4.3.3 等比数列的前n项和（四大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

4.3.3 等比数列的前n项和 题型一：等比数列前n项和的基本量计算 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（   ） A．1 B． C．1或2 D．1或 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．18 B．54 C．162 D．486 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等比数列单调递减，前n项和，，则公比（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知正项等比数列的前项和为，则（    ） A．9 B． C．3 D．2 7．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，，若，则（    ）． A． B．2 C． D． 8．（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则公比 . 9．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等比数列中，前n项和为，若，则 . 10．（24-25高二上·江苏盐城·期末）设是公比为的等比数列，为其前n项和，若成等差数列，则 . 11．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）（1）设是等差数列的前n项和，，，求数列的通项公式； （2）设等比数列的前n项和为.若公比，，，求n. 题型二：等比数列片段和性质及应用 12．（22-23高二上·江苏连云港·期中）记为等比数列的前n项和．若，则的值为（    ） A．24 B．48 C．39 D．36 13．（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 15．（22-23高二上·江苏连云港·期末）在等比数列中，，，则的值是 ． 16．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等比数列的公比为，，则 . 17．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 18．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 题型三：求等比数列前n项和 19．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知等比数列的公比为2，且前n项和为，，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 20．（24-25高二上·江苏南京·期末）数列的通项公式为，则它的前6项和为 . 21．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 22．（24-25高二上·江苏南通·期末）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 23．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前项和． 24．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且对任意的，都有 (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，及数列的前项和． 25．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等比数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最小值. 26．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 27．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 题型四：等比数列的简单应用 28．（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 29．（22-23高二上·江苏连云港·期末）在等比数列中，，．设t为实数，为该数列的前2n项和，为数列的前n项和，且，则t的值为  （    ） A． B．2 C．3 D．4 30.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（    ）天，蒲草和菀草高度相同.（已知，，结果精确到0.1）（    ） A．3.5 B．3.6 C．3.7 D．3.8 31．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高万元，并要求每个实验室改建费用不能超过万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 32．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 33．（22-23高二上·江苏徐州·期末）中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七天走的里数为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数 ． 35．（22-23高二上·江苏南通·期中）2018年，某地区甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增，而乙林场木材存量每年比上一年递减. (1)经过几年两林场木材的总存量相等? (2)两林场木材的总量到2022年能否翻一番？并说明理由. 36．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 37．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）求和其中，a，b是不为0的常数，且 （2）若n为大于1的正奇数且，求证：是的一个因式. 38．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，） (1)试求的表达式； (2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. 39．（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂. (1)求该数列前55项和； (2)求激活码的值. 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．48 B．90 C．96 D．162 2．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）在正项等比数列中，．则满足的最大正整数的值为（   ） A．12 B．11 C．9 D．10 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ） A．999 B．749 C．499 D．249 二、多选题 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为常数 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列 B．若数列为等差数列，，则的最大值在或时取得 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等比数列，则数列也为等比数列 7．（25-26高二上·江苏·期中）如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（    ） A．数列不是等比数列 B． C．存在正数，使得恒成立 D．恒成立 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记为等比数列的前n项和．若成等差数列，则的公比为 ． 9．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知公比不为l的等比数列满足，且构成等差数列．记为的前项和，求使成立的最大正整数k的值为 ． 10．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ． 11．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，2进行“美好成长”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；设第n次“美好成长”后得到的数列为，并记，则 （用n表示），数列的前n项和 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）记为数列的前项和. (1)若为等差数列，且，求的最小值； (2)若为等比数列，且，求的值. 13．（24-25高二上·江苏·期末）设数列满足递推关系：，且. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 14．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 15．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 16．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 17．（24-25高二上·江苏南通·期末）记正整数的所有正因数的和为，如.若，则称为“好数”. (1)判断28是否为“好数”，并说明理由， (2)证明：不是“好数”； (3)设，求所有形如的“好数”. 18．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列的公比，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记， （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列中的各项均为正数，，点在曲线上，数列满足，记数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)求的前2n项和； (3)求满足不等式的正整数n的取值集合. 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列和满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 21．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.3 等比数列的前n项和 题型一：等比数列前n项和的基本量计算 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 【答案】D 【分析】利用等比数列前项和即可求解. 【详解】由题意有：， 所以， 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（   ） A．1 B． C．1或2 D．1或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数列前项和的意义，结合等比数列通项列式求解. 【详解】在等比数列中，由，，得，则， 所以或. 故选：D 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．18 B．54 C．162 D．486 【答案】C 【分析】设公比为，根据题意求出首项与公比，进而可得出答案. 【详解】因为为等比数列，设其公比为， 当时，，即， 当时，，即， 联立，解得舍去， 则. 故选：C. 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，若，则，故， 则由可得：， 因，可将其化简为：，即， 解得（舍去）或.则. 故选：B. 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等比数列单调递减，前n项和，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等比数列中，设首项为， 因为等比数列单调递减，所以， 因为，所以， 则，化简得， 解得或（舍去），故选项C正确. 故选：C 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知正项等比数列的前项和为，则（    ） A．9 B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】设公比为，因为，， 所以，解得， 而正项等比数列的前n项和为， 得到，故C正确. 故选：C 7．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，，若，则（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由是等比数列，得也是等比数列， 而当公比时，，此时， 则，不满足，故， 所以当公比时，有， 则， 由，则，即， 又由，得， 故选：C． 8．（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则公比 . 【答案】 【详解】因为，，解得. 故答案为：. 9．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等比数列中，前n项和为，若，则 . 【答案】 【详解】若等比数列的公比，则，不满足， 所以， 由可得，即， 所以，解得， 又因为， 故答案为:. 10．（24-25高二上·江苏盐城·期末）设是公比为的等比数列，为其前n项和，若成等差数列，则 . 【答案】 【分析】应用等差中项及等比数列前n项和可得，即可求公比. 【详解】由题设，则，整理得， 所以. 故答案为： 11．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）（1）设是等差数列的前n项和，，，求数列的通项公式； （2）设等比数列的前n项和为.若公比，，，求n. 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，d， 由题意，，解得，， 所以，（）， 即数列的通项公式为，（）. （2）依题意， 由于，所以两式相除得，则， 所以，可得，故， 所以，可得. 题型二：等比数列片段和性质及应用 12．（22-23高二上·江苏连云港·期中）记为等比数列的前n项和．若，则的值为（    ） A．24 B．48 C．39 D．36 【答案】C 【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列， ∴，，∴，∴． 故选：C 13．（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等比数列片段和的性质可知，、、成等比数列， 所以，，即，解得. 故选：C. 14．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【答案】210 【详解】由等比数列的性质可得：，，也成等比数列， 所以，即. 所以. 故答案为：210 15．（22-23高二上·江苏连云港·期末）在等比数列中，，，则的值是 ． 【答案】50 【详解】设，， 所以， 所以， 所以. 故答案为:50. 16．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等比数列的公比为，，则 . 【答案】22 【详解】设，则，， 由题意可得，即，所以. 故答案为：22 17．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】14 【详解】由等比数列满足，可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得． 故答案为： 18．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由等比数列的性质可得：，，成等比数列， 则， 由于，所以 ， 当且仅当时取最小值，故最小值为 故答案为：． 题型三：求等比数列前n项和 19．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知等比数列的公比为2，且前n项和为，，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 20．（24-25高二上·江苏南京·期末）数列的通项公式为，则它的前6项和为 . 【答案】147 【分析】根据数列通项公式特点，运用分组求和，利用等差（等比）数列求和公式计算即得. 【详解】因，则该数列的前6项和为： . 故答案为：147. 21．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【详解】（1）由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则， . 22．（24-25高二上·江苏南通·期末）记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， (1)求与 (2)若数列满足，求的前n项和. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， （2）由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 23．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）根据题意设等比数列的公比为， 当时，由可得，显然不合题意； 因此，所以由可得，解得， 又为正项等比数列，所以； 根据可得，解得或（舍）； 因此； 即数列的通项公式为； （2）由（1）可知， 所以， 则， 两式相减可得， 可得. 24．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且对任意的，都有 (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，及数列的前项和． 【详解】（1）已知，则， 因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知， 因为，所以， ， ， 先求，这是首项为，公比为的等比数列的前项和， 可得：， 再求，根据等差数列求和公式可得：， 所以. 25．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等比数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求的最小值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，，得， 而，则，解得，又，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 由，得，即， 整理得，而，因此， 又，则，所以的最小值为5. 26．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 而，解得，则， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，， 则，， 因此， 所以. （3）由（2）得， 由， 得，即， 因此， 所以. 27．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 【详解】（1）由题意，， 又，所以，解得． 因为，所以. （2）因为， 所以， 又，又， 则. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）知，所以， 所以 ， 所以. 题型四：等比数列的简单应用 28．（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【答案】A 【详解】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得. 故选：A. 29．（22-23高二上·江苏连云港·期末）在等比数列中，，．设t为实数，为该数列的前2n项和，为数列的前n项和，且，则t的值为  （    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为等比数列中，，， 所以， 所以，， 所以， 由等比数列，， 所以数列以首项为1，公比为4的等比数列， 所以， 所以，即． 故选：C． 30.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（    ）天，蒲草和菀草高度相同.（已知，，结果精确到0.1）（    ） A．3.5 B．3.6 C．3.7 D．3.8 【答案】B 【详解】设蒲草每天长高数形成数列，则由题可得是首项为6，公比为的等比数列， 设菀草每天长高数形成数列，则由题可得是首项为1，公比为2的等比数列， 若第n天，蒲草和菀草高度相同，则， 可得，解得或， （舍去）或. 故选：B. 31．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高万元，并要求每个实验室改建费用不能超过万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】C 【详解】设装修费为x万元，设备费为，， 由题意得：， 解得 ， 所以， 又因为每个实验室改建费用不能超过万元， 所以  ， 解得 ， 所以这十个实验室投入的总费用最多需要：， 故选：C 32．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 33．（22-23高二上·江苏徐州·期末）中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七天走的里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，马每天行走的里程数成等比数列， 设第天行走的里数为，则数列是公比为的等比数列； 由七天一共行走了700里可得， 解得，所以， 即该马第七天走的里数为. 故选：B 34．（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数 ． 【答案】8 【详解】设第n个正方形的边长为，第个正方形的边长为， 即，即数列是首项为，公比为的等比数列， ，故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于8， 故答案为：8. 35．（22-23高二上·江苏南通·期中）2018年，某地区甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增，而乙林场木材存量每年比上一年递减. (1)经过几年两林场木材的总存量相等? (2)两林场木材的总量到2022年能否翻一番？并说明理由. 【详解】（1）设经过年两林场木材的总存量相等，则 ， ，得 解得， 所以经过两年两林场木材的总存量相等； （2）令，则2022年的两林场木材的总量为 ， 因为 所以两林场木材的总量到2022年不能翻一番. 36．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【详解】（1）由题意知，经过次技术更新后，， 则， 即．设，则， 令，解得．又， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知， 则，． 所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为， 对于任意，所以， 即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上． 37．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）求和其中，a，b是不为0的常数，且 （2）若n为大于1的正奇数且，求证：是的一个因式. 【详解】（1）由，，得， 所以 . （2）由（1）得，， 即， 当为正偶数，即为正奇数时，， 令，为大于1的正奇数，则有， 令，，则， 所以n为大于1的正奇数且时，：是的一个因式. 38．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，） (1)试求的表达式； (2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. 【详解】（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入为（千万元）， 设第年的收入为，前年的累计收入为， 由题意得，， 所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列， 则有（千万元）， （千万元）， 所以，即（千万元）. 所以的表达式为； （2）因为， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，， 所以该新产品将从第9年开始并持续赢利. 所以该新产品将从2030年开始并持续赢利. 39．（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂. (1)求该数列前55项和； (2)求激活码的值. 【详解】（1）解：由题意得，数列如下： ， ，， …… ，，，…，， 所以，该数列的前项和为， 所以，当时，解得， 所以，该数列前55项和为 （2）解：由（1）知， 所以，要使，即，有，此时， 所以是第组等比数列的部分和， 设， 所以，则， 所以，当时，，满足 所以对应满足条件的最小整数， 所以，激活码的值. 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．48 B．90 C．96 D．162 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，，无解不合题意； 当时，，解得， . 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）在正项等比数列中，．则满足的最大正整数的值为（   ） A．12 B．11 C．9 D．10 【答案】D 【详解】设正项等比数列公比为，则，由题意可得， 解之可得，，故其通项公式为． 记， ． 由题意可得，即，化简得， 由且，因此只须，即， 解得， 由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是10． 故选：D. 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ） A．999 B．749 C．499 D．249 【答案】A 【详解】由，得， 因此数列为公比为5，首项为的等比数列， 故， 进而根据累加法得 ， 由于， 又， 因此，则， 故， 所以. 故选：A 二、多选题 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为常数 【答案】ACD 【详解】设等比数列的公比为， 所以，则， 又因为，则，， . ，故A选项正确； ，故B选项错误； ，所以为等差数列，故C选项正确； ，故D选项正确； 故选：ACD. 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（   ） A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列 B．若数列为等差数列，，则的最大值在或时取得 C．若数列为等比数列，则恒成立 D．若数列为等比数列，则数列也为等比数列 【答案】ABC 【详解】对于A，因为数列不是常数列，且数列为等差数列，恒成立， 则，所以为递增数列，故A正确， 对于B，因为，则，所以，且， 则，所以的最大值在或时取得，故B正确， 对于C，因为数列为等比数列，且，则， 因为恒成立，当时，，当时， 当时，，所以恒成立，故C正确， 对于D，因为数列为等比数列，设其首项为，公比为， 则不为常数，所以D错误， 故选：ABC. 7．（25-26高二上·江苏·期中）如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（    ） A．数列不是等比数列 B． C．存在正数，使得恒成立 D．恒成立 【答案】ABD 【详解】设图中新构造出的每条线段的长度为，则，其中， 故． 而，∴， 故   ， 而也符合该式，故， 此时，，故不是等比数列，故A正确． 而，故D正确． 而，故，故B正确． 对任意给定的正数，当时，必有，故C错误． 故选：ABD． 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记为等比数列的前n项和．若成等差数列，则的公比为 ． 【答案】 【详解】设公比为，由题意得， 即， 所以，故， 解得. 故答案为：. 9．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知公比不为l的等比数列满足，且构成等差数列．记为的前项和，求使成立的最大正整数k的值为 ． 【答案】3 【详解】设等比数列的公比为，且， 因为，且构成等差数列， ，解得， ， ，又， ，即， 当为偶数时，，不等式不成立； 所以为奇数，设， 则，即， 即，即， 所以正整数，所以的最大值为2，此时的最大值为3， 所以使成立的最大正整数k的值为3. 故答案为：3. 10．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ． 【答案】 【详解】第一空：由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对折三次的结果有：，，共4种不同规格； 对折4次可得到如下规格：，， ，，共5种不同规格； 对折5次可得到如下规格：，，， ，，共6种不同规格； 第二空：由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形， 不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为, 第次对折后的图形面积为，对于第此对折后的图形的规格形状种数为种， 则， ， 两式作差得： ， 因此. 故答案为：①；②. 11．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，2进行“美好成长”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；设第n次“美好成长”后得到的数列为，并记，则 （用n表示），数列的前n项和 ． 【答案】 【详解】设每次插入项的个数构成数列，则， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 而数列的前n项和为k，所以， ， 由知，， 因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以， 故其前n项和为． 故答案为：； 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）记为数列的前项和. (1)若为等差数列，且，求的最小值； (2)若为等比数列，且，求的值. 【详解】（1）设的公差为， 由条件可得，解得， 由，解得或， 且，所以的最小值为7. （2）设的公比为， 由条件可得，即，解得， 则， 所以. 13．（24-25高二上·江苏·期末）设数列满足递推关系：，且. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）因为，而， 所以， 又因为所以，则， 由以上可得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以即， 则数列的前项和， 所以. 14．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【详解】（1）因为，当时，，所以， 当时，， 所以，即. 又，所以，从而数列为公比为2的等比数列， 所以. （2）由（1）得，所以. 所以， ， 两式相减得 所以. 因为，所以，所以. 15．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 【详解】（1）依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则 因为所以 所以，所以         所以，所以， 又因为，所以， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列，              所以，所以． （2）由（1）知，，可得 所以 = = 16．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 17．（24-25高二上·江苏南通·期末）记正整数的所有正因数的和为，如.若，则称为“好数”. (1)判断28是否为“好数”，并说明理由， (2)证明：不是“好数”； (3)设，求所有形如的“好数”. 【详解】（1）对于，它的正因数有. 计算这些正因数的和，通过加法运算得到. 而，即，满足“好数”的定义，所以28是“好数”. （2）求的正因数之和，的正因数为，这是一个首项，公比，项数的等比数列. 根据等比数列求和公式，可得. 而，因为，即，所以不是“好数”. （3）先求，因为，根据正因数的性质，等于的正因数和与的正因数和的乘积. 的正因数和为， 的正因数和为. 所以. 令，即，化简得. 当时，左边， 右边，等式成立. 当时，对展开得，.通过分析指数函数的增长速度可知，此时左边大于右边，方程无解. 所以，那么形如的“好数”为，即形如的“好数”集合为. 18．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列的公比，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记， （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围 【详解】（1），，又，， 解得：或，，， ，解得：，. （2）由（1）知：； （i），， ， . （ii）令， ， 当时，；当时，； ， 若不等式恒成立，则， 即实数的取值范围为. 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列中的各项均为正数，，点在曲线上，数列满足，记数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)求的前2n项和； (3)求满足不等式的正整数n的取值集合. 【详解】（1）依题意，，即有，而， 因此数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则有. （2）因为， 所以 . （3）由（2）知，，， 由，得，即，设， 则， 显然， 当时，，即， 即数列从第3项起是递减的， 因为，则当时，有， 所以正整数的取值集合为. 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列和满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）由， 可得：， 两式相减可得：，， 可得：，又， 所以， 即， （2）由（1）， 两端同除，可得， 所以，又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 即， 可得：，， 所以； （3）由（1）（2） 即为：， 即对任意的，恒成立， 由， 因为，， 所以， 即当时，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以， 则的取值范围是. 21．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【详解】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $