精品解析：河南南阳市第二完全学校初中部2026-2027学年上学期 八年级 数学第一次督学试卷

2026年秋期八年级数学第一次督学考试 （满分120分 考试时间100分钟） 一．选择题（共30分） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各选项中的数，再根据实数大小比较规则判断即可． 【详解】解：， ， 则最大的数是． 2. 在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【详解】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 3. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 4. 下列各式属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，右边为两个整式的积，符合； B．，右边不是整式的积的形式，不符合； C．，是整式乘法变形，不符合； D．，右边含有分式，不是整式的积，不符合． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不符合题意． 6. 若正整数满足，则下面关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 7. 小李同学制作了如图所示的卡片类、类、类各10张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是（ ） A. 够用，剩余5张 B. 够用，剩余1张 C. 不够用，缺2张 D. 不够用，缺3张 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【详解】解： ， ∵C类卡片的面积是，∴需要C类卡片的张数是13，∴C类卡片不够用，还缺3张．故选：D． 8. 若 ，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项． 设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果． 【详解】解：设 “” 为正数a，则， ∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁． 若，得且， 均解得，故甲符合题意； 若，得且， 解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意； 综上，只有甲符合题意， 故选：A． 10. 如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中三点在同一直线上，若，那么阴影部分的面积等于（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查组合图形求面积，整式的运算，完全平方公式变形运用． 运用组合图形中求面积的方法：用参数分别表示整体面积、空白部分面积，两者之差表示阴影部分面积，化简，运用完全平方公式变形求解． 【详解】解：如图，图形整体面积， 图中空白部分面积 ∴阴影部分的面积 ； 故选：C． 二．填空题（共15分） 11. 的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】逆用积的乘方法则简化高次幂运算，拆分指数后分组计算即可得结果． 【详解】解： ． 13. 已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 14. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 15. 一般的，如果（，且），那么叫做以为底的对数，记作．例如：由于，所以3是以2为底8的对数，记作；由于，所以1是以为底的对数，记作．对数作为一种运算，有如下的运算性质如果，且，，，那么（1）；（2）；（3）．根据上面的运算性质，计算的结果是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用已知公式进而将原式变形求出答案即可． 【详解】解： ； 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，新定义的运算法则，掌握运算法则，正确将原式变形是解题关键． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 下面是两位同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务．化简并求值：，其中，． 小刚的方法： 解： 小丽的方法： 解： 任务一：仔细检查小刚同学解题的过程，回答下列问题． （1）第①处错误的原因是___________； （2）第②处用到的乘法公式是___________．（用含、的式子表示公式） 任务二：小丽运用了提公因式法简便了运算，但过程不完整，请你将小丽的化简过程完整的写出来，并代入求值，其中，． 【答案】任务一：（1）完全平方公式运用错误，（2）； 任务二：解：原式 ． 当，时， 原式． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解相关知识点，准确掌握因式分解中公式法以及提取公因式法是解题的关键．任务一：掌握完全平方和以及平方差公式即可解出；任务二：运用提取公因式法化简求值即可． 【详解】解：任务一： （1）完全平方公式运用错误． （2）． 任务二：略 18. 设，是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵，都是有理数， ∴，也是有理数， ∵是无理数， ∴，， ，， ∴． 请解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）设，都是有理数，且满足，则的值为____________． （3）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）估算出的取值范围即可得到答案； （2）根据题意可得，则可推出，，据此可得答案； （3）估算出和的取值范围，从而确定、的值，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，都是有理数， ∴，都是有理数， ∵为无理数， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为，即； ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的整数部分为，即， ∴． 19. 在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如：，取，则，，得因式码14、18，则密码为1418或1814． （1）根据上述方法，已知多项式为，当时，密码为______； （2）若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师的锁屏密码是3535，那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由； （3）若选取的多项式为，利用本题方法，当时可以得到密码2026或2620，求、的值． 【答案】（1）1119或1911 （2）32 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意分解因式，代入求解即可； （2）易得，据此即可得解； （3）根据密码可得多项式因式分解的结果为，展开与原式对比，求解即可． 【小问1详解】 解：， 当时，，， 密码为1911或1119； 故答案为：1911或1119； 【小问2详解】 解：32岁，理由如下： ， 王老师的锁屏密码是3535， ， 解得， 即王老师当前年龄是32岁； 【小问3详解】 解：设多项式分解的结果为， 当时可以得到密码2026或2620， ，或，， 解得，或，， 多项式因式分解的结果为， ， 可得， 解得 20. 按要求解答下列问题： （1）若，，求的值； （2）已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】（1）27； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂及幂的乘方运算法则对原式进行变形，再代入求值即可； （2）根据积的乘方及幂的乘方运算法则进行变形即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解： ，， ． 21. 如图，长方形的两边长分别为，，面积为，现有一个正方形的周长与长方形的周长相等． （1）用含m的代数式表示正方形的边长：________； （2）已知正方形的面积S，问：的值是否与m的大小有关？并说明理由． 【答案】（1） （2）的值与m的大小无关 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、长方形和正方形的周长和面积、求差法比较大小，解决本题的关键是综合运用相关知识． （1）根据长方形和正方形周长相等即可求解； （2）根据求差法比较大小即可求解． 【小问1详解】 解：正方形的边长为， 故答案为：； 【小问2详解】 的值与m的大小无关，理由为： ， ∴的值与m的大小无关． 22. 定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”． 任务：根据上述材料，推理下面的结论． 求证： （1）任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方． （2）连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 【答案】（1） 证明：由题可知，任意“邻积数”乘4，再加1可以表示为． ， 任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方； （2） 证明：由题可知，两个连续的“邻积数”可以分别表示为． ， 两个连续“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解新定义， 对于（1），根据新定义可设“邻积数”为，再根据条件可得，然后整理得出结论即可； 对于（2），先表示出两个“邻积数”为，再整理得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： ①图1： ； ②图2： ； ③图3： ． （2）若，，则的值为_________________ （3）根据上述图中你探索发现的结论，完成下列问题： 已知长方形的长为，宽为，且，长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长与宽为边长的正方形的面积之差． 【答案】（1）①；②；③； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）观察图形表示阴影部分的面积即可； （2）根据（1）中结论代入即可解答； （3）根据题意知，，由（1）中结论先求出，再代入求值． 【小问1详解】 解：观察图形可知，阴影部分面积分别为： ①； ②； ③； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：长方形的周长为40，面积为75， ，， ， ， ， ， ， ， 即以长方形的长与宽为边长的正方形的面积之差为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期八年级数学第一次督学考试 （满分120分 考试时间100分钟） 一．选择题（共30分） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 1 2. 在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 下列各式属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若正整数满足，则下面关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小李同学制作了如图所示的卡片类、类、类各10张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是（ ） A. 够用，剩余5张 B. 够用，剩余1张 C. 不够用，缺2张 D. 不够用，缺3张 8. 若 ，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 9. 甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中三点在同一直线上，若，那么阴影部分的面积等于（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 160 二．填空题（共15分） 11. 的算术平方根是_____． 12. 计算：______． 13. 已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 14. 分解因式：a3－a=___________ 15. 一般的，如果（，且），那么叫做以为底的对数，记作．例如：由于，所以3是以2为底8的对数，记作；由于，所以1是以为底的对数，记作．对数作为一种运算，有如下的运算性质如果，且，，，那么（1）；（2）；（3）．根据上面的运算性质，计算的结果是_____． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 下面是两位同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务．化简并求值：，其中，． 小刚的方法： 解： 小丽的方法： 解： 任务一：仔细检查小刚同学解题的过程，回答下列问题． （1）第①处错误的原因是___________； （2）第②处用到的乘法公式是___________．（用含、的式子表示公式） 任务二：小丽运用了提公因式法简便了运算，但过程不完整，请你将小丽的化简过程完整的写出来，并代入求值，其中，． 18. 设，是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵，都是有理数， ∴，也是有理数， ∵是无理数， ∴，， ，， ∴． 请解答： （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）设，都是有理数，且满足，则的值为____________． （3）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 19. 在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如：，取，则，，得因式码14、18，则密码为1418或1814． （1）根据上述方法，已知多项式为，当时，密码为______； （2）若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师的锁屏密码是3535，那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由； （3）若选取的多项式为，利用本题方法，当时可以得到密码2026或2620，求、的值． 20. 按要求解答下列问题： （1）若，，求的值； （2）已知，，用含p，q的式子表示． 21. 如图，长方形的两边长分别为，，面积为，现有一个正方形的周长与长方形的周长相等． （1）用含m的代数式表示正方形的边长：________； （2）已知正方形的面积S，问：的值是否与m的大小有关？并说明理由． 22. 定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”． 任务：根据上述材料，推理下面的结论． 求证： （1）任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方． （2）连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： ①图1： ； ②图2： ； ③图3： ． （2）若，，则的值为_________________ （3）根据上述图中你探索发现的结论，完成下列问题： 已知长方形的长为，宽为，且，长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长与宽为边长的正方形的面积之差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $