．线段AB的中点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特点，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的特点． 9. 小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车.依据下图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（ ） 每人使用各种交通工具每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤 A. 310天 B. 309天 C. 308天 D. 307天 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设改搭公交车上下班天，利用减少产生的碳排放量每天减少产生的碳排放量改搭公交车上下班的天数，结合减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设改搭公交车上下班天， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为308， 至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量． 故选：C． 10. 如图，在中，，点D，E分别在上，，记长为x，长为y，．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，在上截取，过B作于H，则，证明和全等得，则，由勾股定理得，则，整理得，由此即可得出答案． 【详解】解：在上截取，过点B作于点H，如图所示： ∵长为x，长为y， ∴， ∴， ∵，点D，E分别在上，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变，始终等于19． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【解析】 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 12. 点在第四象限，则a的取值范围是______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据第四象限点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，列出不等式组求解 【详解】解：点在第四象限， 则横坐标，纵坐标， 解得：，， 所以a的取值范围为． 故答案为：． 13. 小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是______本． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔，根据小滨买笔记本和水笔的钱数最多为元，可列不等式，不等式的解集为，因为笔记本的数量只能为正整数，所以的值应在解集中取最大整数． 【详解】解：设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔， 根据题意可得：， 解得：， 为正整数， ， 答：小滨最多能买的笔记本数是本． 故答案为： ． 14. 在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据点的平移规则，向左平移横坐标减少，向上平移纵坐标增加，计算即可． 【详解】解：点向左平移3个单位，得到点，即； 再向上平移3个单位，得到点，即； 故答案为：． 15. 《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在钝角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为36，J是边上靠近点B的三等分点，，记正方形的面积为，正方形的面积为，当的度数发生变化时，的值为______  ． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意可得，，，由，得到，再代入求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为36， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∵J是边上靠近点B的三等分点 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 数学社团课上，老师拿出一张（其中，）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在边上找一点，沿向右折叠使点落在边上，铺平；第二步，在边上找一点，沿着折叠使落在边上，铺平；第三步，在边上找一点和边上找一点，沿着折叠使点落在点处，铺平；若最后测得恰好，则______  ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的翻折及其性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理等知识，设，根据第三步折叠得是的垂直平分线，则，进而得，根据第一步折叠得是直角三角形，进而得，再根据得，由此得，然后根据第二步折叠得，据此得，再根据三角形的外角性质得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，继而得，据此可得的值，熟练掌握图形的翻折及其性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵第三步，沿着折叠使点落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵第一步，沿向右折叠使点落在边上， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在，中， ∴， ∴， ∴， ∵第二步，沿着折叠使落在边上， ∴， ∴， 解得: ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式（组）： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法，求一元一次不等式组的解集就是要找不等式组中不等式的解集的公共部分． 根据解不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为解不等式，系数化为时要注意不等号的方向是否需要改变； 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找到这两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为：； 【小问2详解】 解： 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解是． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标． （2）求出的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； 点的坐标为； （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查作已知图形的轴对称图形和求网格中三角形面积． （1）根据关于y轴对称的性质分别求得对应点，顺次连接即可求得对称图形； （2）利用割补法求解即可求得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为． 19. 已知点，分别根据下列条件，求点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P在过点且与x轴平行的直线上； （3）点P到两坐标的距离相等． 【答案】（1）P； （2）P； （3）P或． 【解析】 【分析】（1）y轴上的点的横坐标为0，从而可求得m的值，则问题可解； （2）若点P在过点且与x轴平行的直线上，则点P的纵坐标为，从而可求得m的值，则问题可解； （3）点P到两坐标轴的距离相等，分两种情况：①当时，②当时，分别求得m的值，则点P的坐标可得． 【小问1详解】 解：∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴P； 【小问2详解】 解：∵点P在过点且与x轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴P； 【小问3详解】 解：∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴①当时，， ∴，， ∴P； ∴②当时，， ∴， ∴P． 综上所述，当点P到两坐标轴的距离相等时，P或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质特点，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键． 20. 已知：如图，在四边形中，，，点是中点，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，点是中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等量代换，可得，证明，可得，即可证得结论； （2）由全等三角形的性质，可得，，与的交点记为点，由等腰三角形的性质，可得，由三角形外角的性质，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，从而可得，证明，可得，即可得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 与的交点记为点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，含角的直角三角形，勾股定理，三角形的高相关的计算． 21. 小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： （1）小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． （2）小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】（1）例如：，，，，，得到． （2） 证明：∵， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 23. 一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和．且，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？ （3）秋千静止时点离地面的高度是多少？ 【答案】（1） 与全等，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再求出，然后根据定理即可得； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据求解即可得； （3）先利用勾股定理可得，则，再根据求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：，，， 由（1）已证：， ∴，， ∴， 答：小启爸爸是在距离地面的地方接住小启的． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：秋千静止时点离地面的高度是． 24. 如图1，在中，，点是线段上的任意一点，在的延长线上取一点，使得． （1）若，，求的度数． （2）若，求证：． （3）如图2，当点是线段的中点时，满足，若，求线段的长． 【答案】（1） （2） 证明：，，， ， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等边对等角，三角形的内角和以及三角形的外角性质，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质得出，进而得出，根据已知，等量代换得出，根据等角对等边得出，根据已知，即可得证； （3）过点作与点，设，则，在，，，勾股定理分别求得，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作与点， ， ∴， ， ， ， ， 是的中点，设，则， ， 在中，，解得， 在中，，解得， 在中，，解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区启正中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 4. 能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，的对边分别为a，b，c．能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，，， C. D. ， 7. 用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP，射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（ ） A. m>0，n>0 B. m>0，n<m； C. m>0，n<DE D. m>0，n>DE 8. 在同一平面直角坐标系内，已知点，，下列结论正确的是（ ） A. 线段 B. 直线轴 C. 点A与点B关于y轴对称 D. 线段AB的中点坐标为 9. 小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车.依据下图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（ ） 每人使用各种交通工具每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤 A. 310天 B. 309天 C. 308天 D. 307天 10. 如图，在中，，点D，E分别在上，，记长为x，长为y，．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 12. 点在第四象限，则a的取值范围是______  ． 13. 小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是______本． 14. 在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ______ ． 15. 《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在钝角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为36，J是边上靠近点B的三等分点，，记正方形的面积为，正方形的面积为，当的度数发生变化时，的值为______  ． 16. 数学社团课上，老师拿出一张（其中，）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在边上找一点，沿向右折叠使点落在边上，铺平；第二步，在边上找一点，沿着折叠使落在边上，铺平；第三步，在边上找一点和边上找一点，沿着折叠使点落在点处，铺平；若最后测得恰好，则______  ． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式（组）： （1）； （2） 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标． （2）求出的面积． 19. 已知点，分别根据下列条件，求点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点P在过点且与x轴平行的直线上； （3）点P到两坐标的距离相等． 20. 已知：如图，在四边形中，，，点是中点，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 21. 小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： （1）小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． （2）小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 22. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 23. 一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和．且，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？ （3）秋千静止时点离地面的高度是多少？ 24. 如图1，在中，，点是线段上的任意一点，在的延长线上取一点，使得． （1）若，，求的度数． （2）若，求证：． （3）如图2，当点是线段的中点时，满足，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $