4.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.3.3第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 A级　必备知识基础练 1.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2=3，S4=12，则S6的值为(　　) A.24　　 B.48　　 C.39　　 D.36 2.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2倍，且首项为1，中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A.6　　 B.8　　 C.10　　 D.12 3.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒　　 B．7秒　　 C．8秒　　 D．9秒 4.(多选题)(2025泰州高二质检)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a7＞1，a8＜1，则下列结论正确的是(　　) A．0＜q＜1　　 B．a7•a9＞1 C．Sn的最大值为S9　　 D．Tn的最大值为T7 5.(多选题)已知在单调递增的正项等比数列{an}中，a5－a1=30，a4－a2=12，其公比为q，前n项和为Sn，则下列选项正确的有(　　) A．q=2　　 B．a8=512 C．Sn=2an－1　　 D．Sn＜an＋1 6.(2025常州高二月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4=5，则S12－S8的最小值为　　　　． 7.已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为170，则S=a3＋a6＋a9＋a12的值为　　　　． 8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3=7，S6=63. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn． 9.(2025镇江高二质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=－1，=． (1)求等比数列{an}的公比q； (2)求证：＋＋…＋＜． B级　关键能力提升练 10.为建设宜居之城，某市决定每年按当年年初住房总面积的4%建设新住房，同时拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．已知该市2022年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，则到2030年年末，该市住房总面积为(　　)(参考数据：1.048≈1.37，1.049≈1.42) A．1.42a－10.5b　　 B．1.42a－9.36b C．1.37a－9.25b　　 D．1.37a－8.32b 11.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和Sn=4n－1＋t，则(　　) A．首项a1不确定　　 B．公比q=4 C．a2=3　　 D．t=－ 12.已知正项等比数列{an}满足a6＋a5＋a4－a3－a2－a1=49，则a9＋a8＋a7的最小值为　　 ． 13.(2025苏州高二月考)已知Sn是各项都为正数的等比数列{an}的前n项和，S10=20，则S30－2S20＋S10的最小值为　　　　． 14.已知一等比数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：＋=Sn(S2n＋S3n)． 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=λ＋(n－1)•2n，又数列{bn}满足an•bn=n． (1)求数列{an}的通项公式． (2)当λ为何值时，数列{bn}是等比数列？并求此时数列{bn}的前n项和Tn的取值范围． C级　学科素养创新练 16.甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能地将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第n(n∈N*)次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为an，在丙手中的方法数为bn． (1)求证：数列{an＋1＋an}为等比数列，并求出{an}的通项； (2)求证：当n为偶数时，an＞bn． 答案： 1.C 2.B　解析　设等比数列的项数为2n，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q==2，又它的首项为1，所以通项公式为an=2n－1，中间两项的和为an＋an＋1=2n－1＋2n=24，解得n=4，所以项数为8. 3.C　解析　根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，∴≥200， ∴2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8， 即至少需要8秒细菌才能将病毒全部杀死． 4.AD　解析　因为a1＞1，a7＞1，a8＜1，所以0＜q＜1，故A正确； a7•a9=＜1，故B错误； 因为a1＞1，0＜q＜1，所以数列{an}为递减数列，所以Sn无最大值，故C错误； 又a7＞1，a8＜1，所以Tn的最大值为T7，故D正确．故选AD． 5.AD　解析　单调递增的正项等比数列{an}中，公比为q(q＞1)． 由题意，可得或(舍)，则数列{an}的通项公式为an=2n，前n项和Sn==2n＋1－2. 选项A显然正确；对于B，a8=28=256≠512，故B错误；对于C，2an－1=2×2n－1=2n＋1－1≠Sn，故C错误；对于D，an＋1=2n＋1＞2n＋1－2=Sn，故D正确．故选AD． 6.20　解析　因为{an}是等比数列，S8－2S4=5，所以S8－S4=5＋S4，因为S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，所以(S8－S4)2=S4•(S12－S8)，整理得S12－S8==＋S4＋10≥2＋10=20(当且仅当S4=5时，等号成立)． 7.585　解析　设等比数列{an}的公比为q，等比数列{an}的前10项中，所有奇数项的和为S奇，所有偶数项的和为S偶，则S偶=a2＋a4＋a6＋a8＋a10=q(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)=qS奇， 所以q===2，又S奇===341a1=，则a1=，因此，S=a3＋a6＋a9＋a12=a3(1＋q3＋q6＋q9)=a1q2•=585. 8.解　(1)由题意知S6≠2S3，则q≠1，由等比数列的前n项和的性质知，q3===8，解得q=2， ∴S3==7，q=2代入可得a1=1， ∴an=2n－1． (2)由(1)知bn=2n－1＋n－1，∴Tn=(1＋2＋…＋2n－1)＋[1＋2＋…＋(n－1)]=2n＋－1. 9.(1)解　由=，a1=－1，知=．由等比数列前n项和的性质知S7，S14－S7，S21－S14成等比数列，且公比为q7，故q7=，所以q=． (2)证明 由(1)得an=(－1)×()n－1，所以=()n－1，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，故＋＋…＋==(1－)＜． 10.A　解析　由题意，2022年年末的住房面积为a1=1.04a－b，2023年年末的住房面积为a2=1.04a1－b=1.042a－1.04b－b，2024年年末的住房面积为a3=1.04a2－b=1.043a－1.042b－1.04b－b，…， 2030年年末的住房面积为a9=1.049a－(1.048b＋1.047b＋…＋b)=1.049a－≈1.42a－10.5b． 到2030年年末，该市住房总面积为1.42a－10.5b． 11.BCD　解析　a1=1＋t，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(4n－1＋t)－(4n－2＋t)=3×4n－2．由数列{an}为等比数列，可得a1必定符合an=3×4n－2，有1＋t=，可得t=－，数列{an}的通项公式为an=3×4n－2，a2=3，公比q=4.由上述知只有A选项错误． 12. 196　解析　设公比为q，由条件知a6＋a5＋a4－(a3＋a2＋a1)=49，即(q3－1)(a3＋a2＋a1)=49. 显然q3－1＞0，所以a3＋a2＋a1=，a9＋a8＋a7=q6(a3＋a2＋a1)==49(q3＋1＋)=49(＋)2≥49×4=196，当且仅当=，即q=时，等号成立，所以a9＋a8＋a7的最小值为196. 13.－5　解析　设{an}的公比为q．因为S30－S20=a21＋a22＋…＋a30，S20－S10=a11＋a12＋…＋a20，S10=a1＋a2＋…＋a10，所以==q10，==q10，所以S20－S10=S10×q10=20q10， S30－S20=(S20－S10)×q10=S10×q20=20q20，所以S30－2S20＋S10=S30－S20－(S20－S10)=20q20－20q10=20(q10－)2－5，当q10=时，S30－2S20＋S10取得最小值－5. 14.证明　设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q=1时，Sn=na1，S2n=2na1，S3n=3na1，所以＋=n2＋4n2=5n2，Sn(S2n＋S3n)=na1(2na1＋3na1)=5n2，所以＋=Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn=(1－qn)，S2n=(1－q2n)，S3n=(1－q3n)，所以＋=2•[(1－qn)2＋(1－q2n)2]=2•(1－qn)2•(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)=2(1－qn)•(2－q2n－q3n)=2•(1－qn)2•(2＋2qn＋q2n)， 所以＋=Sn(S2n＋S3n)． 15.解　(1)由Sn=λ＋(n－1)•2n，当n=1时，S1=a1=λ； 当n≥2 时，an=Sn－Sn－1=(n－1)•2n－(n－2)•2n－1=n•2n－1， 而a1=1×21－1=1，故数列的通项公式为 an= (2)由an•bn=n，得bn= 若数列{bn}为等比数列，则首项b1=符合n≥2的情况，故λ=1，则Tn=b1＋b2＋…＋bn==2(1－)．因为Tn＋1－Tn=＞0，所以Tn=2(1－) 是单调递增的，故Tn＜2且Tn≥1，即Tn∈[1，2)． 16.证明　(1)由题意知第n次抛沙包后的抛沙包方法数为2n，第n＋1次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为an＋1，若第n次抛沙包后沙包在甲手中，则第n＋1次抛沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次抛沙包后沙包在乙或丙手中，故an＋1=an×0＋(2n－an)×1=2n－an，且a1=0，故an＋1＋an=2n，=2(n≥2)， 所以数列{an＋1＋an}为等比数列． 由an－1＋an=2n－1n，得(－1)nn－1nan－1n－(－1)nan=(－2)n－1， (－1)1a1－(－1)2a2=(－2)1， (－1)2a2－(－1)3a3=(－2)2， (－1)3a3－(－1)4a4=(－2)3， …… (－1)n－1nan－1n－(－1)nan=(－2)n－1， 以上各式相加，得(－1)1a1－(－1)nan=， 可得an=． (2)由题意知第n次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为bn，则an＋2bn=2n，因为当n为偶数时，an==＞，bn=＜，所以an＞bn． 学科网（北京）股份有限公司 $