课时规范练20　利用导数研究函数的极值、最值专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习专项训练，聚焦利用导数研究函数极值与最值，以题载法构建从基础到综合的知识逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例对点练|6题（3考点）|极值含参讨论、最值多函数类型、实际应用体积建模|从导数几何意义到极值判定，再到最值求解，形成“求导-判单调-定极值/最值”逻辑链| |素能综合练|11题|综合应用、参数范围、恒成立问题|整合极值与最值核心方法，强化知识迁移与逻辑推理，覆盖高考高频考法|

课时规范练20　利用导数研究函数的极值、最值 典例对点练 考点一　利用导数研究函数的极值 1.已知函数f(x)=xln x. (1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 2.(2025·上海,19)已知函数f(x)=x2-(m+2)x+mln x,m∈R. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的解集; (2)若函数y=f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值,求m的取值范围. 考点二　利用导数研究函数的最值 3.(2025·湖北孝感模拟)函数f(x)=xsin x+cos x在区间[0,]上的最小值为(　　) A.- B.0 C.- D.- 4.(2022·全国甲,理6)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　) A.-1 B.- C. D.1 考点三　利用导数解决实际应用问题 5.将一个圆锥整体放入棱长为2的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内,圆锥的轴线与容器的体对角线重合,则圆锥体积的最大值为　　　　　.  素能综合练 6.(2025·上海浦东模拟)函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在区间[-2,2]上有最大值3,则f(x)在区间[-2,2]上的最小值为(　　) A.-37 B.-5 C.1 D.5 7.(2025·重庆巴蜀中学模拟)若函数f(x)=(ax2+b)ex在x=1时有极小值-2e,则ab=(　　) A.-2 B.-3 C.-e D.-1 8.(2025·贵州黔南模拟预测)设函数f(x)=(x-a)·(ln x-b),若f(x)≥0,则ab的最小值为(　　) A.- B.- C.- D.- 9.(2025·全国2,13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　.  10.(2025·辽宁名校联盟一模)已知函数f(x)=xex-ax-bex+ab(a>0),若f(x)≥0,则的最大值为　　　　　.  11.已知函数f(x)=e2x-(e2+1)ex+ax,a∈R. (1)a=0时,曲线y=f(x)在x=0处的切线与x=x0(x0≠0)处的切线平行,求x0的值; (2)若函数f(x)是增函数,求实数a的取值范围; (3)若a=e2,求函数f(x)的单调区间与极值. 参考答案 课时规范练20　利用导数研究函数的极值、最值 1.解 (1)由于f(x)=xln x定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+x·=1+ln x,f(e)=e,f'(e)=2,故曲线y=f(x)在点(e,e)处的切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0. (2)令f'(x)<0,则0<x<, 令f'(x)>0,则x>,则函数f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增.故函数f(x)的极小值为f()=-,无极大值. 2.解 (1)由题意知f(1)=1-(m+2)=0,可得m=-1,则f(x)=x2-x-ln x, 于是f(x)≤x2-1⇔x+ln x-1≥0. 设g(x)=x+ln x-1,x>0, ∵g'(x)=1+>0在(0,+∞)上恒成立,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增. 又g(1)=0,∴g(x)≥0⇔g(x)≥g(1)⇔x≥1,∴不等式f(x)≤x2-1的解集为{x|x≥1}. (2)∵f'(x)=2x-(m+2)+,x∈(0,+∞),∴当m≤0时,f'(x)>0⇔x>1,f'(x)<0⇔0<x<1.∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时f(x)无极大值.当>1即m>2时,f'(x)>0⇔0<x<1或x>,f'(x)<0⇔1<x<,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,此时f(x)在x=1处取得极大值. 当0<<1即0<m<2时,f'(x)>0⇔0<x<或x>1,f'(x)<0⇔<x<1,∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时f(x)在x=处取得极大值.当=1即m=2时,f'(x)=≥0恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数无极值. 综上,可知m的取值范围为(0,2)∪(2,+∞). 3.A　解析 f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,所以当x∈(0,)时,f'(x)>0,当x∈()时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,)上单调递增,在区间()上单调递减,又f(0)=1,f()=-,所以f(x)min=f()=-.故选A. 4.B　解析 函数f(x)的定义域是(0,+∞). f'(x)=,分析易知,当a=0时,不满足题意.当a>0时,若b≤0,则x>0时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无最大值,不符合题意.当b>0时,由f'(x)<0,得0<x<;由f'(x)>0,得x>,所以函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,f(x)在区间(0,+∞)上不存在最大值,不符合题意.当a<0时,若b≥0,则 x>0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当x→+∞时,f(x)→-∞,当x→0+时,f(x)→+∞,无最大值,不符合题意.当b<0时,易知函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以当x=时,f(x)存在最大值,即解得 所以f'(2)==-,故选B. 5.　解析 设正方体容器为ABCD-A1B1C1D1,在射线AA1,AB,AD上分别取点E,F,G,使得AE=AF=AG,则△EFG为等边三角形,设△EFG的内切圆圆心为O,半径为r,即求圆锥C1O体积的最大值. 当平面EFG经过正方体中心时,r=,只需考虑r∈(0,]的情况,∴EF=FG=EG=2r,AE=AF=AG=r. ∵A,O,C1三点共线,且AC1⊥平面EFG,∴AO=r, ∴OC1=2r,∴πr2(2r)=. 令f(x)=-x3+x2,x∈(0,], ∵f'(x)=-3x2+2x, ∴f(x)在区间(0,]上单调递增, ∴f(x)max=f()=, ∴圆锥C1O体积的最大值为. 6.A　解析 由已知得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),故当x∈[-2,0)时,f'(x)>0,f(x)在区间[-2,0)上单调递增,当x∈(0,2]时,f'(x)≤0,f(x)在区间(0,2]上单调递减,故当x=0时,f(x)取得最大值f(0)=m=3,此时f(x)=2x3-6x2+3.当x∈[-2,0)时,f(x)≥f(-2)=-37,当x∈(0,2]时,f(x)≥f(2)=-5,故最小值为f(-2)=-37.故选A. 7.B　解析 f'(x)=(ax2+2ax+b)ex,因为f(x)在x=1时有极小值-2e,所以解得此时f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex,当x<-3或x>1时,f'(x)>0,当-3<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在x=1时有极小值成立,因此a=1,b=-3,ab=-3.故选B. 8.D　解析 令g(x)=x-a,h(x)=ln x-b,则f(x)=g(x)h(x),当x∈(-∞,a)时,g(x)<0;当x∈(a,+∞)时,g(x)>0;当x∈(0,eb)时,h(x)<0;当x∈(eb,+∞)时,h(x)>0,由f(x)≥0,知a=eb,所以ab=beb,b∈R,令φ(x)=xex,则φ'(x)=(x+1)ex, 由φ'(x)<0,得x<-1;由φ'(x)>0,得x>-1,则φ(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增, 所以φ(x)min=φ(-1)=-, 故ab的最小值为-.故选D. 9.-4　解析 f'(x)=[(x-2)(x-1)(x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',又f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,所以f(0)=-4. 10.1　解析 f(x)=xex-ax-bex+ab=(x-b)ex-a(x-b)=(x-b)(ex-a),若f(x)≥0恒成立,则a=eb,那么,令g(a)=(a>0),g'(a)=,当a∈(0,1)时,g'(a)>0,g(a)单调递增,当a∈(1,+∞)时,g'(a)<0,g(a)单调递减,所以g(a)≤g(1)=1,即可得的最大值为1,当且仅当a=1时,等号成立. 11.解 (1)当a=0时,f(x)=e2x-(e2+1)ex,f'(x)=e2x-(e2+1)ex, ∴f'(0)=-e2=f'(x0)=-(e2+1),即-1)-e2(-1)=0,(-1)(-e2)=0,解得x0=2. (2)由f(x)是增函数,∴f'(x)=e2x-(e2+1)ex+a≥0,即(ex-)2+a-≥0恒成立,∴a≥.故实数a的取值范围为[,+∞). (3)当a=e2时,f'(x)=e2x-(e2+1)ex+e2=(ex-1)(ex-e2), 由f'(x)>0得x<0或x>2, 由f'(x)<0得0<x<2,∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间为(0,2). ∴f(x)的极大值为f(0)=-e2-,f(x)的极小值为f(2)=e2-e4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $