1.1 探索勾股定理 练习题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

1.1 探索勾股定理 一、单项选择题。 1．已知△ABC中∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则下列说法一定正确的是( ) A．a2＋b2＝c2 B．若∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 C．若∠C＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若△ABC是直角三角形，则a2＋b2＝c2 2．如图，数字代表所在正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为( ) A．17 B．18 C．19 D．20 3．若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长的平方为( ) A．4或20 B．5或21 C．6或24 D．7或25 4．如图所示的衣架可以近似地看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝17cm，BC＝30cm，则衣架的高AD的长为( ) A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 5．如图，要建一个一面靠墙的大棚，棚宽a＝3m，墙高b＝4m，棚长c＝10m，则覆盖在顶上的塑料薄膜需要的面积至少应为( ) A．44m2 B．45m2 C．48m2 D．50m2 6．如图，数轴上放了三个正方形①②③，则正方形②的面积为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，一棵树高4m，另一棵树高10m，两棵树相距8m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行( ) A．6m B．8m C．10m D．14m 8.图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图①中的大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中的大正方形的面积为( ) A．42 B．44 C．47 D．49 二、填空题。 9．如图，数字代表所在正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为________． 10．若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长的平方为___________． 11．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则BC的长为___________． 12．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AD＝4，BC＝2，则AB2＋CD2＝______． 13．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，则图中阴影部分的面积为___． 14．如图，从电线杆离地面12m的A处向地面拉一条长为13m的钢缆，则地面上的钢缆固定点B到电线杆底部C的距离为___m． 15．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，则两圆孔中心A和B之间的距离为________mm. 16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为______m. 三、解答题。 17． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c. (1)若c＝6，则a2＋b2的值为( ) A．6 B．12 C．24 D．36 (2)若a＝6，b＝8，则c＝______； (3)若c＝13，b＝12，则a＝______； (4)若a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值． 18．如图，数字代表所在正方形的面积，求字母A所代表的正方形的面积． 19．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，斜边的长为c. (1)请验证：a2＋b2＝c2； (2)若小正方形的面积为5，(a＋b)2＝21，求大正方形的面积． 20．4个全等的直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试． 21．如图，一辆小汽车在一条城市街道上匀速直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A的正前方60m处的C点，过了5s后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．若这条路上的限速为70km/h，请问这辆小汽车超速了吗？ 答案： 一、 1-8 CADBD ACB 二、 9. 25 10. 7或25 11. 4或14 12. 20 13. 9 14. 4 15. 150 16. 2.2 三、 17. 解：(1)D (2)10 (3)5 (4)设a＝3x，c＝5x.因为a2＋b2＝c2，所以(3x)2＋322＝(5x)2， 解得x＝8(负值已舍去)，所以a＝3x＝24，c＝5x＝40. 18. 解：因为BD2＝BC2＋CD2＝3＋9＝12，所以EF2＝BD2＝12. 又因为EF2＋FG2＝EG2，所以12＋FG2＝18，所以FG2＝6， 所以字母A所代表的正方形的面积为6. 19. 解：(1)因为S小正方形＋4S直角三角形＝S大正方形，所以(a－b)2＋4·ab＝c2， 所以a2－2ab＋b2＋2ab＝c2，所以a2＋b2＝c2； (2)因为小正方形的面积为5，所以(a－b)2＝5，所以a2＋b2－2ab＝5.① 又因为(a＋b)2＝21，所以a2＋b2＋2ab＝21.② 由①＋②，得2(a2＋b2)＝26，所以a2＋b2＝13， 所以大正方形的面积为13. 20. 解：因为图形的总面积可以表示为c2＋2×ab＝c2＋ab， 也可以表示为a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab，所以c2＋ab＝a2＋b2＋ab， 所以a2＋b2＝c2. 21. 解：这辆小汽车没有超速．理由如下： 在Rt△ABC中，因为AB＝100m，AC＝60m，所以BC2＝AB2－AC2＝1002－602＝6400， 所以BC＝80m，所以这辆小汽车的速度为80÷5＝16(m/s)＝57.6(km/h). 因为57.6<70，所以这辆小汽车没有超速． 学科网（北京）股份有限公司 $