精品解析：山东日照市东港区曲阜师范大学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

九年级上学期第一阶段数学素养评价 分值：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解． 【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意； D、根的判别式，符合题意； 故选：． 2. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位； B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位； C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位； D. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位； 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先将化为顶点式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线， 故选：A． 3. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质． 【详解】解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 4. 某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人行通道的宽度为，根据题意列方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设人行通道的宽度为， 根据题意得，， 故选：． 5. 二次函数的部分x与y的对应值如表 x … 0 1 2 3 4 … y … 4 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 函数的最大值为7 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】利用表格中 3 组求出二次函数的值，得到，，，依次判断开口方向、对称轴、函数最值和增减性，找出描述错误的选项。 【详解】解：把表格里三组的值代入： 当，：； 当，：，得； 当，：，得，化简； 联立两式相减：，代入，得． 所以二次函数解析式：。， 抛物线开口向下，A 正确． 对称轴公式：， 对称轴为，B 正确． 开口向下，顶点在对称轴处，把代入，，函数最大值是 7，C 正确． 开口向下，对称轴，当时，随增大而减小；当时，随增大而增大． 所以 “当时，的值随值的增大而减小” 这句话错误． 因此不正确的是 D． 6. 抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 7. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先解方程得，，再计算自变量为0对应的函数值得到，接着证明为等腰直角三角形，所以，即，然后把等式两边平方可得． 【详解】解：由图可得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即， 整理，得 , ∵ ∴． 故选：A． 8. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点．使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与轴的交点情况逐项判定即可． 【详解】解：由图象可知：，，， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，故正确； ∵，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知， ∴当时，，故正确； 由题意可知，到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，过点， ∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为， ∴， 若方程， 即方程的两根为，， 则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴，故错误； 综上可得：正确，共个正确． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 用配方法将方程化成的形式，则n的值为________． 【答案】14 【解析】 【详解】解：，一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 12. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，结合函数图像，找出抛物线在直线下方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线交于，两点， 当或时，， 观察函数图像可知，当时，抛物线的图像在直线的下方， 不等式的解集为． 13. 若二次函数的图象过点，则关于的一元二次方程的两个根为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数的图象具有对称性，可以写出该函数的对称轴和轴的另一个交点坐标，然后即可写出一元二次方程的两个根． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 二次函数的图象过点， 该函数图象与轴的另一个交点为， 一元二次方程的两个根为，， 故答案为：，． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，D的坐标分别是、，且点C在抛物线（b为常数）的图象上，则b的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的知识即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键． 【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵点、的坐标分别是，， ∴， 解得：， ∴， ∵点在抛物线的图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得． 17. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：__________； （2）写出不等式的解集：__________； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象与x轴的两个交点的横坐标进行解答即可； （2）根据函数图象找出在x轴下方的部分所对的x值即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴进行解答即可； （4）根据函数图象进行解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 18. 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【解析】 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 19. 爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 （1）①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； （2）通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 【答案】（1）①如图所示： ②； （2） 这次发球能过网，不会出界，理由如下： 小宛这次发球是站在点， 发球点到球网水平距离为， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 这次发球能过网，不会出界． 【解析】 【分析】（1）①根据图中描的点进行连线即可作出图象；②根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可得到答案； （2）将代入抛物线解析式，求得值与比较，令解出与比较，然后可得到答案； 【小问1详解】 ①略 ②根据题意，设与的函数关系式为， 将代入，得， 解得，即， 将下表中数据： 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式为； 【小问2详解】 略． 20. 某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． （1）求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； （2）若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ （3）第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 【答案】（1）； （2）元/件； （3）万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的图象与性质求解． 根据利润单件利润销售量，即可解决问题； 当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价； 根据公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件，可得：，根据利润单件利润销售量，可得第二年的利润为，求出在的取值范围内二次函数的最小值即可． 【小问1详解】 解：根据利润单件利润销售量， 可得：； 【小问2详解】 解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 【小问3详解】 解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件， ， 解得：， ， 第二年的利润， 抛物线的对称轴为直线，开口向下，且， 当时，有最小值，最小值为万元， 答：该公司第二年的利润至少为万元． 21. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示） （1）直接写出经过、、三个点的二次函数表达式； （2）当函数值随的增大而增大时，求的取值范围； （3）当直线与函数的图象有2个交点时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息是解题的关键． （1）求出函数与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）直接观察图象，即可求解； （3）由图可知，当直线与函数在之间的图象相切时，恰好有三个交点，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时的值，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴当时，，当时，， 解得：，， ∴图象与坐标轴的交点为，，， 设经过、、三个点的二次函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴经过、、三个点的二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据图象得：图象的对称轴为直线， 观察图象得：当或时，函数值随值的增大而增大； 【小问3详解】 解：如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， ， 解得：， 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， ， 解得：， 当时，， 当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， 解得，， 结合图象得，当直线与函数的图象有个交点时，的取值范围为或． 22. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ； 【小问2详解】 解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为； ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一阶段数学素养评价 分值：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位； B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位； C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位； D. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位； 3. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的部分x与y的对应值如表 x … 0 1 2 3 4 … y … 4 7 4 … 则关于该二次函数的说法不正确的是（ ） A. 其图象开口向下 B. 其图象的对称轴为 C. 函数的最大值为7 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 6. 抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点．使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 用配方法将方程化成的形式，则n的值为________． 12. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 13. 若二次函数的图象过点，则关于的一元二次方程的两个根为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，D的坐标分别是、，且点C在抛物线（b为常数）的图象上，则b的值为______． 15. 定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1）． （2）． 17. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程的两个根：__________； （2）写出不等式的解集：__________； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 18. 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 19. 爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 （1）①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； （2）通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 20. 某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． （1）求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； （2）若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ （3）第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 21. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示） （1）直接写出经过、、三个点的二次函数表达式； （2）当函数值随的增大而增大时，求的取值范围； （3）当直线与函数的图象有2个交点时，求的取值范围． 22. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $