上海市普陀区2026-2027学年九年级上学期10月阶段练习数学试卷

学校2026学年第一学期九年级数学学科10月阶段练习卷 (时间：100分钟，满分：150分) 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列函数中，一定是二次函数的是 (A) (B)y=(x-2)}2-x2; (C)y=ax2(a为常数)； (D)y=(x+1)(x-1) 2.已知一个二次函数图像的顶点是A(2,4),那么这个二次函数的表达式可能是·（) (A)y=-(x+2)2+4; (B)y=-(x+2)2-4; (C)y=(x-2)2+4; (D)y=（x-2)2-4. 3.已知抛物线)y=2?和y=之，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是() (A)这两个抛物线的开口方向不同； (B)这两个抛物线的对称轴相同； (C)这两个抛物线的顶点相同； (D)这两个抛物线关于x轴对称. 4.已知点A（-3,4)在抛物线y=x2+4x-c上，点B和点A关于这个抛物线的对称轴对称， 那么点B的坐标是… () (A)(-1,-4);(B)(-1,4); (C)(7,4); (D)(7,-4). 5.如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为y轴，那么对于结论：①a>0;②c>0, 下列说法中正确的是…（) (A)①正确②错误；(B)①错误②正确；(C)①、②均正确；(D)①、②均错误. 6.投篮时篮球的飞行轨迹是一条抛物线.现以篮筐为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy.已知篮筐到地面的高度为2.8米，如果当篮球运 动到距篮筐水平距离3米时到达离地面3.4米的最高点，那么篮球脱手时的坐标可能是() (-5,:(B)(-5,1)©(-7，-1 15 D)(-7,5 5 y/m个 xm 777777 7 777 图1 图2 第1页共6页 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分) 7.如果点A(3,b)在抛物线y=2x2-x+1上，那么b= 8.如果抛物线y=(k-1)x2+3x的开口向上，那么k的取值范围是 9.抛物线y=x2+x与y轴交点的坐标是 10.将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的新抛物线 表达式是 11.二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的图像上部分点的坐标如下表所示： r 0 2 3 4 少 … P -8 -9 -8 0。。 那么该二次函数的对称轴是直线 12.已知二次函数y=mx,当x<0时，函数值y随着自变量x的增大而增大，那么m的值为 13.设抛物线y=2x2-5x+2与x轴的交点为A、B,那么线段AB的长是 14.已知抛物线y=(x-a)+2a+1的顶点M在直线y=x上，那么点M的坐标为 15.已知抛物线y=ax2+bx+c的最高点的坐标为(1,0)，那么a+b_0(填“>”、 “=”或“<”). 16.某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯.经过试销售后发现，销售单价定为30 元时，每月销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个，那么每月销售这款新型节能灯能 获得的最大利润是 元 17.如果顶点不同的两个二次函数的图像与x轴有相同的两个交点，我们就把其中一个二次 函数称为另一个的“牵手二次函数”·如果二次函数y=ax2+2amx+am2+2的图像顶点为 A,与x轴的交点分别为B、D(点B在点D的左侧)，它的一个“牵手二次函数”的顶点为C, 已知AC=3,BD=4,那么这个“牵手二次函数”的二次项系数是 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18.(本题满分10分) 已知一个二次函数的图像经过A(0,4)、B(2,0)、C(-1,-3)三点，求这个二次函 数的表达式. 第2页共6页 19.(本题满分10分) 已知抛物线y=-2x2+4x+8,设它的顶点是A. (1)求点A的坐标； (2)将这个抛物线向左平移，使它经过点B(0,2),新抛物线的顶点为C,求△ABC 的面积. 20.(本题满分10分) 已知二次函数y=-x2+2x+m(m为常数，m>0)的图像与y轴的交点为A,与x轴 的交点分别为B、C(点B在点C的左侧). (1)求该二次函数图像的对称轴； (2)如果OA=OC,求该二次函数的表达式， 第3页共6页 21.(本题满分12分) 已知抛物线y=(k-1)x2+(2k-1)x+(k-2)(k为常数) (1)如果该抛物线与x轴有且只有一个交点，求k的值； (2)如果该抛物线上所有的点都在x轴的下方，求k的取值范围. 22.(本题满分13分) 如图3，已知：在矩形ABCD中，点E、G分别在边BC、AD上，AE∥CG,连接BG 交AE于点F,连接DE交CG于点H. (I)求证：BG∥DE; (2)如果E是边BC的中点，求证：四边形EFGH是菱形， A B F G 图3 第4页共6页 23.(本题满分13分) 有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米.拱 桥的截面如图4所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点O是桥拱截线与正 常水位的水面截线相交处的一点，x轴在水面截线上；AB是警戒线，拱顶到AB的距离是1.3 米 (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯 笼的宽度不超过0.2米).灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平 间距相等，且灯笼的最底端不低于AB ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为（p,9),如果能且最多只能悬挂7个灯 笼，求g的取值范围。 /米 0000i- A B 米 20米 x/米 图4 第5页共6页 24.(本题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中（如图5），已知抛物线y=-4x2+bx+c与直线y=a的交点 分别是小B(点4在点B的右侧，E是线段B的中点，点A(弓，6)关于y箱对称的 点也在该抛物线上、 (1)求k的值和这个抛物线的表达式； (2)平移直线y=c. ①过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点P.如果平移后的直线经过点P,求此时直线的 表达式； ②将直线y=c向下平移，设平移后的直线与抛物线y=-4x2+bx+c的两个交点分别 是C、D(点C在点D的右侧)，F是线段CD的中点，如果EF=AB,求此时直线的表达式， 图5 第6页共6页 2026学年第一学期九年级数学学科10月阶段练习卷 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.D; 2.C; 3.D; 4.B; 5.A; 6.D. 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7.16; 8.k>1; 9.(0,0); 10.y=-2(x-1)2+3; 11.x=2; 12.-2; 14.(-1,-1); 15.>; 16.4000; 17.5或 (写出一解给2分). 444 三、解答题（本大题共7题，第18-20题每题10分，第21题12分，第22、23题每题13 分，第24题14分，满分82分) 18.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c(a≠0). (1分) C=4, 根据题意，得 4a+2b+c=0, (3分) a-b+c=-3. a=-3, 解得{b=4, (4分) c=4. 所以这个二次函数的表达式是y=-3x2+4x+4.… (2分) 19.解：(1)由配方，得y=-2x2+4x+8=-2(x-1)2+10.… (2分) 所以点A的坐标是(1,10)·…(2分) (2)设平移后的抛物线的表达式为y=-2(x-1+m)2+10(m>0).…(1分) 因为平移后的抛物线经过B(0,2),所以-2(-1+m)+10=2. (1分) 解得m1=3,m2=-1(舍)·… (1分) 所以点C(-2,10),AC=3, (1分) 设AC与y轴交于点D,可得D(0,10)· 1 所以BD=8. (1分) 所以SAABC= AC-BD=12.… 2 (1分) 20.解：(1)由x=-6= 2 =1, 2a2×(-1) 得该二次函数图像的对称轴是直线x=1.…(4分) (2)令x=0,得y=m. 所以A(0,m）。… (1分) 因为点C在点B的右侧，且m>0,OA=OC, 所以C(m,0）·… (1分) 因为点C在二次函数y=-x2+2x+m的图像上， 所以-m2+2m+m=0.… 。..... (1分) 解得m=3,m2=0（舍)·… (2分) 所以该二次函数的表达式是y=一x2+2x+3.… (1分) 21.解：（1)由抛物线的表达式，可知k-1≠0，得k≠1.…… (1分) 对于一元二次方程(k-1)x2+(2k-1)x+(k-2)=0,其根的判别式 △=(2k-1)2-4(k-1(k-2)=8k-7.…(2分) 因为该抛物线与x轴有且只有一个交点， 7 所以△=0，即8k-7=0,解得k= (2分) 8 所以k的值为 8 (1分) (2)由抛物线在x轴下方可知抛物线开口向下，且与x轴没有交点， k-1<0, 可得不等式组 (4分) 8k-7<0. > 解得k< 7 所以k的取值范围是k< (2分) 8 22.证明：(1).四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AD=BC. … (2分) ,AE∥CG,.四边形AECG是平行四边形.… (1分) .AG=EC..AD-AG=BC-EC,即GD=BE.… (1分) .四边形BEDG是平行四边形. (1分) .BG∥DE.… (1分) (2)连接GE. 'E是边BC的中点，·.BE=EC=BC 2 .AG=EC,.AG=BC..AG=BE. …………… (1分) 2 AD∥BC,.四边形ABEG是平行四边形. (1分) ,四边形ABCD是矩形，.∠BAD=90°..四边形ABEG是矩形. … (1分) BG=AB,GF=IBG,EF=E GF=EF. (2分) 2 ,CG∥AE,BG∥DE. .四边形EFGH是平行四边形， 四边形EFGH是菱形.… (2分) 【其它方法酌情给分】 23.解：(1)根据题意可得抛物线的顶点坐标是(10,5)· 可设抛物线的表达式为y=a(x-10)+5. (1分) 因为抛物线经过原点，所以a(0-10)+5=0. 解得a=-1 (1分) 20 所以桥拱截线所在抛物线的表达式是y=一。 -l10+5. … (1分) (2)①设抛物线上最左侧的灯笼可悬挂点的坐标是(m,)· 根据题意可得n=3.7+0.5=4.2.… (1分) 所以-20(m-10y+5=42. (1分) 解得m1=6,m2=14. (1分) 所以最左侧的可悬挂点的横坐标是m=6. (10-6)÷0.8=5,即顶点每一侧最多悬挂5个灯笼. (1分) 所以最多可悬挂11个灯笼。… (1分) ②设相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为d米，抛物线上最左侧的灯笼可悬挂点的坐标是 (m,n) 同①可得，m=6. 由题意得10-4d<m≤10-3d. 解稠1<4子 (3分) 因为p=10-3d,所以6≤p<7. (1分) 因为抛物线对称轴是直线x=10,且当x<10时，函数值y随着自变量x的增大而增大， 所议动6-10+5g<0-10+5,解得42g<45。 所以q的取值范围是4.2≤g<4.55。… (1分) 24解：()因为直线y=经过点A(号，6)， 所以k=6.解得k=-4. (1分) 由题意得抛物线的对称轴是y轴， 得b=0. (1分) 因为点A( ),6)在该抛物线上 所以 +c=-6,解得c=3. (1分) 所以这个抛物线的表达式是y=一4x2+3,… (1分) (2)①因为点B在直线y=-4x上，所以设点B（xg,-4xg)· 又因为点B在抛物线y=4x2+3上，所以4x2+3=4。·解得x=2)名=- 3 1 21 所以B（-2 (1分) 过点E作直线x轴，过点A作AR⊥I于点R,过点B作BQ⊥I于点Q. 所以∠ARQ=∠BQR=90°，点Q的横坐标为xg· 设点A、R的横坐标为x4,点E的横坐标为xE· 因为E是AB中点，所以AE=BE.又因为∠AER=∠BEQ,所以△AER≌△BEQ· 所以E=QE,即-=-g:所以=化，+，）· 所以线段AB中点E的横坐标为 所以点P的横坐标为 (1分) 由点P在抛物线y=4x+3上，可得P(兮，2) (1分) 设平移后直线的表达式为y=-4x+m. (1分) 由题意得-4×5+p=2.解得m=4. 所以平移后直线的表达式为y=一4x十4，… (1分) 3 ②由①可得AB 2+2 +(-6-2}2=217.…(1分) 所以EF=2√17. 设直线CD的表达式为y=-4x+n,与y轴交于N(0,n)· 设点C(xc,-4xc+n)、D（xp,-4xo+n)· 又因为点C、D在抛物线y=-4x2+3上， 所以-4x2+3=-4xc+n,-4x,2+3=-4xp+n. 所以-4xc2+4xc+3=-4xD2+4xp+3. xc2-xD2=xc-xD· (xc-xp)(xc+xp-1)=0. 因为xc≠xD,所以xc+xD=1 同理可得线段CD中点F的横坐标为 2 (1分) 所以EF)轴，即EFIION. (1分) 又因为ABI/CD,所以四边形OEFN为平行四边形， 所以EF=ON,即n=2W17.… (1分) 因为直线y=a:向下平移，所以n=-2√17. 所以平移后直线的表达式为y=-4x-27.… (1分) 【其它方法酌情给分】