精品解析：山东省枣庄市第一中学2026-2027学年高二上学期10月学情检测数学试题

2026-2027学年度高二数学十月份学情检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 姓名_______ 班级_______ 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷 一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果. 【详解】点关于坐标原点的对称点是 故选：A 2. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两直线平行的条件求解． 【详解】时，显然两直线不平行， 时，由两直线平行得，解得． 故选：B． 【点睛】易错点睛：本题考查由两直线平行求参数，掌握分类讨论，一个方程中各系数为0和不为0两种情形，有一个系数为0可直接验证，系数均不为0时用的系数比例相等求解，这样求出参数后代入方程检验，否则易出错． 3. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误； 对于B，的单位向量为，所以B错误； 对于C，，所以， 所以C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确． 故选：D 4. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 5. 在平面直角坐标系中，直线绕它与轴的交点按顺时针方向旋转所得的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出直线与轴的交点的坐标，再求出把它按顺时针方向旋转所得的直线的斜率，用点斜式求出旋转后直线的方程． 【详解】直线即，与轴的交点为，斜率为，所以倾斜角为. 将其绕点顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以所得直线的斜率为. 由点斜式，所得直线方程为：，即，也就是. 故选：C 6. 已知点，若直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过定点后，再分别计算出直线过点、点时的斜率即可得. 【详解】，令，解得， 故直线过定点， 则，， 故该直线斜率的取值范围. 故选：B. 7. 正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 8. 在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，中点，连接，，，取中点，连接，推导出平面平面，从而的轨迹是线段，建立空间之间坐标系后，利用空间向量求解异面直线夹角的余弦值，即可得角度范围. 【详解】解：取中点，中点，连接，，，取中点，连接， 在正方体中，是棱的中点， ，，， ，， 平面平面， 是底面内（包括边界）的一个动点，平面， 的轨迹是线段， 如图，以D为原点，为轴建立空间之间坐标系，设正方体棱长为2 则，，，， 由于在线段上，设，且 所以 则 ，又 所以 由于，所以 所以异面直线与所成角的取值范围. 故选：C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以不平行，故A错误； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：， ，则，故C正确； 对于D：与夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 10. 如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（ ） A. 与所成的角为 B. C. D. 与平面所成的角为 【答案】AB 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，再应用异面直线的余弦公式计算判断A，应用数量积公式计算判断B，应用模长公式计算判断C，应用线面角正弦计算判断D. 【详解】以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，，， 所以，， 所以与所成的角为，，. 平面的一个法向量为，设与平面所成的角为， 所以，所以A，B正确，C，D错误. 故选:AB. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行y轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用直线的方程与斜率逐一进行判断． 【详解】解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错误； 对于B，当时，方程表示平行y轴的直线，故正确； 对于C，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错误； 对于D，，直线的斜率存在，可写成，故正确； 故选：BD． 12. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是 D. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正切函数的图象判断选项AC的真假； B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误； 举反例说明选项D错误. 【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误； B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误； C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是，所以该选项正确； D. 若直线的斜率为，则但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误. 故选：ABD 第II卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分. 13. 若，，三点共线，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由转化为坐标运算可得答案. 【详解】因为，，三点共线， 所以，即， 所以，解得，即. 故答案为：. 14. 直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】因为直线的方向向量坐标为， 所以直线的斜率为， 设直线倾斜角为，，则，解得， 所以，直线的倾斜角为 15. 已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____ 【答案】8 【解析】 【分析】两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式，把目标式子化成，运用基本不等式求得最小值. 【详解】设直线的斜率为，， 直线的斜率为，， 两条直线垂直，，整理得：， ， 等号成立当且仅当，的最小值为. 【点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想. 16. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，该半正多面体中与所成的角是的棱有_______条，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设原正方体棱长为，进而在正方体中截出该图，再结合正三角形与异面直线的知识求解第一问；建立空间直角坐标系，利用坐标法求解第二问. 【详解】设原正方体棱长为，截去八个全等三棱锥得到截角正方体（阿基米德半正多面体），该多面体共条棱，所有棱长度相等. 与成的棱有和与面相对的面上的还有和与面相对的面上的共16条 建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以; 又设， 则. 令则 所以 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点Q． （1）求交点Q的坐标； （2）若直线l经过点Q，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标； （2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出方程，代入点Q坐标，求出直线方程. 【小问1详解】 联立直线与直线， 得到，解得：，则； 【小问2详解】 ①当截距为0时，直线l过原点，设， 将代入，则，这时直线l为x－2y = 0； ②当直线l截距都不为0时，设， 将代入，则m = 3，故直线为． 综上，直线l的方程为：或. 18. 如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果； （2）把用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以 . 19. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由直线方程的两点式得 ，即. 【小问2详解】 设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. 【小问3详解】 设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 20. 如图，在多面体ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形，. （1）证明：平面BCD. （2）求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明： 取CD的中点F，连接EF，BF. 因为是边长为2的正三角形，所以，且. 因为平面平面BCD，且平面平面，平面ECD， 所以平面BCD. 因为平面BCD，所以. 因为，所以四边形ABFE为平行四边形， 所以. 因为平面BCD，平面BCD，所以平面BCD. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质得线线平行，利用线面平行判定定理求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 过点B作，以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，，. 设平面ACE的法向量为， 则， 令，得. 设平面BDE的法向量为， 则， 令，得. 设平面ACE与平面BDE的夹角为， 则. 21. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【小问1详解】 如图所示：设的边上的高为，边上的高为， 设：，：，联立得， 解得，所以垂心； 【小问2详解】 ， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. 【小问3详解】 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 22. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； 【小问3详解】 设，则，,, 得，， 设平面的一个法向量为， 由于与平面所成角的正切值为， CQ与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二数学十月份学情检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 姓名_______ 班级_______ 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷 一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 4. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，直线绕它与轴的交点按顺时针方向旋转所得的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，若直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 10. 如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（ ） A. 与所成的角为 B. C. D. 与平面所成的角为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行y轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程为 12. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是 D. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 第II卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分. 13. 若，，三点共线，则___________. 14. 直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为__________. 15. 已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____ 16. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，该半正多面体中与所成的角是的棱有_______条，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为_________. 四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点Q． （1）求交点Q的坐标； （2）若直线l经过点Q，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 18. 如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 20. 如图，在多面体ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形，. （1）证明：平面BCD. （2）求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值. 21. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 22. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $