第17讲 鸽巢问题 专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

第17讲 鸽巢问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基本概念 鸽巢原理：把若干个物品放进若干个抽屉，当物品数比抽屉数多时，一定存在至少一个抽屉里的物品数不少于某个最小值。 核心关键词： 至少：表示最少、最低限度，是所有情况中数量最少的那个最大值。 保证：表示无论怎么放，都一定满足条件，必须考虑最糟糕、最不利的情况。 2. 两个基本鸽巢原理 原理一（基础型） 把个物品任意放进个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有不少于2 个物品。 例：把 5 个苹果放进 4 个抽屉，至少有 1 个抽屉里有 2 个苹果。 本质：物品数比抽屉数多 1 时，至少有一个抽屉有 2 个。 原理二（进阶型） 把个物品任意放进个抽屉里（），那么至少有一个抽屉里放有不少于个物品。 计算方法：（有余数时）；（无余数时）。 例：把 10 本书放进 3 个抽屉，，至少有一个抽屉有本书。 3. 核心方法：最不利原则 适用场景：解决 “保证…… 至少……” 类问题，是鸽巢问题最常用的解题方法。 核心思路：要保证某件事一定发生，先找出最倒霉、最不符合要求的极端情况，在此基础上再加 1，就是满足条件的最小数量。 解题步骤： ① 明确要 “保证” 的目标； ② 构造最不利的情况（尽量不满足目标）； ③ 最不利数量 + 1 = 保证满足的最小数量。 4. 常见 “抽屉” 的构造 很多题目不会直接给出抽屉，需要我们根据题意自己构造： 颜色类：不同颜色的球、棋子、袜子等，每种颜色是一个抽屉。 时间类：月份（12 个抽屉）、星期（7 个抽屉）、生肖（12 个抽屉）、天数（366 个抽屉）。 数字类：和差关系、倍数关系、奇偶性等，按性质分组构造抽屉。 组合类：订阅种类、选课组合等，先算出总共有几种不同情况，每种情况是一个抽屉。 5. 解题通用步骤 ① 读题找出 “物品” 和 “抽屉” 分别是什么； ② 判断题型：是直接用原理，还是需要用最不利原则； ③ 对应公式计算，有余数加 1，无余数取商； ④ 代入最不利情况检验答案是否合理。 例题讲解 【典型例题 1】基础鸽巢原理 把 7 个苹果放进 3 个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几个苹果？ 【跟踪训练 1】 8 只鸽子飞回 5 个鸽舍，总有一个鸽舍里至少飞进了几只鸽子？ 【典型例题 2】最不利原则（摸球同色） 盒子里有红色、黄色、蓝色三种颜色的球各 10 个，它们的大小、形状完全相同。至少摸出几个球，才能保证有 2 个球的颜色相同？ 【跟踪训练 2】 袋子里有黑色、白色两种颜色的围棋棋子各 8 枚。至少摸出几枚棋子，才能保证有 3 枚棋子颜色相同？ 【典型例题 3】构造抽屉（月份问题） 六年级一班有 38 名同学，至少有几名同学是在同一个月过生日的？ 【跟踪训练 3】 某校六年级有 45 名学生是 10 月份出生的，至少有几名学生是同一天出生的？ 【典型例题 4】最不利原则（保证不同色） 口袋里有 10 个红球和 6 个黄球，它们除颜色外完全相同。至少摸出多少个球，才能保证一定有黄球？ 【跟踪训练 4】 一副扑克牌去掉大小王共 52 张，有 4 种花色，每种花色 13 张。至少抽出多少张牌，才能保证有 2 张牌是同花色的？ 巩固练习 1．有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的球各6个，放到同一个盒子里，最少摸出几个才能保证至少有两种颜色的球？ 2．六（2）班有学生47名，他们分别订阅了A、B、C三种杂志中的一种，至少有几名学生订阅的杂志相同？ 3．体育课上同学们进行投篮练习，其中6名同学共投进37个球。总有1名同学至少投进几个球？ 4．为了培养同学们的核心素养，学校开设了航模、编程和漫画三个社团，规定每个学生至少参加一个社团，最多参加两个社团。那么，至少有多少名学生参加，才能保证有不少于25名学生参加社团的情况完全相同？ 5．我国古代君子六艺中的“五射”包括“白矢（shǐ）”“参连”“剡（yǎn）注”“襄尺”和“井仪”五种射法。其中“参连”是发了第一箭后，以后三箭要连续射出，俗称“连珠箭”。王叔叔练习“参连”射法，连发四箭，成绩是33环，则王叔叔总有一箭至少射中了几环？ 6．把25本书分发给4名同学，不管怎么分发，总有一名同学至少发到7本书。为什么？ 7．一个鱼缸里有4种鱼，每种鱼都有很多条。至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？ 8．元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？ 9．箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。 10．一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最少需要取几次？ 11．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组。问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？ 12．在一个直径为2m的圆形花坛周围放上7盆花，那么至少有2盆花之间的距离不超过1米，为什么？（提示：可以通过计算后画图说明） 真题训练 13．一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少要取多少个小球？ 14．把一些桃子放进了3个盘子里，总有一个盘子里至少有3个桃子，这些桃子一定是7个。这句话对吗？为什么？ 15．红领巾小学今年入学的一年级新生中有370人是在同一年出生的。试说明：他们中一定有两个人是在同一天出生的。（全年按365天算） 16．六（1）班有52名同学，他们都订阅《故事会》、《小学生作文》和《中国少年报》中的一种或几种，那么，其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同？ 17．某班有44名学生，他们都订阅了甲、乙、丙三种报刊中的若干种（每名学生订了其中的一种、两种或三种）。至少有几名学生订阅的报刊是完全相同的? 18．食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只能买一种菜和一种主食，在16名同学中，一定至少有两名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么？ 19．三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？ 20．幼儿园小朋友分苹果、梨、橘子这三种水果。如果每个小朋友任意拿两个水果，那么至少几个小朋友拿过后才一定能出现两人拿的水果是相同的？ 21．一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 22．口袋里有大小、质地、形状完全相同的红球、黄球、黑球、粉球和白球各15个，想要不放回地摸出6个同色的球，最多需要摸出多少个球？ 23．有11名学生到图书室借书,图书室有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本,那么至少有2名学生所借的书的类别相同。你能说明其中的道理吗? 24．从下面12张英语卡片中，任意抽出几张。要使抽出的英语卡片中一定有2张英语单词是相同的，至少要抽出几张卡片？要使抽出的英语卡片中一定有4张英语单词是相同的，至少要抽出几张卡片？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 鸽巢问题 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基本概念 鸽巢原理：把若干个物品放进若干个抽屉，当物品数比抽屉数多时，一定存在至少一个抽屉里的物品数不少于某个最小值。 核心关键词： 至少：表示最少、最低限度，是所有情况中数量最少的那个最大值。 保证：表示无论怎么放，都一定满足条件，必须考虑最糟糕、最不利的情况。 2. 两个基本鸽巢原理 原理一（基础型） 把个物品任意放进个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有不少于2 个物品。 例：把 5 个苹果放进 4 个抽屉，至少有 1 个抽屉里有 2 个苹果。 本质：物品数比抽屉数多 1 时，至少有一个抽屉有 2 个。 原理二（进阶型） 把个物品任意放进个抽屉里（），那么至少有一个抽屉里放有不少于个物品。 计算方法：（有余数时）；（无余数时）。 例：把 10 本书放进 3 个抽屉，，至少有一个抽屉有本书。 3. 核心方法：最不利原则 适用场景：解决 “保证…… 至少……” 类问题，是鸽巢问题最常用的解题方法。 核心思路：要保证某件事一定发生，先找出最倒霉、最不符合要求的极端情况，在此基础上再加 1，就是满足条件的最小数量。 解题步骤： ① 明确要 “保证” 的目标； ② 构造最不利的情况（尽量不满足目标）； ③ 最不利数量 + 1 = 保证满足的最小数量。 4. 常见 “抽屉” 的构造 很多题目不会直接给出抽屉，需要我们根据题意自己构造： 颜色类：不同颜色的球、棋子、袜子等，每种颜色是一个抽屉。 时间类：月份（12 个抽屉）、星期（7 个抽屉）、生肖（12 个抽屉）、天数（366 个抽屉）。 数字类：和差关系、倍数关系、奇偶性等，按性质分组构造抽屉。 组合类：订阅种类、选课组合等，先算出总共有几种不同情况，每种情况是一个抽屉。 5. 解题通用步骤 ① 读题找出 “物品” 和 “抽屉” 分别是什么； ② 判断题型：是直接用原理，还是需要用最不利原则； ③ 对应公式计算，有余数加 1，无余数取商； ④ 代入最不利情况检验答案是否合理。 例题讲解 【典型例题 1】基础鸽巢原理 把 7 个苹果放进 3 个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几个苹果？ 【分析】典型的原理二题型。用苹果总数除以抽屉数，得到商和余数，有余数时至少数 = 商 + 1。 【详解】 （个）……（个） 每个抽屉先放 2 个，还剩 1 个，无论放进哪个抽屉，这个抽屉就有个。 答：总有一个抽屉里至少有 3 个苹果。 【答案】个 【跟踪训练 1】 8 只鸽子飞回 5 个鸽舍，总有一个鸽舍里至少飞进了几只鸽子？ 【分析】鸽子是物品，鸽舍是抽屉，总数除以抽屉数，有余数加 1。 【详解】 （只）……（只） 每个鸽舍先飞进 1 只，剩下 3 只分别飞进不同鸽舍，至少有一个鸽舍有只。 【答案】只 【典型例题 2】最不利原则（摸球同色） 盒子里有红色、黄色、蓝色三种颜色的球各 10 个，它们的大小、形状完全相同。至少摸出几个球，才能保证有 2 个球的颜色相同？ 【分析】要保证有 2 个同色，考虑最不利情况：先每种颜色各摸 1 个，一共摸了 3 个，此时没有同色。再摸 1 个，无论是什么颜色，一定和前面某一个颜色相同。 【详解】 最不利情况：红、黄、蓝各摸 1 个，共个。 再摸 1 个就一定有 2 个同色：（个） 【答案】个 【跟踪训练 2】 袋子里有黑色、白色两种颜色的围棋棋子各 8 枚。至少摸出几枚棋子，才能保证有 3 枚棋子颜色相同？ 【分析】要保证 3 枚同色，最不利情况是每种颜色先各摸 2 枚，都达不到 3 枚。再摸 1 枚，无论哪种颜色，都能凑成 3 枚同色。 【详解】 最不利情况：黑、白各摸 2 枚，共枚。 再摸 1 枚：（枚） 【答案】枚 【典型例题 3】构造抽屉（月份问题） 六年级一班有 38 名同学，至少有几名同学是在同一个月过生日的？ 【分析】一年有 12 个月，把 12 个月看作 12 个抽屉，38 名同学看作 38 个物品，用总数除以抽屉数，有余数加 1。 【详解】 一年有 12 个月。 （名）……（名） 每个月先有 3 人过生日，剩下 2 人分在不同月份，至少有人在同一个月过生日。 【答案】名 【跟踪训练 3】 某校六年级有 45 名学生是 10 月份出生的，至少有几名学生是同一天出生的？ 【分析】10 月份有 31 天，看作 31 个抽屉，45 名学生是物品，计算至少数。 【详解】 10 月份有 31 天。 （名）……（名） （名） 【答案】名 【典型例题 4】最不利原则（保证不同色） 口袋里有 10 个红球和 6 个黄球，它们除颜色外完全相同。至少摸出多少个球，才能保证一定有黄球？ 【分析】要保证摸到黄球，最不利的情况是先把所有红球都摸出来，就是摸不到黄球。这时再摸 1 个，一定是黄球。 【详解】 最不利情况：把 10 个红球全部摸出，共 10 个。 再摸 1 个一定是黄球：（个） 【答案】个 【跟踪训练 4】 一副扑克牌去掉大小王共 52 张，有 4 种花色，每种花色 13 张。至少抽出多少张牌，才能保证有 2 张牌是同花色的？ 【分析】4 种花色看作 4 个抽屉，最不利情况是每种花色各抽 1 张，再抽 1 张就一定有同花色。 【详解】 最不利情况：4 种花色各抽 1 张，共 4 张。 再抽 1 张：（张） 【答案】张 巩固练习 1．有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的球各6个，放到同一个盒子里，最少摸出几个才能保证至少有两种颜色的球？ 【答案】7个 【分析】要保证摸出的球至少有两种颜色，需考虑最不利的情况：先摸出同一种颜色的全部球，此时再摸1个就一定是其他颜色，据此计算即可。 【详解】最不利情况下，先摸出同一种颜色的球共6个。再摸1个球，必然是其他颜色，满足至少两种颜色的要求： 6＋1＝7（个） 答：最少摸出7个才能保证至少有两种颜色的球。 2．六（2）班有学生47名，他们分别订阅了A、B、C三种杂志中的一种，至少有几名学生订阅的杂志相同？ 【答案】 16名 【分析】订阅的杂志可选A、B、C中的一种，所以共有种不同的订阅类别，这是鸽巢问题中的“鸽巢数”；总人数是鸽巢问题中的“物体数”；要计算至少数，那么用物体数除以鸽巢数，根据有余数除法的结果，判断至少数。 【详解】订阅杂志的种类共3种。 ……2 （名） 答：至少有名学生订阅的杂志相同。 3．体育课上同学们进行投篮练习，其中6名同学共投进37个球。总有1名同学至少投进几个球？ 【答案】 总有1名同学至少投进7个球。 【分析】把6名同学看作6个鸽巢，37个投进的球看作待分的物体，根据鸽巢原理，用总球数除以人数，有余数时，至少投进的球数为商加1。 【详解】 （个） 答：总有1名同学至少投进7个球。 4．为了培养同学们的核心素养，学校开设了航模、编程和漫画三个社团，规定每个学生至少参加一个社团，最多参加两个社团。那么，至少有多少名学生参加，才能保证有不少于25名学生参加社团的情况完全相同？ 【答案】145名 【分析】先枚举学生参加社团的所有不同情况，确定“抽屉”总数；再依据最不利原则，先让每种情况各有24名学生，此时再增加1名学生，才能保证有不少于25名学生参加社团的情况完全相同。 【详解】只参加1个社团有3种情况，参加2个社团有3种情况。 （种） 要保证不少于25名学生情况相同，最不利的情况是每种情况都有24名学生。 （名） 增加1名学生后，必然有一类情况的人数达到25名： （名） 答：至少有145名学生参加，才能保证有不少于25名学生参加社团的情况完全相同。 5．我国古代君子六艺中的“五射”包括“白矢（shǐ）”“参连”“剡（yǎn）注”“襄尺”和“井仪”五种射法。其中“参连”是发了第一箭后，以后三箭要连续射出，俗称“连珠箭”。王叔叔练习“参连”射法，连发四箭，成绩是33环，则王叔叔总有一箭至少射中了几环？ 【答案】9环 【分析】从最不利情况考虑，让四箭的环数尽可能平均，平均数加1能得到“总有一箭至少射中”的最低环数。 【详解】（环）（环） （环） 答：王叔叔总有一箭至少射中了9环。 6．把25本书分发给4名同学，不管怎么分发，总有一名同学至少发到7本书。为什么？ 【答案】见详解 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： （1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。 （2）当n能被m整除时，k＝个物体。 【详解】25÷4＝6（本）……1（本） 6＋1＝7（本） 答：总有一名同学至少发到7本书。 【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 7．一个鱼缸里有4种鱼，每种鱼都有很多条。至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？ 【答案】17条 【分析】把4个品种看作四个抽屉，从最极端的情况进行分析：因为考虑到最坏的情况即捞了16条出现每种4条，捞了第17条一定出现一种鱼有5条。 【详解】4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（条） 答：至少要捞出17条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼。 【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此题的关键是从最极端的情况进行分析，根据抽屉原理，进行解答即可。 8．元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？ 【答案】49张 【分析】此题中求至少要准备多少件礼物，即为“最不利原则”问题。收到最多贺卡的小朋友即“抽屉王”收到5张贺卡，则其他小朋友应收到：5－1＝4（张），根据抽屉原理：4×12＝48（张），再加上“抽屉王”多出的1张贺卡，则至少准备：48＋1＝49（张），所以老师至少准备49张贺卡。 【详解】5－1＝4（张） 4×12＝48（张） 48＋1＝49（张） 答：老师至少要准备49张贺卡。 【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。 9．箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。 【答案】76张 【分析】根据题意，要保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡，按数量从多到小依次是红卡30张、蓝卡25张、白卡20张、黄卡15张；根据最不利原则即运气最差，把数量多的卡依次摸出来，即摸出了30张红卡、25张蓝卡、20张白卡，此时再任意摸一张，一定是黄卡，这时满足摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡；据此解答。 【详解】30＋25＋20＋1 ＝55＋20＋1 ＝75＋1 ＝76（张） 答：最少要从箱子里摸出76张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。 【点睛】本题考查鸽巣问题，采取最不利原则解题。 10．一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最少需要取几次？ 【答案】9次 【分析】总共有8种颜色的弹珠，要取出2个相同颜色的弹珠，最倒霉的情况就是前面8次取出的弹珠颜色都不一样，每种颜色各一个，这样第9次，不论取什么，一定可以保证有2个相同颜色的弹珠。 【详解】（次） 答：最少需要取9次。 【点睛】本题考查的是抽屉问题，求解此类问题，就要按照最不利于事件发生的情况考虑问题。 11．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组。问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？ 【答案】4个月 【分析】可以从第一个月开始研究，第一次分组后，有8个人在同一组，然后依次考虑第二次、第三次分组后，是否满足任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里，找出符合要去的最小值。 【详解】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生； 经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生； 经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的。如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放入两个组，那么第一个月保持同组的人数为16÷2＝8人，第二个月保持同组的人数为8÷2＝4人，第三个月保持同组人数为4÷2＝2人，这说明照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月； 答：最少要经过4个月。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，求解抽屉原理的问题，要遵循最不利的原则考虑问题。 12．在一个直径为2m的圆形花坛周围放上7盆花，那么至少有2盆花之间的距离不超过1米，为什么？（提示：可以通过计算后画图说明） 【答案】答案见详解 【分析】根据题干分析可得，7盆花一共有7个间隔，根据抽屉原理，从最差情况考虑：使每个间隔的长度尽量的平均，则每个间隔的长度最少是6.28÷6≈0.9米，由此即可解答。 【详解】2×3.14＝6.28（米） 每个间隔平均是6.28÷7≈0.9（米）； 即至少有2盆花的距离不超过1米。 【点睛】此题原型属于抽屉原理，关键是根据7盆花求出间隔数是7，即得出7个抽屉，再利用抽屉原理即可解答。 真题训练 13．一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同，则至少要取多少个小球？ 【答案】15个 【分析】考虑最“坏”的情况，先取出4个红球，5个黄球，5个黑球，这样再取一个，不论取出的是黄球还是黑球，将有6个球颜色相同。 【详解】（个） 答：至少要取15个小球。 【点睛】本题考查的是最不利原则，不符合要求的最大数量加上去，得到符合要求的最小数量。 14．把一些桃子放进了3个盘子里，总有一个盘子里至少有3个桃子，这些桃子一定是7个。这句话对吗？为什么？ 【答案】不对。因为3个盘子，总有一个盘子里至少有3个桃子，桃子数是不定的，最少是7个而非一定是7个。 【分析】利用“鸽巢原理”进行分析即可。3个盘子即是3个抽屉，考虑最差的情况，每个抽屉放2个桃，共3×2＝6个，则再分1个，无论分到哪个抽屉里，都会出现至少有一个盘子里有3个桃，此时桃子数最少为：3×2＋1＝7（个）。 【详解】不对。因为3个盘子，总有一个盘子里至少有3个桃子，桃子数是不定的，最少是7个，不是一定是7个。 【点睛】本题主要考查对 “鸽巢原理”的理解和应用。 15．红领巾小学今年入学的一年级新生中有370人是在同一年出生的。试说明：他们中一定有两个人是在同一天出生的。（全年按365天算） 【答案】全年有365天，370人的生日分到365天，按平均分的方法，365天里每天都有1人生日在这一天，还剩下5人，这5人无论在哪一天出生，都满足至少有2个人是同一天出生的。 【分析】这是一道简单的抽屉问题，把这个问题转化成抽屉问题解答即可。 【详解】全年有365天，370人的生日分到365天，按平均分的方法，365天里每天都有1人生日在这一天，还剩下5人，这5人无论在哪一天出生，都满足至少有2个人是同一天出生的，用算式表达为：370÷365＝1……5，1＋1＝2（人）。 答：他们中一定有两个人是在同一天出生的。 【点睛】本题考查抽屉问题，具体是把多于kn（k是正整数）个物体任意分放进n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体。解决本题的关键是理解“平均分”的思路，利用公式a÷n＝b……c，总有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体（a是物体个数，n是抽屉个数）来解决。 16．六（1）班有52名同学，他们都订阅《故事会》、《小学生作文》和《中国少年报》中的一种或几种，那么，其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同？ 【答案】8名 【分析】每人都订阅一种或几种共有1＋2＋3＝7种订法，则共有7个抽屉，52名同学是52个元素，根据抽屉原理解答即可。 【详解】按平均分的方法：52÷7＝7……3 每个抽屉都有7人，还剩下3人，这3人无论在哪个抽屉，都满足至少有8名同学所订阅的报刊种类完全相同。 答：至少有8名同学所订阅的报刊种类完全相同。 【点睛】本题考查抽屉问题，具体是把多于kn（k是正整数）个物体任意分放进n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体。解决本题的关键是理解“平均分”的思路，利用公式a÷n＝b……c，总有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体（a是物体个数，n是抽屉个数）来解决。 17．某班有44名学生，他们都订阅了甲、乙、丙三种报刊中的若干种（每名学生订了其中的一种、两种或三种）。至少有几名学生订阅的报刊是完全相同的? 【答案】7名 【分析】先求出订阅报刊的情况，再根据“抽屉原理”解答：“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”进行解答即可。 【详解】学生订阅报刊的情况共有7种。 44÷7＝6（名）……2（名） 6+1＝7（名） 【点睛】此题关键运用了“抽屉原理”的解题思路：要从最不利的情况考虑，准确建立抽屉和确定元素的总个数进行解答。 18．食堂有5种不同的菜和3种不同的主食，每人只能买一种菜和一种主食，在16名同学中，一定至少有两名同学所买的菜和主食都是相同的。为什么？ 【答案】原题说法正确。因为菜和主食有5×3＝15（种）搭配方式； 6÷15＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 所以至少有两名同学所买的菜和主食都是相同的。 【分析】首先根据乘法原理，可得菜和主食一共有5×3＝15（种）不同的搭配方式，而学生的人数是16名，学生的人数比菜和主食的搭配方式的种数多1，所以根据“抽屉原理”，可得一定至少有两名同学所买的菜和主食都是相同的，据此判断即可。 【详解】原题说法正确。因为菜和主食有5×3＝15（种）搭配方式； 6÷15＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 所以至少有两名同学所买的菜和主食都是相同的。 【点睛】此题主要考查了“抽屉原理”的应用，解答此题的关键是判断出一共有多少种不同的搭配方式。 19．三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？ 【答案】44本 【分析】43名同学看做43个抽屉，要保证至少有1个学生拿到2本课外书，则课外书的数量应该比学生数多1，即43＋1＝44本，据此即可解答。 【详解】43＋1＝44（本） 答：至少要准备44本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书。 【点睛】此题考查了抽屉原理，关键是找抽屉（43名同学）。 20．幼儿园小朋友分苹果、梨、橘子这三种水果。如果每个小朋友任意拿两个水果，那么至少几个小朋友拿过后才一定能出现两人拿的水果是相同的？ 【答案】7个 【详解】拿二个水果情况有如下6种情况（作为6个抽屉）：（苹果、苹果），（苹果，梨），（苹果，橘子），（梨，梨），（梨，橘子），（橘子，橘子）。假设有6人，分别拿了其中的一种，那么再多1人，拿的只能是这6种中一种情况，即：6＋1＝7（个） 答：至少7个小朋友拿过后才一定能出现两人拿的水果是相同的。 21．一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？ 【答案】115人 【详解】因为最高可得4×10＝40（分） 最低是倒扣：10-1×10＝0（分） 共有40+1＝41（种）不同分数。 答对与答错之间的分数差是3+1=4分；答对一题和空一题之间差3分，所以最高分40分，对9题的情况下，最高分40-3=37分，最低分40-3-1=36分，中间的38分和39分不会出现；依次列举可得35分也不会出现。 41-3=38 38×3＋1=115（人） 为了保证至少有4人得分相同，那么参加考试的学生至少有115人。 答：参加考试的学生至少有115人。 22．口袋里有大小、质地、形状完全相同的红球、黄球、黑球、粉球和白球各15个，想要不放回地摸出6个同色的球，最多需要摸出多少个球？ 【答案】26个 【分析】球的颜色一共有5种，最坏的结果，要摸出（5+1）个才有同一种颜色的2个；再摸5个必同前面2个颜色相同的；再摸5个，必有同前面3个颜色相同的；再摸5个，必须同前面4个颜色相同的；再摸5个，必有与前面5个颜色相同的；最后再摸1个，必须同前面5个颜色相同的。 【详解】5×5+1 ＝25+1 ＝26（个） 答：最多需要摸出26个球。 23．有11名学生到图书室借书,图书室有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本,那么至少有2名学生所借的书的类别相同。你能说明其中的道理吗? 【答案】2名 【详解】学生借书的选择有:AB、AC、AD、BC、BD、CD和A、B、C、D,共6+4=10(种)。 11÷10=1(名)……1(名)　1+1=2(名) 所以至少有2名学生所借的书的类别相同。 24．从下面12张英语卡片中，任意抽出几张。要使抽出的英语卡片中一定有2张英语单词是相同的，至少要抽出几张卡片？要使抽出的英语卡片中一定有4张英语单词是相同的，至少要抽出几张卡片？ 【答案】 至少要抽出张才能保证有张相同；至少要抽出张才能保证有张相同。 【分析】观察可知：一共有种不同单词，考虑最坏的情况，要保证有张相同的最坏情况为每种单词各抽取张，共抽取张，此时再抽张必然会出现张相同的单词；最坏情况：每种单词都先抽到张，还没有任何一种凑够张。再抽张，这一张必然属于三个单词中的某一个，这个单词就变成张。 【详解】（张） （张） 答：至少要抽出张才能保证有张相同；至少要抽出张才能保证有张相同。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $