1.1 探索勾股定理 课后同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学八年级上册1.1探索勾股定理同步练，以基础巩固为核心，通过三级分层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理基本计算、概念辨析|单选1直接用定理求边长，填空11结合正方形面积强化平方关系| |提升|定理证明方法、简单情境应用|单选6荷花倾斜问题构建直角三角形模型，解答18探宝路径转化坐标计算| |拓展|综合推理、动态与规律探究|单选10通过直角三角形序列探索边长规律，解答20动点问题融合分类讨论与方程思想|

1.1 探索勾股定理 课后同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，，则线段的长为（   ）    A． B．2 C． D． 2．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 3．如图，中间的直角三角形由三个正方形的顶点相连构成．则图中三个正方形的面积可能取值为（   ） A．4，5，6 B．5，7，12 C．5，9，16 D．6，12，15 4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 5．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 6．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中，正确的个数有(　　) ①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为； ②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为； ③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形； ④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 9．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它近似的可以看成是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的长为（   ） A． B．3 C．5 D． 二、填空题 11．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为5和4，则正方形C的面积为______． 12．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么：___________ 13．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 14．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是______． 15．如图，已知，直角中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边AB之长为______________． 三、解答题 16．如图，在中，于点．求： (1)的长； (2)的长． 17．如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 18．暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8，又往北走2，遇到障碍后又往西走3，再折向北走6处往东一拐，仅1就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？    19．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 20．如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C B D C B B 1．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 同理可得：，； 故选B． 2．【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 3．【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由正方形的面积结合勾股定理可知，图中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，据此可得答案． 【详解】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， A项：，不满足要求，不符合题意； B项：，满足要求，符合题意； C项：，不满足要求，不符合题意； D项：，不满足要求，不符合题意， 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 5．【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形”是解决此题的关键，设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 故选：B ． 7．【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】根据勾股定理以及三角形的内角和定理一一判断解答即可. 【详解】解:①设较短的一个直角边为M,则另一个直角边为2M,所以M2M=2,解得M=,2M=2.根据勾股定理解得斜边为.所以此项正确; ②根据勾股定理解得,另一边==,所以此项正确; ③设∠A=x,则∠B=5x,∠C=6x.因为x+5x+6x=180解得x=15,从而得到三个角分别为15,75,90.即△ABC为直角三角形,所以此项正确; ④已知面积和高则可以得到底边为6,又因为是等腰三角形,则底边上的高也是底边上的中线,则可以得到底边的一半为3.此时再利用勾股定理求得腰长为=5.所以此项正确. 所以正确的有四个. 所以D选项是正确的. 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质,直角三角形的判定及勾股定理等知识点. 8．【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、以直角三角形三边为边长的图形面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 9．【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 10．【答案】B 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，图形类规律探究，分别求出的长，得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：，， ， ∴， ∴； 故选B． 11．【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， 故正方形C的面积为， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，第一种方法，这个图形的面积等于三个直角三角形的面积；第二种方法，可证明，进而推出B、C、D三点共线，则这个图形的面积等于梯形的面积，两种方法分别表示出这个图形的面积即可得到答案． 【详解】解；这个图形的面积等于三个直角三角形的面积，即为； 如图所示，∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴B、C、D三点共线， ∴这个图形的面积等于梯形的面积，即为， ∴， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 14．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由即可求解． 【详解】解：中，， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】8 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】设BC=x，AC=y，根据勾股定理列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长． 【详解】设BC=x，AC=y， ∵直角三角形两个锐角顶点所引的中线 ∴ 在Rt△ADC和Rt△BCE中，由勾股定理得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：8 【点睛】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可． 16．【答案】(1)12 (2)9 【知识点】用勾股定理解三角形 【详解】解：（1）在中，，． 由勾股定理，得． ， ． ， ， ， 的长是12． （2）于点， ． 在中，， 由勾股定理，得， 的长是9． 17．【答案】 解：图形的总面积可以表示为， 如图， 也可以表示为， ∴， ∴． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键． 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 【详解】略 18．【答案】登陆点到宝藏处的距离为10千米 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】 解：过点作于点， 根据题意可知，千米，千米， 在中，由勾股定理得千米， 答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．      【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 19．【答案】(1) 证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）略 （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 20．【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $