精品解析：江西师范大学附属中学、南昌启华双语学校2026-2027学年高一上学期10月素养训练数学试题

高一数学限时训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合所有小于10的正偶数，，则（ ） A. B. C. D. 3. 《道德经》中写道：“合抱之木，生于毫末．”可以理解为长成合抱大树，始于细小的萌芽．据此推断，“有细小的萌芽”是“长成合抱大树”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，，则必有（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 25 C. 36 D. 48 7. 设集合且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 《礼记·中庸》中写道：“辟如天地之无不持载，无不覆帱．辟如四时之错行，如日月之代明．”若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成覆帱；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称这两个集合构成错行．已知，是集合的两个非空子集，则所有构成错行的集合对的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是全称量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B. 所有大于的平方数都是合数 C. ， D. 在任意一组勾股数中，至少有一个偶数 10. 若实数、、满足，且，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若“”是“”的充要条件，则________． 13. 集合的所有非空子集的元素之和的总和为________． 14. 若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，证明：． 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若中恰有3个整数元素，求的取值范围； （3）若，且对任意的，都有，求的取值范围． 17. 如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． （1）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ （2）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 18. （1）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，求关于的不等式的解集． 19. 已知非空数集，定义集合的“差值集”为． （1）若集合，求，并求出的所有子集的个数． （2）若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． （3）若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学限时训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称性量词命题的否定规律求解即可. 【详解】若原命题：；则命题的否定为. 故命题“，”的否定是“，”. 2. 已知集合所有小于10的正偶数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，所以． 3. 《道德经》中写道：“合抱之木，生于毫末．”可以理解为长成合抱大树，始于细小的萌芽．据此推断，“有细小的萌芽”是“长成合抱大树”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】长成合抱大树，始于细小的萌芽；但有细小的萌芽，未必长成合抱大树， 所以“有细小的萌芽”是“长成合抱大树”的必要不充分条件，故B正确. 4. 若，，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】取，则，A错误， 取，则，B错误． 取，，D错误． 因为，所以，C正确． 5. 如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】中间部分的阴影部分表示集合为，外围阴影部分表示的集合为， 所以图中阴影部分表示的集合为． 6. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 25 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的妙用，将原式转化为，再利用基本不等式求最小值即可 . 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立． 7. 设集合且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数整体配凑法求解：先将目标式用已知范围的两个线性式子线性表示，通过系数对应相等求出配凑系数；再结合不等式性质整体求出目标式的取值范围，最后依据全称、存在量词的定义，逐一判定选项即可. 【详解】设，则， ∴ 解得 ∴． ∵，， ∴， 选项A：， 最小值为，集合内所有元素均满足，正确； 选项B：， 最小值是，不存在，错误； 选项C：， 最大值为22，可取，错误； 选项D：， 最大值，不存在，错误. 8. 《礼记·中庸》中写道：“辟如天地之无不持载，无不覆帱．辟如四时之错行，如日月之代明．”若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成覆帱；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称这两个集合构成错行．已知，是集合的两个非空子集，则所有构成错行的集合对的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 根据题意可得，且互不为对方的子集，则共有以下6种情况． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是全称量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B. 所有大于的平方数都是合数 C. ， D. 在任意一组勾股数中，至少有一个偶数 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A选项，命题“，”为全称量词命题， 因为，，所以，A正确； 对于B选项，命题“所有大于的平方数都是合数”为全称量词命题， 所有大于的平方数都是合数，不妨取正整数， 则至少有三个约数、、，故为合数，B正确； 对于C选项，命题“，”为存在量词命题，C错误； 对于D选项，命题“在任意一组勾股数中，至少有一个偶数”为全称量词命题， 假设、、是任意一组勾股数，且， 假设、、都是奇数，则、、都是奇数，为偶数，等式不成立， 即假设不成立，故、、中至少有一个是偶数， 即在任意一组勾股数中，至少有一个偶数，D正确． 10. 若实数、、满足，且，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】因为实数、、满足，且，则， 所以二次函数的图象与轴的交点位于轴的负半轴，排除B选项； 对于二次函数， ， 所以二次函数的图象与轴必有两个交点，排除C选项, 因为，即，可得，故二次函数的图象开口向上，二次函数图象的对称轴为直线，其符号无法确定，AD选项都符合. 11. 已知，，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，通过移项和因式分解得到的取值范围，再利用等式将双变量问题转化为单变量问题，结合基本不等式依次判断即可. 【详解】对于A，由，得，因为，所以，且， 因为，所以，则，故A正确； 对于B，由A得，所以， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为，B错误； 对于C，由，得， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 由，解得，故C正确； 对于D，由A得，则， 设，则，当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最小值，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若“”是“”的充要条件，则________． 【答案】4 【解析】 【详解】由，得， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得． 13. 集合的所有非空子集的元素之和的总和为________． 【答案】 【解析】 【分析】写出其所有非空子集，再计算其元素之和即可. 【详解】集合的非空子集分别是： 所求总和为． 14. 若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】由方程在上有两个不同的实根，可得： 解得， 即的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，比较与的大小； （2）已知，，，证明：． 【答案】（1） （2）证明：（方法一）． 因为，所以． 又，所以， 所以，即． （方法二）由，得． 又，所以， 则． 又，所以． 【解析】 【分析】（1）应用作差法计算比较大小； （2）方法一：应用作差法计算证明不等式；方法二：应用不等式性质计算证明不等式. 【详解】（1）． 因为，所以．又，所以， 所以． （2）略 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若中恰有3个整数元素，求的取值范围； （3）若，且对任意的，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 当时，，， 所以，故； 【小问2详解】 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，因为中恰有3个整数元素， 所以，，，， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 因为对任意的，都有，所以． 因为，所以，， 由，得， ，即的取值范围为． 17. 如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． （1）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ （2）试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 【答案】（1）当矩形图案的长、宽均为时，可使整个画报的周长最小，且最小值是． （2）当矩形图案的宽为，长为时，可使整个画报的面积最小，且最小值是． 【解析】 【分析】（1）设图案的长为、宽为，由面积得，将海报周长表示为的函数，利用基本不等式求最小值及取等条件； （2）将海报面积表示为、、的表达式，代入后转化为关于的函数，再用基本不等式求最小值及取等条件. 【小问1详解】 设矩形图案的长为，宽为，则，画报的宽为，长为． 画报的周长（单位：cm）， 当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的长、宽均为时，可使整个画报的周长最小，且最小值是． 【小问2详解】 画报的面积（单位：） ，当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的宽为，长为时，可使整个画报的面积最小，且最小值是． 18. （1）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）或； （2）当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由已知不等式的解集确定二次方程的两根及开口方向，利用韦达定理求出与的关系，代入所求不等式后解一元二次不等式即可； （2）按、分类，再根据判别式和开口方向分情况讨论：开口向下且或对称轴在左侧时恒成立，开口向上时求出正根确定解集. 【详解】（1）由题意可知方程的两个解为，且， 即，则， 关于的不等式即为． 因为，所以，解得或， 故所求不等式的解集为或. （2）若恒成立，则． 若，对于二次函数，． 当时，，二次函数的图象开口向下， 在上恒成立， 此时关于的不等式的解集为． 当时，，二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线， 因为对称轴在左侧，且开口向下，在上随的增大而减小， 又时，故在上恒成立，解集为； 当时，，二次函数的图象开口向上， 对称轴为直线，在上随增大而增大， 令，得或． 因为，所以， 此时关于的不等式的解集为． 故当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 19. 已知非空数集，定义集合的“差值集”为． （1）若集合，求，并求出的所有子集的个数． （2）若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． （3）若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 【答案】（1），128 （2）证明：对于集合， 枚举所有的差值：．共7个差值， 将它们从小到大排列，可知最小，最大，0在正中间，，夹在和0之间，夹在0和之间， 因为有且仅有5个元素，所以上述7个差值必有2个差值与另外5个差值中的2个相同，按照上面从小到大的排列规律，所以且，故． （3），． 【解析】 【分析】（1）先列举集合中所有元素两两作差，再利用集合元素的互异性剔除重复差值，得到差值集，最后根据集合元素个数，利用子集个数公式求出结果； （2）先写出三元集合所有两两差值，结合大小关系判断差值原本最多有7个；题目仅有5个元素，说明存在差值重复，通过分析相反数结构，唯一能产生重复的条件是相邻差值相等，由此推出三个元素成等差数列，证得结论； （3）先有序排列集合整数元素，求最大值时，让所有差值尽可能互不重复，统计最多不同差值个数；求最小值时，利用等差数列差值种类最少的规律，统计最少不同差值个数，最终得到差值集元素个数的最值范围. 【小问1详解】 ∵ ∴， ∴该集合共有7个元素，子集个数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设． 当集合中的元素从小到大排列后，从第二项开始，后一项与它的前一项之差为非0的定值时， 根据“差值集”的定义，此时不同的差值最少， 所有差值分别为， 此时中元素的个数最小，即． 当集合中的元素从小到大排列后，任意两个不同元素的差值均不相等时，不同差值的个数最多， 总共有组，其中的差值恒为0（只能算一个元素）， 剩余个非零差值两两成对且互为相反数，它们无重复时元素最多， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $