河南许昌市建安区第三高级中学、许昌高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年上学期高二数学第一次月考试题 一、单选题 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 2. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 6. 一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为，点在上，，点在上，在平面的同侧．记二面角，的大小分别为，若，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，在平行六面体中，设，则（     ） A. B. C. D. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 11. 如图所示，长方体，底面是边长为1的正方形，高为2，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 平面平面 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 13. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，_____. 14. 已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 四、解答题 15. 已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）. 16. 已知空间中三点，，. （1）求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若点在平面内，求的值. 17. 在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； 18. 如图，某智慧快递物流仓库搭建直三棱柱钢制立体货架，底座托盘满足．竖直支撑立柱，搭载自主导航升降分拣小车沿立柱上下停靠，停靠位置记为，设，四面体为存放异形快件的封闭式储物仓． （1）证明：平面平面； （2）设四面体的表面积为，写出解析式，并求的取值范围； （3）分拣小车沿立柱上下工作时，为了安全，需从定点引出吊装钢索，钢索另一端点连在线段上，并且满足，求钢索的长度的取值范围. 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 2026-2027学年上学期高二数学第一次月考试题 一、单选题 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1），向量如图所示. （2），向量如图所示. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）连接，因为为中点，所以， 又，，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形，所以，， 又因为，，所以，所以， 又因为，分别为线段和的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）证：因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面，所以平面， 平面，所以平面平面成立. （2） ， （3） 【19题答案】 【答案】（1）由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，且平面，得平面， 又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． 综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体． （2） （3）时，取得最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $