专题 3：分数除法（思维拓展）人教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 3：分数除法 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：倒数的意义与计算 3 考点二：分数除法算理与计算 4 考点三：分数混合运算与简便计算 6 考点四：分数除法实际应用 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：倒数概念错误 9 易错点 2：分数除法计算错误 9 易错点 3：混合运算顺序错误 9 易错点 4：单位 “1” 找错 9 易错点 5：工程问题效率与天数混淆 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版六年级上册第三单元《分数除法》核心内容，以 “倒数建构→算理进阶→运算优化→实践应用” 为主线，系统覆盖倒数的意义与计算、分数除法算理与计算、分数混合运算与简便计算、分数除法实际应用与奥数拓展四大核心模块，渗透转化思想、建模思想、逆推思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从倒数的意义入手，掌握求倒数的方法，理解 “乘积为 1 的两个数互为倒数”；掌握分数除以整数、一个数除以分数的算理，理解 “除以一个不为零的数等于乘它的倒数”；掌握分数混合运算的顺序，能将除法转化为乘法后运用运算律简便计算；能解决 “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”“比多比少逆向问题”“工程问题” 等实际问题；延伸错中求解、倒数规律、还原问题、工程变式等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，为后续百分数、比的学习奠定运算基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 倒数的意义与计算 倒数的意义；求倒数的方法；整数、小数、分数的倒数；倒数与原数的大小关系 倒数转换法、规律判断法 认为 0 有倒数；小数倒数求错；假分数倒数都小于 1 的误区 分数除法算理与计算 分数除以整数、一个数除以分数的算理；商与被除数的大小关系 除转乘法、规律判断法 除数不倒数、除号不变；商与被除数的大小关系混淆 分数混合运算与简便计算 分数混合运算顺序；除法转乘法后的运算律应用；简算技巧 除转乘分配法、提取公因数法 运算顺序错误；分配律直接用于除法；约分错误 分数除法实际应用与奥数拓展 已知一个数的几分之几求这个数；比多比少逆向问题；工程问题；还原问题 单位 1 逆推法、假设法、倒推法 单位 “1” 找错；工程问题效率与天数混淆；倒推顺序颠倒 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 倒数转换法 倒数计算、分数除法 ①分子分母交换位置；②整数化分母为 1 的分数；③小数化分数再求倒数 求倒数，倒分子分母，整数化分数，小数先化分 除转乘法 分数除法计算 ①除号变乘号；②除数变倒数；③按分数乘法计算 除以数，变乘号，除数倒，乘得好 运算顺序法 分数混合运算 ①先乘除后加减；②有括号先算括号里；③同级从左到右 先乘除，后加减，有括号，先算里 单位 1 逆推法 分数除法应用题 ①找对应量和对应分率；②对应量 ÷ 对应分率 = 单位 1 的量；③验证 知部分，求整体，量除以，对应率 假设法 工程问题 ①假设工作总量为 1；②求各队工作效率；③合作时间 = 工作总量 ÷ 效率和 工程题，设总 1，效率分，合作除 三、数学思维提升 1. 转化思想 核心要点：将分数除法转化为分数乘法计算，把新知转化为旧知，理解分数除法的算理本质，培养转化迁移能力。 专题示例：除以一个分数等于乘它的倒数，将除法运算转化为已学的乘法运算，就是转化思想的体现。 2. 建模思想 核心要点：建立 “对应量 ÷ 对应分率 = 单位‘1’的量” 的数量模型，以及工程问题 “工作总量 ÷ 效率和 = 合作时间” 的解题模型，培养建模能力与应用意识。 专题示例：已知部分量和对应分率求整体，用除法计算，就是建模思想的应用。 3. 逆推思想 核心要点：从已知的部分量、最终结果出发，逆向推导整体量、初始状态，培养逆向推理与逻辑思考能力。 专题示例：已知剩下的量求原来的总量，已知错误的结果求正确的答案，都是逆推思想的体现。 4. 应用意识 核心要点：运用分数除法的知识解决生活中的工程问题、数量比较、商品价格等实际问题，体会数学的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算合作修路的时间、计算商品原价，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：倒数的意义与计算 能力进阶（★★★）—— 倒数的大小规律辨析 题目：判断下列说法是否正确，并说明理由。 ① 真分数的倒数都大于 1。 ② 假分数的倒数都小于 1。 ③ 1 的倒数是 1，0 的倒数是 0。 解题步骤： ① 真分数的分子小于分母，倒数的分子大于分母，是大于 1 的假分数，因此①正确。 ② 假分数的分子大于或等于分母，倒数的分子小于或等于分母，小于或等于 1；例如的倒数是 1，并非小于 1，因此②错误。 ③ 0 不能做分母，因此 0 没有倒数；1 的倒数是它本身，因此③错误。 验证：举例的倒数是；的倒数是 1；0 不存在倒数，均符合结论。 【答案】①正确；②错误；③错误。理由见解析。 【知识点睛】本题考查倒数的意义与大小规律，对应教材核心重难点。 核心规律：真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；1 的倒数是 1，0 没有倒数。 拓展延伸：一个数大于 1，它的倒数小于 1；一个数小于 1（0 除外），它的倒数大于 1；一个数等于 1，倒数等于它本身。 易错警示：认为假分数的倒数都小于 1，忽略分子与分母相等的假分数。 思维拓展（★★★★）—— 倒数与原数的和差问题 题目：一个整数与它的倒数的和是 5.2，这个整数是多少？ 解题步骤： ① 先把小数转化为带分数：。 ② 整数的倒数是几分之一，和的整数部分就是这个整数，分数部分就是它的倒数。 因此这个整数是 5，它的倒数是，，符合题意。 ③ 验证：5 的倒数是，，结果正确。 【答案】这个整数是 5。 【知识点睛】本题是倒数的经典奥数题型，考查倒数的意义与带分数拆分。 解题方法：整数加它的倒数，和的整数部分就是原整数，分数 / 小数部分就是它的倒数。 拓展延伸：若为分数与倒数的和，可拆分后对应分子分母，再验证乘积是否为 1。 易错警示：直接用和除以 2，逻辑错误。 考点二：分数除法算理与计算 能力进阶（★★★）—— 商与被除数的大小关系 题目：不计算，在○里填 “＞”“＜” 或 “＝”。 ○ ○ ○ 解题步骤： ① 分析每个算式中除数与 1 的大小关系：，，。 ② 根据规律判断：被除数不为 0 时，除以小于 1 的数（0 除外），商大于被除数；除以大于 1 的数，商小于被除数；除以 1，商等于被除数。 所以；；。 ③ 验证：计算得，符合规律。 【答案】＞；＜；＜ 【知识点睛】本题考查分数除法中商与被除数的大小关系，对应教材核心重难点。 核心规律：被除数不为 0，除数＜1，商＞被除数；除数＞1，商＜被除数；除数＝1，商＝被除数。 拓展延伸：利用这个规律可以快速比较大小，检验计算结果的合理性。 易错警示：与乘法的规律混淆，认为除以大于 1 的数商变大。 思维拓展（★★★★）—— 错中求解（除数看反） 题目：小马虎计算一道分数除法时，把除数的分子分母看颠倒了，得到的商是。正确的商是多少？ 解题步骤： ① 被除数始终不变，错误的除数是，错误的商是，先求出被除数： 被除数 = 错误除数 × 错误商 = 。 ② 正确的除数是，计算正确的商：。 ③ 验证：正确算式，错误算式，符合题意。 【答案】正确的商是 2。 【知识点睛】本题是分数除法错中求解的奥数题型，考查除法各部分的关系。 解题核心：先根据错误的除数和商求出不变的被除数，再用被除数除以正确的除数得到正确的商。 方法总结：错中求解，先抓不变量，再算正确结果。 易错警示：直接用错误的商乘 2，忽略除数变化的比例关系。 考点三：分数混合运算与简便计算 能力进阶（★★★）—— 除法转乘法的分配律应用 题目：用简便方法计算 。 解题步骤： ① 除以一个数等于乘它的倒数，先将除法转化为乘法，适配乘法分配律： ② 运用乘法分配律，分别相乘再相加： ③ 验证：先算括号内：，，结果一致。 【答案】29 【知识点睛】本题考查分数除法的简便计算，对应教材简算重难点。 解题核心：有括号的分数除法简算，先转化为乘法，再用分配律分别相乘，避免通分的繁琐。 易错警示：直接先算括号内的加法，计算量大易错；分配律漏乘其中一项。 思维拓展（★★★★）—— 构造公因数的除法简算 题目：用简便方法计算 。 解题步骤： ① 先把除法转化为乘法：。 原式转化为： ② 提取相同公因数，运用乘法分配律逆运算： ③ 计算结果：。 【答案】 【知识点睛】本题是分数混合运算简算的奥数题型，考查除转乘与提取公因数的综合应用。 解题方法：先将所有除法转化为乘法，再观察提取相同的公因数，用分配律简便计算。 技巧总结：见除法，转乘法，找公因数，用分配。 易错警示：不转化除法直接提取公因数，导致计算错误。 考点四：分数除法实际应用 能力进阶（★★★）—— 比一个数少几分之几，求这个数 题目：小明的体重是 35 千克，比爸爸的体重轻。爸爸的体重是多少千克？ 解题步骤： ① 分析数量关系：小明比爸爸轻，说明小明体重是爸爸的。单位 “1” 是爸爸的体重，未知，用除法。 ② 对应量 ÷ 对应分率 = 单位 “1” 的量：（千克） ③ 验证：爸爸 75 千克，小明比爸爸轻千克，千克，符合题意。 【答案】爸爸的体重是 75 千克。 【知识点睛】本题考查 “比一个数少几分之几，求这个数” 的实际问题，对应教材重难点。 解题方法：单位 “1” 未知用除法；比单位 1 少几分之几，对应量 ÷（1 - 几分之几）= 单位 1 的量。 易错警示：直接用 35 乘，或者用 35 除以，对应分率找错。 思维拓展（★★★★）—— 工程问题 题目：一条道路，如果甲队单独修，12 天能修完；如果乙队单独修，18 天能修完。如果两队合修，多少天能修完这条道路的？ 解题步骤： ① 假设这条道路的工作总量为 1，甲队工作效率为，乙队工作效率为。 ② 两队合作的工作效率和：。 ③ 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率和：（天） 验证：6 天甲修了，乙修了，一共，符合题意。 【答案】6 天能修完。 【知识点睛】本题是工程问题的经典奥数题型，考查工作总量、工作效率、工作时间的关系。 解题方法：把工作总量看作单位 “1”，分别求出工作效率，再用工作总量除以效率和得到合作时间。 核心公式：合作工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率和。 易错警示：直接用总天数除以 2，或者用工作总量乘效率和。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：倒数概念错误 错误示例：0 的倒数是 0。 正确分析：0 不能做分母，因此 0 没有倒数；1 的倒数是 1。 修正方法：牢记 0 无倒数，1 的倒数是它本身；求小数倒数先化分数再交换分子分母。 易错点 2：分数除法计算错误 错误示例：。 正确分析：除以一个数等于乘它的倒数，除号变乘号，除数要变倒数，两个同时变。 修正方法：一除变乘，二除数倒，两步都完成再计算。 易错点 3：混合运算顺序错误 错误示例：。 正确分析：分数混合运算和整数运算顺序相同，先乘除后加减，有括号先算括号里。 修正方法：先算乘除，后算加减，括号优先。 易错点 4：单位 “1” 找错 错误示例：小明比爸爸轻，用小明体重乘求轻的部分。 正确分析：“比、是、占” 后面的量是单位 “1”，单位 1 未知用除法。 修正方法：找关键词定位单位 1，未知用除法，对应量除以对应分率。 易错点 5：工程问题效率与天数混淆 错误示例：甲 12 天修完，工作效率是 12。 正确分析：工作效率是每天完成总量的几分之几，应为。 修正方法：单独完成天数作分母，分子为 1，就是工作效率。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 写出下面各数的倒数：( )；5( )；0.25( )。 2. 在○里填 “＞”“＜” 或 “＝”：○；○。 3. 计算：( )。 4. 一个数的是 24，这个数是( )。 5. 12 吨比( )吨多。 6. 计算：( )。 7. 一项工程，甲单独做 8 天完成，乙单独做 12 天完成，两队合作( )天完成。 8. 一根绳子，用去，还剩 15 米，这根绳子原来长( )米。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 一个分数与它的倒数的和是，这个分数是多少？ 10. 小马虎计算分数除法时，把除数的分子分母看颠倒了，得到的商是。正确的商是多少？ 11. 用简便方法计算：。 12. 一堆煤，第一天运走总数的，第二天运走总数的，还剩 21 吨。这堆煤原来有多少吨？ 13. 一件衣服，先降价，再涨价，现价是 96 元。原价是多少元？ 14. 一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。甲先做 2 天，剩下的甲乙合作，还要多少天完成？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】；；4 解题步骤： ① 分数倒数交换分子分母：的倒数是； ② 整数 5 看作，倒数是； ③ ，倒数是 4。 【知识点睛】考查倒数的求法。核心：分子分母交换位置。易错警示：整数倒数写成整数本身。 2. 【答案】＞；＜ 解题步骤： ① 除数，被除数不为 0 时，除以小于 1 的数，商大于被除数，因此； ② 除数，被除数不为 0 时，除以大于 1 的数，商小于被除数，因此。 【知识点睛】考查分数除法中商与被除数的大小关系。核心：除数小于 1，商大于被除数；除数大于 1，商小于被除数。易错警示：与乘法规律混淆。 3. 【答案】12 解题步骤： ① 先将除法转化为乘法，运用乘法分配律： ② 分别相乘再相减： 【知识点睛】考查分数除法的简便计算。核心：先转除法为乘法，再用分配律简算。易错警示：先算括号内减法导致计算繁琐。 4. 【答案】40 解题步骤： ① 单位 “1” 是这个数，未知，用对应量除以对应分率： 【知识点睛】考查已知一个数的几分之几是多少求这个数。核心：对应量 ÷ 对应分率 = 单位 “1” 的量。易错警示：用乘法计算。 5. 【答案】9 解题步骤： ① 12 吨比单位 “1” 多，对应分率是； ② 单位 “1” 的量：（吨） 【知识点睛】考查比一个数多几分之几求这个数。核心：比单位 1 多几分之几，对应量 ÷（1 + 几分之几）= 单位 1 的量。易错警示：直接用 12 乘。 6. 【答案】 解题步骤： ① 先将除法转化为乘法：； ② 提取公因数，运用乘法分配律逆运算： 原式 【知识点睛】考查分数混合运算的简便计算。核心：先转除法为乘法，再提取公因数简算。易错警示：不转化除法直接提取公因数。 7. 【答案】（或 4.8） 解题步骤： ① 假设工作总量为 1，甲队效率为，乙队效率为； ② 两队效率和：； ③ 合作时间：（天） 【知识点睛】考查工程问题基础题型。核心：设总工作量为 1，合作时间 = 工作总量 ÷ 效率和。易错警示：直接用天数和除以 2。 8. 【答案】25 解题步骤： ① 剩下的分率：，对应 15 米； ② 原来的长度：（米） 【知识点睛】考查分数除法还原问题。核心：剩下的量 ÷ 剩下的分率 = 总量。易错警示：用 15 除以。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】或 解题步骤： ① 先将和拆分：； ② 验证：，两个数互为倒数，符合条件。 【知识点睛】考查倒数与和差问题。核心：拆分假分数，验证两数乘积为 1。易错警示：只写出一个答案，遗漏另一种可能。 10. 【答案】正确的商是 解题步骤： ① 被除数不变，错误的除数是，错误的商是，先求出被除数： 被除数 = 错误除数 × 错误商 = ② 正确的除数是，计算正确的商： 【知识点睛】考查分数除法错中求解。核心：先根据错误条件求出不变的被除数，再计算正确结果。易错警示：直接用商乘除数的比例。 11. 【答案】 解题步骤： ① 除法转化为乘法：； ② 拆分整数凑整，运用乘法分配律： 原式 【知识点睛】考查分数除法的简便计算。核心：拆分整数凑分母约分，运用分配律简算。易错警示：直接相乘计算量大。 12. 【答案】这堆煤原来有 60 吨。 解题步骤： ① 剩下的分率：，对应 21 吨； ② 总吨数：（吨） 【知识点睛】考查分数还原问题。核心：剩下的量 ÷ 对应分率 = 总量。易错警示：用剩下的量除以两个分率的和。 13. 【答案】原价是 100 元。 解题步骤： ① 先降价再涨价后，现价是原价的： ② 原价：（元） 【知识点睛】考查单位 “1” 变化的逆向问题。核心：先求现价对应原价的分率，再用除法求单位 “1”。易错警示：认为现价等于原价。 14. 【答案】还要天（或 4.8 天）。 解题步骤： ① 甲队效率为，先做 2 天完成的工作量： ② 剩余工作量： ③ 两队效率和： ④ 合作时间：（天） 【知识点睛】考查工程变式问题。核心：先算剩余工作量，再除以效率和得到合作时间。易错警示：用总工作量直接除以效率和。 1 学科网（北京）股份有限公司 $