精品解析：上海市普陀区2026-2027学年九年级上学期10月阶段练习数学试卷

_____学校2026学年第一学期九年级数学学科10月阶段练习卷 （时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. （为常数） D. 【答案】D 【解析】 【分析】形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A. 不是二次函数，本选项不符合题意； B. ，是一次函数，本选项不符合题意； C. （为常数），当时，该函数不是二次函数，本选项不符合题意； D. ，是二次函数，本选项符合题意． 2. 已知一个二次函数图像的顶点是，那么这个二次函数的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、的顶点是，不符合题意； B、的顶点是，不符合题意； C、的顶点是，符合题意； D、的顶点是，不符合题意． 3. 已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（ ） A. 这两个抛物线的开口方向不同 B. 这两个抛物线的对称轴相同 C. 这两个抛物线的顶点相同 D. 这两个抛物线关于轴对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，抛物线的开口向下，故选项A正确； 抛物线和的对称轴均为轴，故选项B正确，两个图像的开口大小不一样，不对称，选项D错误； 抛物线和的顶点均为，故选项C正确； 故选项D符合题意． 4. 已知点在抛物线上，点和点关于这个抛物线的对称轴对称，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于二次函数，对称轴公式为，代入对应系数可得到该抛物线的对称轴直线．因为点A和点B关于抛物线对称轴对称，所以两点纵坐标相等，且两点横坐标的中点在对称轴上，根据对称轴数值和点A的横坐标，即可求出点B的横坐标． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线 ，点A、B关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等（都为4），且两点到对称轴的距离相等． ∵点A横坐标为，它到对称轴的距离为， ∴点B的横坐标为． ∴点B坐标为． 5. 如图，已知抛物线的对称轴为轴，那么对于结论：①；②，下列说法中正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②均正确 D. ①、②均错误 【答案】A 【解析】 【分析】根据开口方向和与y轴的交点即可判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确； ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴，故②错误． 6. 投篮时篮球的飞行轨迹是一条抛物线．现以篮筐为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知篮筐到地面的高度为2.8米，如果当篮球运动到距篮筐水平距离3米时到达离地面3.4米的最高点，那么篮球脱手时的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得该抛物线顶点坐标为，设该抛物线的解析式为，利用待定系数法解得该抛物线解析式，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，可得该抛物线的顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 当时，， 故选项A、B均不符合题意； 当时，， 即篮球脱手时的坐标可能是， 故选项C不符合题意，选项D符合题意． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果点在抛物线上，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标． 【详解】解：将代入，得． 8. 如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 解得． 9. 抛物线与轴交点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将代入抛物线得：， 则抛物线与轴交点的坐标是． 10. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线的解析式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数图象的平移规律得出答案． 【详解】将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的关系式为， 即． 故答案为：． 11. 二次函数（、、是常数，且）的图像上部分点的坐标如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … … 那么该二次函数的对称轴是直线__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据表格可得，当和时的函数值相同， ∴对称轴为直线． 12. 已知二次函数，当时，函数值随着自变量的增大而增大，那么的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义以及性质进行求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得或； 又∵当时，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， ∴． 13. 设抛物线与轴的交点为、，那么线段的长是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 14. 已知抛物线的顶点在直线上，那么点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式得到点的坐标为，再将坐标代入直线求解，即可解题． 【详解】解：由题知点的坐标为， 顶点在直线上， ， 解得， 点的坐标为． 15. 已知抛物线的最高点的坐标为，那么__________0（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】根据函数的最值情况推出，，进而即可比较与0的大小． 【详解】解：抛物线的最高点的坐标为， ，且在时，函数取得最大值为， 当时，， ， ． 16. 某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为30元时，每月销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个．那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是__________元． 【答案】4000 【解析】 【详解】解：设销售单价涨价元，销售利润为元， 由题意得，， ∵， ∴当时，取得最大值为4000元， ∴每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是4000元． 17. 如果顶点不同的两个二次函数的图像与轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次函数称为另一个的“牵手二次函数”．如果二次函数的图像顶点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧），它的一个“牵手二次函数”的顶点为，已知，，那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】将原二次函数化为顶点式，确定顶点坐标与对称轴，根据长度求函数与x轴交点坐标，最后代入交点坐标求参数a的值，再设出“牵手二次函数”的顶点式，即可求出这个“牵手二次函数”的二次项系数． 【详解】， 可得顶点A的坐标为，函数对称轴为直线． 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称， 已知，则两个交点到对称轴的距离均为， 因此左侧交点B的横坐标为，右侧交点D的横坐标为， 即，， 将点B代入原函数解析式，此时， ，即 ， 解得． 因为“牵手二次函数” 与轴的交点分别为、（点在点的左侧）， 所以“牵手二次函数”和原抛物线与轴交点完全相同，对称轴同样为， 设它的顶点式为，则顶点， 因为两个顶点横坐标都是，在同一条竖直线上， 所以两点距离， 若，解得， 此时C的坐标为， 把交点代入， 即，解得； 若，解得， 此时C的坐标为， 把交点代入， 即，解得． 所以这个“牵手二次函数”的二次项系数是或． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知一个二次函数的图像经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】先设二次函数的一般表达式，再代入点坐标列方程组，求解方程组，进而确定这个二次函数的表达式． 【详解】解：设二次函数的表达式为， 将、、三点坐标分别代入表达式，得： ， 把代入后两个方程，得： ， 得， 解得， 将代入，得， 解得， 所以这个二次函数的表达式为． 19. 已知抛物线，设它的顶点是． （1）求点的坐标； （2）将这个抛物线向左平移，使它经过点，新抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1）点A坐标为 （2）12 【解析】 【分析】（1）因为抛物线顶点坐标可通过配方法或顶点坐标公式计算，所以先将给定的抛物线一般式转化为顶点式，或直接代入顶点横坐标​计算横坐标，再代入解析式求纵坐标，得到点A坐标． （2）设抛物线向左平移m个单位，解析式遵循“左加右减”的平移规则，写出平移后的抛物线表达式．因为平移后的抛物线经过点，所以将点B坐标代入平移后的解析式，求解得到平移的单位长度，进而得到新抛物线的顶点C的坐标．因为A、C两点纵坐标相同，所以为水平线段，可直接计算的长度，再以为底，点B到直线的竖直距离为高，代入三角形面积公式计算的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴点A坐标为． 【小问2详解】 解：设抛物线向左平移了个单位（）， 根据“左加右减”的平移规则，新抛物线的解析式为： ， ∵新抛物线过点，代入解析式得， 整理得， 解得或， ∵是向左平移，，舍去，得． ∴新抛物线的顶点C坐标为， ∴． ∵点A和点C的纵坐标都为10， ∴是平行于x轴的线段，长度为． 过点B作的垂线，B点纵坐标为2，在直线上， ∴三角形的高为． ∴三角形面积． 20. 已知二次函数（为常数，）的图像与轴的交点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧）． （1）求该二次函数图像的对称轴； （2）如果，求该二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键； （1）根据二次函数图像的对称轴公式进行求解即可； （2）由题意易得，然后可把代入二次函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：由二次函数可知：该二次函数图像的对称轴为； 【小问2详解】 解：令时，则有， ∴，即， ∵， ∴， 把代入二次函数得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴该二次函数的解析式为． 21. 已知抛物线（为常数）． （1）如果该抛物线与轴有且只有一个交点，求的值； （2）如果该抛物线上所有的点都在轴的下方，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，求解即可； （2）根据题意得到，且，即，求出． 【小问1详解】 解：令，即， 该抛物线与轴有且只有一个交点， ， 整理得， 解得； 【小问2详解】 解：该抛物线上所有的点都在轴的下方， ，且，即， 解得． 22. 如图，已知：在矩形中，点、分别在边、上，，连接交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）如果是边的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：在矩形中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， 是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 平行四边形是菱形. 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，可得，则可得，证明四边形是平行四边形即可解答； （2）由（1）得四边形是平行四边形，再证明，可得，，再证明，可得即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． （1）求桥拱截线所在抛物线的表达式； （2）为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①最多可悬挂灯笼数为个；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再根据待定系数法即可解答； （2）①根据灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于，可得悬挂点的最低纵坐标为，将代入抛物线表达式，即可解答； ②根据最多只能悬挂个灯笼，可得悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为，得到如果要在最左侧的左边再加一个灯笼，则这个灯笼的纵坐标为，根据题意列不等式组即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， 所以桥拱截线所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ①解：由题意可得点的纵坐标为, 灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于， 悬挂点的最低纵坐标为， 将代入抛物线表达式，可得， 解得， 相邻悬挂点水平间距为米， 最多可悬挂灯笼数为个； ②最多只能悬挂个灯笼， 悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为， 最左侧灯笼坐标为，则，， ， 如果要在最左侧的左边再加一个灯笼， 那么这个灯笼的横坐标为， ∴这个灯笼的纵坐标为， 根据题意可得， 解得， ， ， ， 当时，， 当时，， 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与直线的交点分别是、（点在点的右侧），是线段的中点，点关于轴对称的点也在该抛物线上． （1）求的值和这个抛物线的表达式； （2）平移直线． ①过点作轴的垂线，与抛物线交于点．如果平移后的直线经过点，求此时直线的表达式； ②将直线向下平移，设平移后的直线与抛物线的两个交点分别是、（点在点的右侧），是线段的中点．如果，求此时直线的表达式． 【答案】（1），； （2）①，②． 【解析】 【分析】（1）利用点在直线上的条件求，再利用点关于轴对称的性质和点在抛物线上的条件建立方程组求、． （2）①先求直线与抛物线的交点、，进而求出中点的坐标；过作轴垂线求抛物线上的点；利用平移后直线比例系数不变且过点，求平移后直线表达式； ②设平移后直线为，联立抛物线方程利用韦达定理求中点的坐标；利用距离公式表示和，由建立方程求解，则解析式可求． 【小问1详解】 解：由点在直线上，代入得： 则 所以直线表达式为． 点关于轴对称的点为，该点也在抛物线上． 同时点也在抛物线上， 将和的坐标分别代入抛物线方程，得， 解得， 所以抛物线表达式为： ； 【小问2详解】 ①解：由与有交点， 则 解得： ，， 故点的坐标为． 中点的坐标： 即． 由过作轴垂线，交抛物线于点： 即． 平移后的直线比例系数不变，设表达式为． 代入点： 所以平移后的直线表达式为： ． ②解：由已知，设平移后直线为（）． 联立平移后直线与抛物线： 设、的横坐标分别为、，由一元二次方程的根与系数的关系： 中点的横坐标： ∴中点的纵坐标为： 即． 由已知，，所以： 由点，点： ， 由，得， 因为向下平移，，所以： 设平移后的直线与抛物线的两个交点分别是、， 则判别式： 代入： 判别式大于零，满足有两个交点的条件， ∴平移后直线为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ _____学校2026学年第一学期九年级数学学科10月阶段练习卷 （时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. （为常数） D. 2. 已知一个二次函数图像的顶点是，那么这个二次函数的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（ ） A. 这两个抛物线的开口方向不同 B. 这两个抛物线的对称轴相同 C. 这两个抛物线的顶点相同 D. 这两个抛物线关于轴对称 4. 已知点在抛物线上，点和点关于这个抛物线的对称轴对称，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知抛物线的对称轴为轴，那么对于结论：①；②，下列说法中正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②均正确 D. ①、②均错误 6. 投篮时篮球的飞行轨迹是一条抛物线．现以篮筐为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知篮筐到地面的高度为2.8米，如果当篮球运动到距篮筐水平距离3米时到达离地面3.4米的最高点，那么篮球脱手时的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果点在抛物线上，那么__________． 8. 如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是__________． 9. 抛物线与轴交点的坐标是__________． 10. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线的解析式_______． 11. 二次函数（、、是常数，且）的图像上部分点的坐标如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … … 那么该二次函数的对称轴是直线__________． 12. 已知二次函数，当时，函数值随着自变量的增大而增大，那么的值为__________． 13. 设抛物线与轴的交点为、，那么线段的长是__________． 14. 已知抛物线的顶点在直线上，那么点的坐标为__________． 15. 已知抛物线的最高点的坐标为，那么__________0（填“>”、“=”或“<”）． 16. 某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为30元时，每月销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个．那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是__________元． 17. 如果顶点不同的两个二次函数的图像与轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次函数称为另一个的“牵手二次函数”．如果二次函数的图像顶点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧），它的一个“牵手二次函数”的顶点为，已知，，那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是__________． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知一个二次函数的图像经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 19. 已知抛物线，设它的顶点是． （1）求点的坐标； （2）将这个抛物线向左平移，使它经过点，新抛物线的顶点为，求的面积． 20. 已知二次函数（为常数，）的图像与轴的交点为，与轴的交点分别为、（点在点的左侧）． （1）求该二次函数图像的对称轴； （2）如果，求该二次函数的表达式． 21. 已知抛物线（为常数）． （1）如果该抛物线与轴有且只有一个交点，求的值； （2）如果该抛物线上所有的点都在轴的下方，求的取值范围． 22. 如图，已知：在矩形中，点、分别在边、上，，连接交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）如果是边的中点，求证：四边形是菱形． 23. 有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． （1）求桥拱截线所在抛物线的表达式； （2）为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与直线的交点分别是、（点在点的右侧），是线段的中点，点关于轴对称的点也在该抛物线上． （1）求的值和这个抛物线的表达式； （2）平移直线． ①过点作轴的垂线，与抛物线交于点．如果平移后的直线经过点，求此时直线的表达式； ②将直线向下平移，设平移后的直线与抛物线的两个交点分别是、（点在点的右侧），是线段的中点．如果，求此时直线的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $