3.4 利用导数研究函数的极值与最值 专项训练-2027届高三数学一轮复习

3.4 利用导数研究函数的极值与最值 基础知识梳理 1.函数的极值 （1）极小值 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小而且在点附近的左侧  ,右侧  ,则叫做函数的极小值点叫做函数的极小值. （2）极大值 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大而且在点附近的左侧,右侧,则叫做函数的极大值点叫做函数的极大值. （3）极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最值 （1）一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. （2）若函数在上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数在上单调递减,则为函数的最大值为函数的最小值. 3.极值与最值性质 （1）在函数的定义域内,极值点不一定是唯一的,有可能有多个极大值点或极小值点. （2）极大值与极小值之间无确定的大小关系. （3） 是 为的极值点的必要不充分条件.例如但 不是极值点. （4）有极值的函数未必有最值,有最值的函数未必有极值. （5）极值不一定是最值,最值只要不在端点处必定是极值. 题型一 由图象判断函数的极值与极值点 1．已知是的导函数，如图是函数在上的图象，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取极值 D．在处取极值 【答案】D 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 所以在和取极值， 故ABC错误，D正确. 2．已知函数在上可导，其导函数为，若函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（     ） A．函数有极大值和极小值； B．函数有极大值和极小值； C．函数有极大值和极小值； D．函数有极大值和极小值． 【答案】C 【分析】根据图像符号，结合的正负，推出符号，判断单调性变化，确定极值点. 【详解】已知，通过图像，分区间判断的正负： 当时，，图像上，单调递增； 当时：，图像上，单调递减. 此时当时，左增右减，是极大值点，极大值为. 当时，，图像上，单调递减； 当时，，图像上，单调递增. 此时，左减右增，是极小值点，极小值为. 综上：有极大值，极小值. 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极小值 【答案】D 【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出函数的单调性，从而判断选项即可. 【详解】由的图象可知：当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故A，B错误； 所以在处取得极小值，D选项正确； 当时，，单调递增，在处不是极小值，C选项错误. 4．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．在上函数为增函数 B．在上为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在上的极小值点 【答案】A 【分析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）. 【详解】由图象可知在区间单调递增，在区间上单调递减， 在上单调递增，所以A选项正确，B选项错误. 在区间上，先单调递减，再单调递增，有极小值为，C选项错误. 在区间上，是的极小值点，D选项错误. 5．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是的极小值点 C．的单调递减区间是 D． 【答案】C 【详解】由图可知，当或时，， 当时，， 对于A，不是变号零点，所以不是的极值点，A错误； 对于B，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以是的极大值点，B错误； 对于C，由B选项可知的单调递减区间是，C正确； 对于D，因为在上单调递增，所以，D错误. 6．已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值 C．有3个极值点 D． 【答案】D 【分析】根据导函数图象确定原函数的性质，导函数的正负确定原函数的单调性，根据导函数零点左右导数的正负确定极值点的情况. 【详解】，，在区间上单调递减，选项A错误； 时，，当时，，当时，， 所以不是极值点，选项B错误； 的3个零点，，， 当时，，当时，，不是极值点， 当时，，当时，，是极小值点， 当时，，当时，，是极大值点， 有个极值点，选项C错误； ，，在区间上单调递增，，选项D正确. 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递增 D．在处取得极大值 【答案】B 【分析】根据导函数的图象判断的正负，进而确定原函数的单调性及极值点. 【详解】由导函数的图象可知： 在区间上，，所以在该区间上单调递增，故A错误； 在区间上，，所以在该区间上单调递减，故C错误； 因为当，当， 所以在处取得极大值，故B正确； 当，当 ，所以在处取得极小值，故D错误. 8．如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】由图象可知，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 对于A，在开区间先减后增，无最大值，A错误. 对于B，结合在开区间上的单调性， 知为极大值点，开区间内，无法确定端点函数值与极大值的大小关系， 故不一定存在最大值，B错误. 对于C，在开区间先增后减，一定有最大值，C正确. 对于D，结合在开区间上的单调性，知为极大值点， 开区间内，无法确定端点值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，D错误. 9．函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在上不单调 D．3是函数的极小值点 【答案】A 【分析】通过导函数的正负来判断原函数的单调性与极值，依据导数与函数单调性、极值的关系，对各选项逐一分析得出结论. 【详解】由题意可知，在A选项中，当时，， 因此在上单调递减，A正确， 在B选项中，当时，， 因此在上单调递增，B错误， 在C选项中，当时，恒成立， 因此在上单调递增，是单调函数，C错误， 在D选项中，左侧（递增）， 右侧（递减）， 因此是的极大值点，不是极小值点，D错误. 10．若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D. 【详解】由导函数的图像可得： 的变号零点共3个：，，； 处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点. 其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点. 因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确； 选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性， 因此在上单调递增. 因为，所以，故B错误； 选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值； 在单调递减：由，可知，故D错误. 11．已知函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．有3个零点 B．是的极小值点 C．函数在区间上单调递减 D．的最大值是 【答案】C 【分析】从导函数图象得到函数单调性，并由零点，极值点，最值的定义出发进行判断 【详解】从图象可知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，C正确； 故不是的极值点，B错误； 是的极大值，不是最大值，D错误； 的零点个数不确定，A错误. 12．已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【答案】C 【详解】由导函数的图像可知，在区间内： 驻点为的点，由图像可得的点有4个，故A错误； 分析各零点处的符号变化： 第一个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 第二个零点：左侧，右侧，为的极小值点； 处：左右两侧均为正，符号不变，不是极值点； 第三个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 因此在内有2个极大值点，1个极小值点，共3个极值点，故B、D错误，C正确. 13．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 【答案】D 【详解】由导函数的图象可知，当，， 当，，当，， 所以函数在，上单调递增， 在上单调递减，所以A错误，D正确； 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极大值点，2是函数的极小值点，所以B, C错误. 14．如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（   ） A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数 C．当时，取得极大值 D．当时，取得极小值 【答案】D 【详解】由图知，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，A、B错， 所以或时取得极小值，时取得极大值，C错，D对. 15．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】D 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值.故ABC错误，D正确. 故选：D 16．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（   ） A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 【答案】C 【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点和最值，进而确定正确选项. 【详解】由图可知，在区间上,单调递减； 在区间上,单调递增. 所以当时，取不到最小值，当时，取得极大值. 所以ABD选项错误，C选项正确. 故选：C. 17．如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（    ） A．函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B．2不是函数的极值点 C．在处切线的斜率小于零 D．在区间上单调递增 【答案】C 【分析】结合导函数的图象，利用导函数与原函数的关系逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图知，当时，函数的图象呈递增趋势， 即越来越大时，导数值越来越大， 函数上的切线斜率越来越大， 则其图象越来越陡峭，故A正确； 对于B，因无论从的左边还是右边接近2时， 导函数的值均为正数，故2不是函数的极值点，故B正确； 对于C，由图知，，即在处切线的斜率大于零，故C错误； 对于D，由图知，当时，恒成立， 故在区间上单调递增，即D正确. 故选：C. 18．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（     ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在处取得极大值 C．导函数在区间上单调递减 D．导函数在处取得极小值 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用与的关系，以及函数极值（点）的定义，结合的图象，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的导函数的图象， 对于A，当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减，所以A错误； 对于B，当时，，在区间上单调递增， 其中，所以在两侧的单调性相同， 则不是函数的极值点，所以B错误； 对于C，由导函数的图象知，在区间上单调递增，所以C错误； 对于D，由导函数的图象知， 在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以是函数的极小值点， 即导函数在处取得极小值，所以D正确. 19．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．函数的图象在的切线的斜率为0 B．函数在上单调递增 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值 【答案】BD 【分析】根据导函数的图象与原函数的关系，利用导数的几何意义判断切线斜率，利用导数的正负判断函数的单调性，利用导数零点及左右符号变化判断极值点，逐个判断即可. 【详解】选项A：由图可知，即函数的图象在的切线的斜率大于0，故A错误； 选项B：由图可知时，， 所以函数在上单调递增，故B正确； 选项C：由图可知时，， 所以函数在上单调递增， 左右两侧导数符号相同，不是函数的极值点，故C错误； 选项D：由C选项可知函数在上单调递增， 由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确． 20．（多选）若函数的导函数的图象如图所示，则以下正确的是（    ） A． B．是函数的极大值点 C．不是函数的极值点 D．函数在处的切线斜率大于0 【答案】CD 【详解】由的图象可得，时，单调递减； 时，单调递增； 区间在内，单调递增，故，故A错误； 左右两侧导数均大于0，函数始终递增，故不是极大值点，故B错误； 时导数为0，但左右两侧导数均大于0，故不是极值点，故C正确； 时，导数大于0，即切线斜率，故D正确． 21．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有个极值点 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于 【答案】BD 【分析】利用极值点的定义可判断AB选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，； 当时，； 当时，，所以函数只有个极值点，故A错误； 对于B选项，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C选项，因为是函数的极小值点， 故函数在上不单调，故C错误； 对于D选项，由图可知， 故的图象在处的切线斜率小于，故D正确. 22．（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负得出函数单调性，即可确定函数的极值点的情况. 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，，     当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项B正确； 是的极大值点，2为函数的极小值点，1不是函数的极值点，选项A错误； 当时，，在上单调递减，，选项C正确； 当时，，在上单调递减，，选项D错误． 23．（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断． 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确； 对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误； 对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确； 对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确． 24．（多选）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 【答案】ACD 【详解】根据导函数的图象可知，的两侧的小区域内，的图象左减右增， 所以在，处导函数有极小值； 的两侧的小区域内，左增右减，所以在处导函数有极大值. 根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零， 所以在处函数有极大值. 在上导数大于零，所以在处函数有极小值. 而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值. 由此可知B错误，ACD正确. 25．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递增区间 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 【答案】AC 【分析】根据时以及时，导函数图象即可判断A，B；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可判断C，D 【详解】对于A，B，当 时，，，，所以函数在单调递减，在单调递增，故A正确，B错误； 对于C，当时，，当时，，故是函数的极小值点，故C正确； 对于D，当时，，当时，，故是函数的极大值点，故D错误. 26．（多选）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    27．（多选）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 【答案】BD 【分析】根据所给函数图象可求得的单调性，结合图象可判断A错误，得出原函数的单调性可知B正确，C错误，再由极值点定义可得D正确. 【详解】对于A，由图象可知当时，可得图象为单调递减的， 由图可知时，，即A错误； 对于B，由图象可得时，时， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有一个极值点，可得B正确； 对于C，由B选项分析可知，函数的单调递增区间为，即C错误； 对于D，由B选项分析可知，是函数的极小值点，可得D正确. 故选：BD 28．如图是的导函数的图象，则正确的判断是 （1）在上单调递增 （2）是的极小值点 （3）在上单调递减，在上单调递增 （4）是的极小值点 以上正确的序号为______. 【答案】（2）（3） 【详解】由函数的导函数的图象知 当时，，所以在上单调递减，所以（1）错误. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以是的极小值点，所以（2）正确. 当时，，在上单调递减. 所以是的极大值点. 所以（3）正确，（4）错误. 题型二 求函数的极值与极值点 1．已知函数，则的极值点为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先求确定，再令得可能极值点，最后由单调性确定极值点. 【详解】 对函数求导得：， 则，化简可得：， 求解得：，所以， 因为定义域为，所以令，解得， 当 ，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以是函数的极值点. 2．已知函数（为自然对数的底数），则下列说法中不正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上递增 C．只有极大值 D．只有极小值 【答案】C 【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称． 因为，所以是偶函数，选项A正确； 对求导，． 令，即， 则，即，解得． 当时，，，所以， 则在上递增，选项B正确； 由上述分析可知，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 根据极值的定义可知，是的极小值点，所以只有极小值，无极大值， 选项C错误，选项D正确． 3．“”是“函数的极值点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得， 令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，无极大值点， 则“”是“函数的极值点”的充要条件. 4．若定义在上的函数满足，则极值点为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义以及极值的定义求解验证即可. 【详解】因为，所以， 令，且，解得：， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极小值点. 5．已知函数，则（   ） A．在处取得极大值 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】D 【分析】借助导数计算即可得. 【详解】， 令，则，有， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，故A、B、C错误，D正确. 6．已知三次函数 ，则 “ ” 是 “ 是 的极大值点” 的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先对函数求导，找出可能的极值点，分析条件下导数的符号变化，判断是否为极大值点，从而验证充分性，再举反例说明必要性不成立即可. 【详解】由题设，， 若，则，故当或时，，当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 故为的极大值点，从而充分性成立； 当时，有，则， 当或时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 此时为的极大值点，但条件并不成立，从而必要性不成立； 因此“ ” 是 “ 是 的极大值点” 的充分不必要条件. 7．，下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 【答案】D 【分析】求导，令，再根据单调性确定极值点判断即可． 【详解】， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则0不是极值点，A错误； 是极小值点，B错误； 是极大值点，C错误； 是极大值点，D正确． 8．函数在区间上的极小值点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的导数后判断其符号，从而可得极小值点的个数. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得，，0，，， 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增， 所以在,，，上递增， 在，上递减， 所以在区间的极小值点为，，共有2个. 9．已知函数的导函数为，若，则的极小值点为（    ） A．-4 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】解题的关键是先对函数求导，再通过令求出的值，进而得到的表达式，最后根据导数与函数单调性的关系求出函数的极小值点. 【详解】由题知，， 令 ，所以，所以， 将 代入得， 令 ，则，解得：， 由得或，由得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为. 10．已知函数的极大值点是，则实数（   ） A．0或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】求函数导数，由极值点处导数为0，解得的值，结合函数单调性检验是否符合题意即可得解. 【详解】. 由题意知，，即，解得或. 当时，， 则时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增； 所以在处取得极大值，则为极大值点，满足题意. 当时，， 则时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增； 所以在处取得极小值，则为极小值点，不满足题意. 综上，实数. 11．函数的极大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是极大值点，是极小值点，极大值为. 12．函数的极值点为（   ） A．0 B．1 C．0或 D． 【答案】D 【详解】. 令，解得或. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递增. 所以函数在处取得极小值，极值点为. 13．函数的极值点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为，所以有两个极值点， 由韦达定理得这两个极值点之和为． 14．函数的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当或时，可得；当时，， 所以在递增，在递减， 所以是函数的极大值点. 15．函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，求得，令，求得或，结合正弦函数的性质，以及函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 故选：A. 16．函数的极值点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析导数的符号变化，可得出函数的极值点个数. 【详解】因为，该函数的定义域为， 由 ，得或或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，故的极值点的个数为. 17．已知函数，则函数的极值情况是（    ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 【答案】D 【详解】，函数单调递增，无极值． 18．若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质及极大值点的意义判断即可. 【详解】函数 ， 由，得函数的极大值点， 当时，，不存在整数使得，，，A是；BCD不是. 故选：A 19．函数的极大值点为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数 求导，通过导数判定的单调性，进而可求出极值. 【详解】由题意得， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极大值点为0． 故选：A. 20．函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，利用导数判定原函数的单调性和极值点. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得，在单调递增； 令，解得，在单调递减； 可知函数的极大值点为. 故选：B 21．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【分析】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【详解】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D 22．已知函数，则的极值点的个数情况可能为（   ） A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．恰有2026个极值点 D．恰有2025个极值点 【答案】D 【分析】先对函数求导，然后令导数为，将问题转化为两个函数图象的交点问题，通过分析交点个数来确定极值点的个数. 【详解】对求导，可得， 令，即，移项可得， 那么的极值点个数就等于的变号零点个数， 当时，，与只有一个交点，且在该点两侧导数符号不同，所以此时有1个极值点； 当时，与都是奇函数，图象关于原点对称， 是周期函数，是过原点的直线， 随着的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图象的交点（交点左右两侧函数值大小关系不同）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为关于原点对称）， 所以该函数可能恰有2025个极值点. 故选：D. 23．设函数以2为周期，且在区间上定义为：，关于函数下列说法不正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．在内有3个极值点 C．在内的极小值点为 D．两个极大值点之间的最小距离为 【答案】A 【分析】计算和的值可判断A；在和内分别对求导，令，并分析两侧导数符号可判断B，C；计算两个极大值点之差可判断D. 【详解】对于A，当时，，， ， ， 即，所以的图象关于直线对称，故A错误； 对于B，当时，，得，又，， 由解得，解得； 当时，得， 又，，由解得，解得， 故在上单调递增，上单调递减，上单调递增，上单调递减. 所以在内有2个极大值点，分别是和，一个极小值点，故B，C正确； 因为函数以2为周期，所以极大值点为和 ()， 相邻极大值点间的距离为或， 因为，所以最小距离为，故D正确. 故选：A. 24．已知是奇函数，当时，，则的极大值点为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合奇函数性质求函数在上解析式，再利用导数判断函数的单调性，确定函数的极大值点. 【详解】因为为奇函数，所以， 因为当时， 所以当时，， 当时，， 令，可得或（舍去）， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，， 令，可得或（舍去）， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为， 故选：D 25．已知函数在处取得极小值，是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用导数确定的范围，再逐项分析判断. 【详解】对于A，函数，求导得，函数在R上单调递增， 由，，得，，，A错误； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，，C正确： 对于D，由，得，则，D错误. 故选：C 26．已知函数，则的极值点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求导得，构造函数，利用导数研究的单调性，进一步结合零点存在定理研究的零点个数即可. 【详解】，令，则， 因为在上单调递增， 所以在单调递增， 而， 故，，即， 故在单调递减，在单调递增， 故， 由对勾函数性质可知，函数在单调递增， 则， 又时，，时，，故在和各有一个变号零点，故有两个极值点． 故选：C. 27．已知函数 ，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而得出极值点. 【详解】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 28．已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【详解】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A 29．已知奇函数在上满足，其中的导函数为，则的极大值点为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求导，即可求得，利用导数研究单调性即可得极小值，又利用奇偶性即可求解. 【详解】，则，所以， 所以 ， 令有，由有，有， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以3是极小值点，又是奇函数，所以的极大值点为， 故选：B． 30．已知，，那么（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递减 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】A 【分析】首先求函数的解析式，再利用导数判断函数的单调区间和极值点. 【详解】， ， ，解得：，或，的增区间是和， ，解得：，或，的减区间是和， 故A正确；B错误；是的极大值点，故C错误；是的极小值点，故D错误. 故选：A 题型三 根据函数的极值与极值点求参数 1．已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当时，恒成立，即在定义域内单调递增，不合题意； 当时，或， 所以或时，单调递增， 时，单调递减， 所以在处取得极小值，所以，解得 . 2．已知函数在上仅存在极小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导后按的符号讨论导函数的零点及其区间两侧符号；当时，利用在上的最小值判断极值情况即可. 【详解】由题意得． 当时，在上严格递增，且时，， 故导函数有且仅有一个零点，且导数值从左到右由负变正，函数仅有极小值； 当时，，函数无极值； 当时，当时，则； 当时，令，则，， 当时，，当时， 则在上递减，在上递增，最小值为 ，且在这两个区间的另一端均趋于． 则当时，，仅在时取等号，函数无极值； 当时，导函数有两个正零点，导数值的符号依次为正、负、正，函数既有极大值又有极小值． 综上，的范围是． 3．函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数唯一的极值点，再根据极值点落在开区间内、区间整体属于函数定义域的双重约束列不等式，精准求解参数范围. 【详解】的定义域是，， 令，得， 当，单调递减，当，单调递增， 所以是唯一的极值点，且是极小值点， 由题意得开区间里面要包含，则 ，得，所以. 4．若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 5．函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用函数在处有极值10，求出的值，再代入验证，即可求解. 【详解】函数定义域为R，. 因为函数在处有极值10， 所以，解得：或. 当时，. 令，得或；令，得. 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以函数在处有极值，符合题意. 当时，恒成立. 所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意. 综上所述：. 6．若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，. 所以. 由 ，由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数唯一的极小值点为. 由且为函数定义域的子集 . 7．若函数存在两个极值点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数存在两个极值点， 得有两个变号零点， 因此，解得或， 所以m的取值范围是． 8．已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【分析】先求出导函数，再根据极值点及极值列式计算求解参数，再检验即可. 【详解】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 9．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 10．若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合结论函数在点处可导且取得极值，则求，再验证结论. 【详解】由题意知函数的定义域为， 由可得， 函数在处取得极值，， ，此时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 经检验时函数在处取得极值. 11．设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对求导得，函数有极值只需导函数有变号零点，时导函数为一次函数存在变号零点、有极值，时导函数为二次函数，令判别式解得且，合并得取值范围是. 【详解】函数有极值，首先求导得. 函数有极值的充要条件：导函数有至少一个变号零点. 当时，，是一次函数，有一个变号零点，函数有极值. 当时，是二次函数，需满足判别式，即，化简得，解得. 综上，的取值范围是. 12．已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由题意且为导函数（二次函数）的唯一零点 所以，联立解得，则. 13．若函数的极大值为4，则________. 【答案】 / 【分析】由题可得，然后由的符号与单调性及正负性可得答案. 【详解】，由题易得. 当时，，， 则此时在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，注意到，则不能取到正的极大值. 综上可得，. 14．已知函数在处取得极值0，则________． 【答案】512 【分析】利用极值与导数关系求出的值即可求解. 【详解】在处有极值，且，， 即，解得：，或． 当时，， 函数在R上为增函数，无极值，舍去； 当时，， 当时，,函数在上单调递减， 当时，,函数在上单调递增，故函数在处取得极小值， 所以，，． 15．已知函数．若在处有极值，则的值为__________；若当时， ，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】空1，求出导数，利用函数在在处有极值，求得的值；空2，法一：问题等价于当时，恒成立，构造函数，求导，对进行分类讨论进而求得的取值范围.法二：由题意得恒成立，构造函数，进而利用洛必达法则可求得实数的取值范围. 【详解】． 依题意知，所以． 方法一：当时，， 即，即． 令，则，． ①当 时，， 所以在上单调递增， 所以，所以 满足条件． ②当时，若，则， 若，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 令， 所以， 所以在上单调递减． 所以与矛盾，故不满足条件． 综上，实数的取值范围是． 方法二：当时，，即， 即，即恒成立． 令，所以， 令，所以， 所以在上单调递增，所以． 所以，所以在上单调递增． 由洛必达法则知，． 所以 ，故实数的取值范围是． 16．若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先对函数求导，根据极值点处导数为且两侧导函数异号的性质，结合极值点大于的条件求解参数的取值范围． 【详解】函数的定义域为， ， 令，解得，即， 由于在上单调递增， 所以当时，；当时，， 所以是函数的极小值点， 因此，解得， 所以的取值范围是． 17．已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 18．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 【答案】 【详解】因为，由得， 且当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处取得极大值，且，即， 函数在处取得极小值，且. 19．若函数 在处取得极值3，则__________. 【答案】12 【详解】因为 ，所以 ， 因为函数 在处取得极值3， 所以，解得， 检验：当，时，函数，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当或时，，函数在，上单调递增， 所以函数在处取得极大值， 在处取得极小值， 经检验，满足题意， 所以. 20．已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 【答案】0 【分析】对函数求导，根据极大值求出的值，然后求出极小值即可. 【详解】由， 由，有，可得或6． 当时，， 当或时，;当时，, 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极小值点，不合题意； 当时，， 同理可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极大值点，符合题意． 可得的极小值为． 21．已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】将极值问题转化为导数零点问题，再构造函数，结合导数分析单调性，建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意的定义域为，且， 因为有2个极值，所以有2个变号零点， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，， 而，可得，解得， 故的取值范围是. 22．已知函数，当时，取得极小值0，则______. 【答案】1 【分析】根据极值的概念可得和，解出的值即可得结果. 【详解】由题知，， 解得，此时， 当时，，当，时，， 所以在时取极小值，符合题意， 所以，. 又，解得， 所以. 23．已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【分析】根据题意得出，求出、的值，再结合函数极值点的定义进行检验，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 24．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 25．已知函数（）． (1)函数在定义域内无极值，求的取值范围； (2)函数（），有三个不同的极值点，，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原函数无极值等价转化为其导函数的分子在定义域内无变号零点，再通过求该分子函数的最小值来逆推参数的取值范围. （2）将存在三个极值点转化为导函数存在三个变号零点，综合运用二次函数判别式与韦达定理、不等式放缩法构造隐零点以及函数的代数对称性质，确定三个零点的位置从而求解参数范围. 【详解】（1）（）， 令（）， 因为函数在定义域内无极值， 所以函数无变号零点，即函数在上无变号零点． 由，得， － 0 ＋ 极小 所以的极小值为， 注意到 由上可知，，． （2）（，）， （，）， 令，则， 因为有三个不同的极值点，即有三个变号零点， 所以必有两个不相等的正根， 所以方程必有两个不相等的正根， 由得． 记为，则，且， 0 0 极小 极大 因为，且，所以必有，且为极小值点， ， 当时， 所以，即 所以 取，则， ，故，又时， 因为且，所以，所以， 因为在单调递减， 由零点存在性定理得在上有唯一零点，为极大值点． 又 必有为极大值点． 1 0 0 0 极大 极小 极大 综上，当且仅当时，有三个不同的极值点，即的取值范围为． 26．已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若函数在上存在极大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) 在区间上单调递减，在区间上单调递增； (2) 【分析】利用导数求出函数的单调性与极值，再利用已知条件求出参数范围. 【详解】（1）已知函数， 因为，所以，即， 所以，求导得， 当，，单调递减； 当，，单调递增； 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）已知函数，所以， 因为函数在上存在极大值， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 设， 则需要满足，解得且且， 综上，实数的取值范围为. 27．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）求导后分类讨论求函数的单调区间； （2）根据函数的单调性讨论函数的极小值，建立不等式求解即可. 【详解】（1）定义域为，， 当时，或，， 单调增区间为，，单调减区间为； 当时，，在上是增函数； 当时，或；， ∴的单调增区间为，，单调减区间为. 综上，时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知时，的极小值为， 令，即，解得； 当时，无极值，不符合题意； 当时，的极小值为，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 28．已知函数 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值； (3)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 【分析】（1）由导数的几何意义求得在处的切线的斜率，根据直线的点斜式方程可得； （2）通过讨论导函数的零点，并结合的极小值为，可确定的值； （3）利用导数分析的单调性及极值，从而得到的零点个数. 【详解】（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为：， 整理得：. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. （3）由（2）知当时， 的极小值为， 的极大值为， 当时，；当时，. 所以当即时，有三个零点，如图①曲线； 当，即时，有两个零点，如图②曲线； 当，即时，有一个零点，如图③曲线； 当时，，所以有一个零点. 综上所述， 当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 29．已知函数． (1)若曲线在处与直线相切，求a，b的值； (2)若在区间内有极值，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）使用导数的几何意义求解； （2）将在区间内有极值转化为方程有两个不相等的实根求解. 【详解】（1），由已知，得切线斜率为，即，， 又因为再由切点为，所以，，， （2）若在区间内有极值，则，即， 方程有两个不相等的实根、，而， 则方程的负根依题意，即只需，解得． 当时， 单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得极大值．因此a的取值范围是． 30．已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件得到函数解析式，将不等式构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出结果； （2）求导，将分子构造函数，根据原函数有极大值可得新构造函数先正、再负、再正，且两根不相等，分类讨论两根关系，根据单调性进行取舍即可. 【详解】（1）若，则， 所以， 要求， 只需求，令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故不等式的解集为. （2）由， 则， 记， 令，则得两根为， 若满足在上存在极大值， 则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等， 若，即，只有零点， 所以时，， 当时，， 此时函数只有极小值，无极大值，舍去. 若，即， 则， 此时函数单调递增，无极值，舍去. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时，是极大值点，满足题意. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时是极大值点，满足题意. 综上，的取值范围为. 题型四 求函数的最值（不含参） 1．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三倍角正弦公式化简函数为关于的三次函数，换元后通过导数求闭区间上的三次函数最小值即可. 【详解】由三倍角正弦公式， 代入得： 令，由正弦函数的值域可知， 则原函数转化为三次函数： ， 对求导得，令， 解得，均属于区间. 时； 时； 时； 时. 比较得的最小值为， 即的最小值为. 2．已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式化为，转化为分析的最值，换元后使用导数求解. 【详解】 ， 令，，则函数转化为，， ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，最大值为，当时，最小值为0， 故，则， 当，时等号成立， 所以的最小值为：. 3．下列函数当定义域为时，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数依次分析函数的单调性,得到函数的值域即可判断选项. 【详解】对于A，当的定义域为时，值域为，故A不正确； 对于B，由于，当时，，在上单调递增， 所以，故的值域为，故B不正确； 对于C，由于，当时，，在上单调递增， 所以，故的值域为，故C不正确； 对于D，由于，当时，，在上单调递增， 所以，故在上的值域为，故D正确； 4．已知函数，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过求导确定函数单调性即可求解. 【详解】，定义域为， 求导： ， 由解析式可知： 单调递减， 令导数，得 ， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，函数取得最大值， ， 所以的最大值为. 5．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用导数研究函数的区间单调性，进而求各区间端点值并比较大小，即可得值域. 【详解】对，求导得， 令且，解得，， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， ， ， ， ， 综上，在上的值域为. 6．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求导，确定函数单调性，即可求解. 【详解】求导得：， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时函数取得最大值为. 7．已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（    ） A．． B．． C．． D． 【答案】B 【分析】求导确定函数在区间内的极值点，计算极值点及区间端点的函数值，比较得到最值后求和. 【详解】由题意可得，，令，解得和， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在取得极大值，在取得极小值， 因为，， ，， 所以函数在上的最大值，最小值， 所以. 8．函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 令，得， 令，得或；令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，上单调递增，则. 9．函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在区间上的单调区间即可求解. 【详解】由题可得：，令，解得：， 令，解得：， 令，解得：， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取最小值，故函数在区间上的最小值为 10．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求解. 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 11．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得. 令，得或， 当或时，，在和上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以的极小值为， 又当时，且，当时，， 所以也是的最小值. 12．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 【答案】A 【分析】通过求导法分析函数单调性，进而判断最值. 【详解】函数的分母恒成立，定义域为. 根据除法求导法则，， 令，得极值点和. 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 则极小值，极大值；且当时，， 因为极小值，极大值，所以函数的最小值为，最大值为. 因此既有最大值，也有最小值. 13．已知函数在处取得极值，则在的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数在处取得极值可得，求得a的值，继而判断函数在上的单调性得到最值即可． 【详解】因为，所以， 由题意可得，解得，经检验满足题意. 则，， 令，可得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以． 14．函数的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】令，通过求导确定的范围，再结合二次函数性质即可求解. 【详解】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 令，，则， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为0. 故的最小值为0. 15．函数在区间上的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，所以， 在区间上，因为，所以， 所以在上单调递增， 所以最大值在处取得，. 16．已知函数在上的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，分析其在区间上的单调性即可求出最小值. 【详解】由题可得：， 当时，单调递减，当时，，单调递增， 即为极小值点，又，，， 所以在上的最小值为． 故选：D 17．已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而可求得的最大值. 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：D. 18．若函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，分析函数的单调性，求函数的值域即可. 【详解】由， 所以， 设， 则，所以即在R上单调递增. 又由，所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在时，取到最小值，即函数值域为. 故选：B 19．设函数，，则的最大值为______，最小值为______． 【答案】 【分析】求导研究函数单调性，再根据极值点的函数值与端点函数值的大小求解即可. 【详解】求导得，令，即，解得， 所以，当时，，单调递减； 当时，， 单调递增. 因为， 所以，当时，的最大值为；最小值为. 20．函数的最大值为________，最小值为________． 【答案】 【详解】由，所以． 当时，，函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值． 当时，函数取得最小值． 21．已知函数，，则的最大值为________． （参考数据：） 【答案】 【分析】求导可知在上单调递减，在上单调递增，故，再根据参考数据比较和的大小即可求得的最大值． 【详解】由于， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此是的极小值点，函数最大值在端点或处取得， 又， 且， ， 故，因此在上的最大值为． 22．函数在上最大值为_______________． 【答案】11 【分析】求导，确定单调性即可求解. 【详解】， 因为， 由可得：，由可得：，或 故，在单调递减，在和单调递增， 当时，，当时，， 故函数在上最大值为11. 23．函数的最小值为____________ 【答案】 【分析】先确定函数定义域，求导后因式分解判断导数符号，确定单调性找到最小值点，代入计算即得结果． 【详解】函数定义域为，. 令，得 故（负根舍去）， 当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以在处取得最小值 24．函数的最小值为______． 【答案】 【分析】构造函数，求导并分析函数单调性，求出最小值，进而化简函数，求导并分析函数单调性，找出最小值点并求解． 【详解】令，求导得，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在处取得最小值，故 ，求导得，令，解得， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在处取得最小值： ． 25．函数在上的最大值为__________． 【答案】 【分析】通过求导确定函数在区间内的单调性与极值点，计算极值点和区间端点的函数值，比较后得到最大值. 【详解】由题可知，， 令， 解得，（舍去负数）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以最大值在两个端点处， 代值计算可得，， 因为， 所以， 故最大值为. 26．函数的最小值是________. 【答案】 【分析】利用导数求函数的极小值即可得出最小值. 【详解】， 由， 由， 所以函数在单调递减，上单调递增； 所以. 题型五 求函数的最值（含参） 1．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减 (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【分析】（1）先对函数求导，再讨论、及即可； （2）结合函数单调性，讨论及即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，解得或， 当时，恒成立， 所以函数在上单调递增； 当时，解得或， 解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，解得或， 解得 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减， 在上单调递增，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 当时，， 函数在区间上的最大值为； 当时， 函数在区间上的最大值为； 综上所述，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 2．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 3．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 4．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解； （2）求导，结合导数的性质及得出，分情况讨论求出各区间内的，进而求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 已知在处取极值，则，解得． 当时，， 当时，，当时,，故在处极值，符合题意. （2）函数的导数为， 已知，，则， 当时，在上恒成立，单调递减， 最小值为； 当时，在上恒成立，单调递增， 最小值为； 当时，令，解得，则， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 最小值在极值点处取得： ； 综上可得： ． 5．已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）求导，利用导函数和函数单调性的关系可得结果； （2）求导，分、和三类情况进行讨论，对于的情况，再细分和两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）因为时，， 所以， 令，解得， 所以时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），令，解得， ①当，即时， 在上单调递增；所以； ②当，即时， 对于，，故在上单调递增， 所以； ③当，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， 若，即，则在上单调递减，所以； 若，即，则在上单调递减，上单调递增， 所以； 综上：当时，； 当时，； 当时，． 6．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）将代入，求函数的导数即可求解. （2）求的导数，令，再由即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得：；令，解得：； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）由得：， 令，解得对恒成立， 在递减，. 7．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. (2)当时，函数在上的最大值为，当时，函数在上的最大值为0. 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况讨论导数的正负，判断函数的单调性； （2）根据（1）的结果，讨论的取值，判断区间的单调性，求函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以 当时，恒成立，函数在定义域内单调递增； 当时，由得，由得或， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，又 所以，当时，；当时， 当时，函数在上单调递减，， 综上，当时，函数在上的最大值为， 当时，函数在上的最大值为0. 8．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 9．已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值； (2) 当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 【分析】（1）研究导函数正负情况即可求解； （2）利用导数工具分当、、、四种情况研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，即，解得，可得，，的变化如下表所示， 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，无极大值 （2）为增函数， ①当时，在上，函数单调递增， 此时； ②当时，令解得 若，即，在上，函数单调递增， 此时； 若，即，在上，，的变化如下表所示， － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 此时； 若，即，在上，函数单调递减， 此时； 综上所述，当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 10．已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) 时，； 时，； 时，. 【分析】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时， 在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时， )在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 11．已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 时，在上单调递减； (3) 时，， 时，， 时，. 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 12．函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在区间上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)最大值为， 最小值为 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间； （2）对函数求导后，求得在上递增，在上递减，计算即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 由，得或，由，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由，得， 由，得或， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以的最大值为， ，， 因为，所以， 所以的最小值为. 13．已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2) 当时，， 当时，. 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时， 在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 14．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为，，单调减区间为 (2) 当时，； 当时，； 当时， 【分析】（1）由，求解即可； （2）通过，，讨论函数单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，， 令，解得或 当变化时，和的变化情况如表所示： 0 4 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 所以函数的单调递增区间为，，单调减区间为. （2），令，解得或 当时， 若，则，所以在区间上单调递增， 此时 当时， 若，则，所以在区间上单调递增， 若，则，所以在区间上单调递减； 此时 当时， 若，则，所以在区间上单调递减； 此时 综上所述，当时，； 当时，； 当时， 15．已知函数，讨论在区间上的最小值. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论得到函数的单调性，分别求出函数的最小值. 【详解】函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 16．已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的单调递减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， 则，由得， 所以，函数的单调递减区间为. （2），其中， 当时，对任意的，，在上单调递增， 此时，； 当时，对任意的，，在上单调递减， 此时，； 当时，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 17．已知函数． (1)当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用导数分析函数的单调性，进而结合题意求解即可； （2）先对函数求导，然后分，，三种情况讨论函数的单调性，进而求解最小值. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，，， 要使关于的方程在区间内有两个不相等的实数根， 则，即实数的取值范围为. （2）由，， 则，由得． ①当，即时，，在上为增函数， 则； ②当，即时，在时，，为减函数， 在时，，为增函数， 则； ③当，即时，，在上为减函数， 则． 综上所述，． 题型六 根据函数的最值求参数 1．已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上的最大值为，求的值． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得到，讨论导数的符号：当，在定义域内恒正，直接判断单调性；当，解得到极值点，再分区间判断导数符号，确定单调区间； （2）结合（1）的单调性，对参数继续分类讨论，分析在区间上的最大值，令最大值等于，解方程求出. 【详解】（1）函数的定义域为，对其求导得： . 若，则对任意，，即恒成立，因此在上单调递增； 若，令，得，令，解得，单调递增； 令，解得，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知： 当时，在上单调递增，最大值为，令，得，与矛盾，舍去； 当即时，在上单调递减，最大值为，令，得，符合条件； 当即时，在上单调递增，最大值为，令，得，与矛盾，舍去； 当即时，在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 令，得，与矛盾，舍去. 综上，. 2．已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2)时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. (3). 【分析】（1）代入后,求导即得切线斜率. （2）通分后分子恰可因式分解为，按相对两根,的位置分四类讨论. （3）先化简:与抵消,;注意时函数在开区间上无最小值,只有时有最小值,令其为解出. 【详解】（1）定义域为，且 . 时,,,,. 切线斜率为,故切线方程为. （2）分母恒正,的符号由决定,按与,的大小分四类： ①，在上,,;在上. 故在上单调递减,在上单调递增. ②，在,；在上;在上. 故在,上单调递增,在上单调递减. ③,（仅处取等）,故在单调递增. ④，在,;在上;在上. 在,上单调递增,在单调递减. 综上所述：时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. （3）设（），则 . ①时，,在单调递增,但无最小值； 时，,;时,恒成立却取不到.两种情形均舍去. ②时，令得,当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为, 令得,. 验证:时,,在处取得最小值，成立. 3．已知函数，. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为6，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1，先利用单调函数定义证明在上单调递增，再由单调性可得最值； 法2，利用导数研究函数单调性，据此可得最值； （2）法1，利用单调函数性质可得单调性，据此可得函数在区间上的最大值为，据此可得答案； 法2，讨论函数在上的单调性和最值，结合题设可得答案. 【详解】（1）法1，当时，，，任取， 则， ，，， ，，即. 在上单调递增，的最小值为. 法2，，， 进而在上单调递增，的最小值为. （2）法1：当时，，均在单调递增，所以在单调递增， 当时，在单调递增， 当时，，，，单调递减； ，，单调递增. 综上，函数在区间上的最大值为 当时，，，不符合题意. 当时，，，符合题意 所以. 法2，，，. 若时，在恒成立，在上递增. 则，得符合，； 若时，在恒成立，在上递减. 则，得，不符合； 若时，令，得， 列表如下： - 0 + 最小值 则. 有以下两种情况： ，无解；，无解； 综上，的值为. 4．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性，并求出单调区间； (3)若函数在区间上的最小值为0，求a的值. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）求导后取处的函数值与导数值，由点斜式写出切线方程. （2）以的符号为分类标准，时导数恒正，时以零点分界写出两个单调区间. （3）按最小值点是否落在端点分类：时最小值在取得并解得；时最小值在取得，解方程所得值与前提矛盾而舍去. 【详解】（1）时，，，，， 故曲线在处的切线方程为； （2），当时恒成立，在上单调递增； 当时，由得， 时，， 时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）由（2）知时，在上单调递增， 时，，在上也单调递增， 故时最小值为，令得，符合； 当时，最小值点为， 此时， 令，由得， 即，与矛盾，舍去； 故. 5．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）依题意可得在上恒成立，结合二次不等式的解法即可得解； （3）对进行分类讨论，结合在上的最大值为列式求得. 【详解】（1）因为当时，，所以， 所以，， 所以切线方程为，整理得； （2）因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又的解为或， 所以当在上恒成立时， ， 即实数的取值范围； （3）由（2）可知，， 当和时，单调递增； 当时，单调递减. 当即时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，则， 解得或（舍去）. 当时， 若，则，则在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，无解； 若，则，则在上单调递减，故，无解； 若，则，则在上单调递增，在上单调递减， 故，解得，无解. 综上可得，实数的值为或. 6．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)，对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． (3) 【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用处导数值等于0列方程求，再分析导数符号变化，证明导数无变号零点，得无极值点； （2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断单调性； （3）结合第二问的单调性结论，分类讨论在上的最大值，令最大值为1，求解得到符合条件的. 【详解】（1）略 （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． （3）①当时，在单调递减，最大值为，由最大值为1得，符合条件； ②时，函数在处取得极大值，显然， 则最大值可能在或处取得． 若，则，不符合． 下面证明同样不可能成立． 令，则，代入得． 此时，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，同样不可能有． 综上所述，实数的值为1． 7．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的最大值为1，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意先求，再根据导数的几何意义即可求解； （2）先求导，令得，即存在，使得，解出，再验证即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 所以， 所以， 所以，所以； （2）由已知得：，令，解得， 由的最大值为1，所以存在，使得， 所以， 即，解得或， 当时，，所以， 所以，令，且， 所以，令，解得， 由，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，当，当时，， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，满足题意， 所以， 当时，，所以， 当时,无意义， 当时，，所以无最大值，不满足题意， 综上所述，. 8．设函数，已知曲线在点处的切线斜率为12． (1)求实数m的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间上的最大值为20，求n的值． 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为，单调递减区间为和 (3) 【分析】（1）由题意可得，求导可得，求解即可； （2）令和，解不等式可求得函数的单调区间； （3）根据（2）中函数的单调性求出最值，结合已知最值列式可求出结果. 【详解】（1）因为曲线在点处的切线斜率为12，所以， 又，所以， 所以， 所以， 解得； （2）由（1）知，所以， 由，得，由，得或， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）由（1）知， 因为函数在上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 又， 所以函数在区间上的最大值为， 解得． 9．已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 【答案】(1)的单调递减区间为,单调递增区间为. (2)． 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性， （2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案 【详解】（1）的定义域为，. 当时，， 所以当时，；当时，， 故的单调递减区间为,单调递增区间为； （2）的定义域为，. 当时，在区间上，，， 所以在上单调递增． 则在上的最小值为，故，与矛盾，舍去． 当时：当时，单调递减； 当时：单调递增． 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足． 当时：在区间上，， 所以在上单调递减． 则在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去. 综上，的值为． 10．设函数，． (1)求的单调区间； (2)若在上的最大值为5，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间； （2）根据函数的单调性分析求得的极大值，并与区间端点函数值比较，进而确定的取值范围． 【详解】（1）由得， 解得，． ∵当或时，； 当时，；    的单调递增区间为和， ∴单调递减区间为． （2）∵由（1）知在和单调递增，在单调递减， ∴当时，有极大值， 又， 由得，当且仅当时取得最大值5符合题意， 的取值范围为． 11．已知函数． (1)求的单调区间及极小值点； (2)若有极大值3，并且函数在上有最大值3，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，，单调递减区间为；的极小值点为1. (2). 【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极小值点； （2）根据极大值求出，并求出的解，结合函数单调性得到答案 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 在处取得极小值，故极小值点为1. （2）由（1）可知当时，有极大值，且极大值为3， 则，解得，故， 由（1）知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 令，即，， 解得或2， 函数在上有最大值3，故的取值范围为. 12．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增 (2) 【分析】（1）对进行求导，然后分类讨论确定的单调性. （2）分和三种情况讨论，确定在上的最小值，然后解关于的方程，求解出即可. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，此时在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，恒成立，此时在上单调递增，，不合题意，舍去. ②当时，恒成立，此时在上单调递减，，解得，不合题意，舍去. ③当时，解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，，解得. 综上，实数的值为. 13．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对函数求导并分类讨论导数的正负来确定； （2）分类讨论的取值范围，根据函数单调性依次判断. 【详解】（1）函数的定义域为，     当时，在恒成立，在上单调递增；     当时，由得，由，得， 所以在上单调递减；在上单调递增     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去；     当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 由题意得，解得，符合，所以.     当时，在上单调递减，则，由题意得， 解得，与矛盾，舍去.     综上可得，实数的值为. 14．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若，函数在上的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【详解】（1）当时，，． 令， 同理：或 所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增． 当时，取得极大值； 当时，取得极小值． （2）由题：，． 当时，， 故此时，在单调递增，． 15．已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的四则运算求得正确答案. （2）根据判断的单调区间. （3）对进行分类讨论，结合在上的最小值求得. 【详解】（1）依题意，. （2）当时，，的定义域为， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. （3）的定义域为，. 当时：在区间上，，， 所以在上单调递增． 则在上的最小值为，由，与矛盾，舍去． 当时：当时，单调递减； 当时：单调递增． 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足． 当时：在区间上，， 所以在上单调递减． 则在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去.综上，的值为． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 利用导数研究函数的极值与最值 基础知识梳理 1.函数的极值 （1）极小值 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小而且在点附近的左侧  ,右侧  ,则叫做函数的极小值点叫做函数的极小值. （2）极大值 若函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大而且在点附近的左侧,右侧,则叫做函数的极大值点叫做函数的极大值. （3）极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最值 （1）一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. （2）若函数在上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数在上单调递减,则为函数的最大值为函数的最小值. 3.极值与最值性质 （1）在函数的定义域内,极值点不一定是唯一的,有可能有多个极大值点或极小值点. （2）极大值与极小值之间无确定的大小关系. （3） 是 为的极值点的必要不充分条件.例如但 不是极值点. （4）有极值的函数未必有最值,有最值的函数未必有极值. （5）极值不一定是最值,最值只要不在端点处必定是极值. 题型一 由图象判断函数的极值与极值点 1．已知是的导函数，如图是函数在上的图象，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取极值 D．在处取极值 2．已知函数在上可导，其导函数为，若函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（     ） A．函数有极大值和极小值； B．函数有极大值和极小值； C．函数有极大值和极小值； D．函数有极大值和极小值． 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极小值 4．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．在上函数为增函数 B．在上为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在上的极小值点 5．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是的极小值点 C．的单调递减区间是 D． 6．已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值 C．有3个极值点 D． 7．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递增 D．在处取得极大值 8．如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（   ） A． B． C． D． 9．函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在上不单调 D．3是函数的极小值点 10．若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 11．已知函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．有3个零点 B．是的极小值点 C．函数在区间上单调递减 D．的最大值是 12．已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（    ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 13．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 14．如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（   ） A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数 C．当时，取得极大值 D．当时，取得极小值 15．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 16．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（   ） A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 17．如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（    ） A．函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B．2不是函数的极值点 C．在处切线的斜率小于零 D．在区间上单调递增 18．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（     ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在处取得极大值 C．导函数在区间上单调递减 D．导函数在处取得极小值 19．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．函数的图象在的切线的斜率为0 B．函数在上单调递增 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值 20．（多选）若函数的导函数的图象如图所示，则以下正确的是（    ） A． B．是函数的极大值点 C．不是函数的极值点 D．函数在处的切线斜率大于0 21．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有个极值点 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于 22．（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 23．（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 24．（多选）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 25．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递增区间 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 26．（多选）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 27．（多选）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 28．如图是的导函数的图象，则正确的判断是 （1）在上单调递增 （2）是的极小值点 （3）在上单调递减，在上单调递增 （4）是的极小值点 以上正确的序号为______. 题型二 求函数的极值与极值点（不含参） 1．已知函数，则的极值点为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知函数（为自然对数的底数），则下列说法中不正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上递增 C．只有极大值 D．只有极小值 3．“”是“函数的极值点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若定义在上的函数满足，则极值点为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 5．已知函数，则（   ） A．在处取得极大值 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 6．已知三次函数 ，则 “ ” 是 “ 是 的极大值点” 的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．，下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 8．函数在区间上的极小值点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知函数的导函数为，若，则的极小值点为（    ） A．-4 B．0 C． D．4 10．已知函数的极大值点是，则实数（   ） A．0或 B．或 C． D． 11．函数的极大值为（    ） A．2 B． C． D． 12．函数的极值点为（   ） A．0 B．1 C．0或 D． 13．函数的极值点之和为（    ） A． B． C． D． 14．函数的极大值点为（    ） A． B． C． D． 15．函数在区间上的极值点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 16．函数的极值点的个数为（   ） A． B． C． D． 17．已知函数，则函数的极值情况是（    ） A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 18．若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 19．函数的极大值点为（   ） A．0 B． C． D． 20．函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 21．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 22．已知函数，则的极值点的个数情况可能为（   ） A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．恰有2026个极值点 D．恰有2025个极值点 23．设函数以2为周期，且在区间上定义为：，关于函数下列说法不正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．在内有3个极值点 C．在内的极小值点为 D．两个极大值点之间的最小距离为 24．已知是奇函数，当时，，则的极大值点为（   ） A．3 B．2 C． D． 25．已知函数在处取得极小值，是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 26．已知函数，则的极值点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．已知函数 ，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 28．已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 29．已知奇函数在上满足，其中的导函数为，则的极大值点为（    ） A．3 B． C．1 D． 30．已知，，那么（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递减 C．是的极小值点 D．是的极大值点 题型三 求函数的极值与极值点（含参） 1．已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 2．已知函数在上仅存在极小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 5．函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数存在两个极值点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 9．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 10．若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 11．设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 12．已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 13．若函数的极大值为4，则________. 14．已知函数在处取得极值0，则________． 15．已知函数．若在处有极值，则的值为__________；若当时， ，则实数的取值范围是__________． 16．若函数有大于1的极值点，则的取值范围是________． 17．已知函数在处取得极大值0，则________. 18．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 19．若函数 在处取得极值3，则__________. 20．已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 21．已知函数有2个极值，则的取值范围是________. 22．已知函数，当时，取得极小值0，则______. 23．已知函数在处取极值，且，则的值为____. 24．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 25．已知函数（）． (1)函数在定义域内无极值，求的取值范围； (2)函数（），有三个不同的极值点，，，，求的取值范围． 26．已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若函数在上存在极大值，求实数的取值范围． 27．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 28．已知函数 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值； (3)讨论的零点个数. 29．已知函数． (1)若曲线在处与直线相切，求a，b的值； (2)若在区间内有极值，求a的取值范围． 30．已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 题型四 求函数的最值（不含参） 1．函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．下列函数当定义域为时，值域为的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（    ） A．． B．． C．． D． 8．函数在上的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 11．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 13．已知函数在处取得极值，则在的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 14．函数的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 15．函数在区间上的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 16．已知函数在上的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 17．已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．若函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 19．设函数，，则的最大值为______，最小值为______． 20．函数的最大值为________，最小值为________． 21．已知函数，，则的最大值为________． （参考数据：） 22．函数在上最大值为_______________． 23．函数的最小值为____________ 24．函数的最小值为______． 25．函数在上的最大值为__________． 26．函数的最小值是________. 题型五 求函数的最值（含参） 1．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 2．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 3．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 4．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 5．已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 6．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值. 7．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最大值. 8．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 9．已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 10．已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 11．已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 12．函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在区间上的最值. 13．已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 14．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 15．已知函数，讨论在区间上的最小值. 16．已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 17．已知函数． (1)当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)求函数在区间上的最小值． 题型六 根据函数的最值求参数 1．已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上的最大值为，求的值． 2．已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值． 3．已知函数，. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为6，求的值. 4．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性，并求出单调区间； (3)若函数在区间上的最小值为0，求a的值. 5．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，求实数的值． 6．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 7．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的最大值为1，求. 8．设函数，已知曲线在点处的切线斜率为12． (1)求实数m的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间上的最大值为20，求n的值． 9．已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 10．设函数，． (1)求的单调区间； (2)若在上的最大值为5，求实数的取值范围． 11．已知函数． (1)求的单调区间及极小值点； (2)若有极大值3，并且函数在上有最大值3，求实数的取值范围. 12．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 13．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在上的最小值为，求. 14．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若，函数在上的最小值为2，求实数的值． 15．已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $