4.2.3　第3课时　等差数列前n项和的性质及应用(2)同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.2.3第3课时　等差数列前n项和的性质及应用(2) A级　必备知识基础练 1.在等差数列{an}中，|a5|=|a14|，且公差d＜0，则其前n项和取得最大值时，n的值为(　　) A.8　　 B.9　　 C.10　　 D.11 2.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若=，则=(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 3.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若=，则=(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 4.若等差数列{an}满足a5=8，a7=2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|=(　　) A．129　　B．136　　C．158　　D．169 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n2－17n，则当Sn取得最小值时，n的值为(　　) A.4或5　　 B.5或6　　 C.4　　 D.5 6.已知等差数列{an}的通项公式为an=5－n，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于　　　　　． 7.已知在等差数列{an}中，a5=1，a9=－7. (1)求数列{an}的通项公式． (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则当n为何值时，Sn取得最大值？并求出此最大值． B级　关键能力提升练 8.(2025盐城高二质检)已知两等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是An，Bn，且满足=，则=(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 9.(多选题)已知等差数列{an}是递减数列，Sn为其前n项和，且S7=S8，则(　　) A．d＞0 B．a8=0 C．S15＞0 D．S7，S8均为Sn的最大值 10.记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=10，且是公差为－1的等差数列，则Sn的最大值为　　　　． 11.在数列{an}中，a1=，an=2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn=(n∈N*)． (1)证明数列{bn}是等差数列，并求数列{bn}的通项公式； (2)求|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|的值； (3)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． C级　学科素养创新练 12.(多选题)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S10＜S8＜S9，则下列说法正确的是(　　) A．当n=9时，Sn最大 B．使得Sn＜0成立的最小自然数n=18 C．|a8＋a9|＞|a10＋a11| D．数列{}中最小项为 答案： 1.B　2.A 3.C　解析　因为数列{an}为等差数列且=， 所以5S3=S3＋S6，即4S3=S6， 则4(3a1＋3d)=6a1＋15d，整理得，d=2a1，则==．故选C． 4.D　解析　设首项为a1，公差为d，由解得 所以an=a1＋(n－1)d=20＋(n－1)×(－3)=－3n＋23. 设数列{an}的前n项和为Sn=na1＋d=－n2＋n． 当n≤7时，an＞0，当n≥8时，an＜0，故|a1|＋|a2|＋…＋|a15|=a1＋a2＋a3＋…＋a7－(a8＋a9＋…＋a15)=S7－(S15－S7)=2S7－S15=2×77＋15=169. 5.C　解析　因为Sn=2n2－17n=2(n－)2－，即二次函数Sn=2n2－17n的对称轴为直线n=，且开口向上，而n∈N*，于是当n=4时，Sn取得最小值，所以当Sn取最小值时，n的值为4.故选C． 6.25 7.解　(1)设等差数列的公差为d，则a9=a5＋4d=1＋4d=－7，解得d=－2，所以的通项公式为an=a5＋(n－5)d=1－2(n－5)=11－2n． (2)因为n∈N*，令an=11－2n＞0，得1≤n≤5，令an=11－2n＜0，得n≥6，故当n=5时，Sn取得最大值，其中a1=9，a5=1，故最大值为S5===25. 8.B　解析　两等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是An，Bn，满足=，所以======．故选B． 9.BD　解析　因为等差数列{an}是递减数列，所以an＋1－an＜0，所以d＜0，故A错误； 因为S7=S8，所以a8=S8－S7=0，故B正确； 因为S15==15a8=0，故C错误； 由题意得，所以S7=S8≥Sn(n∈N*)，故D正确．故选BD． 10.22　解析　由a1=10，且是公差为－1的等差数列，可知的首项为=，则=＋(n－1)(－1)=－n，故an=13－3n，则数列{an}为a1=10，公差为－3的等差数列，且为递减数列，令an=13－3n≥0，得n≤，即等差数列{an}的前4项为正项，从第5项开始为负，故Sn的最大值为S4=4×10＋×(－3)=22. 11.解　(1)因为bn－bn－1=－=－=－=1 (n≥2，n∈N*)，又b1==－，所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列，所以bn=－＋(n－1)×1=n－． (2)记{bn}的前n项和为Sn，则Sn=．由bn=n－≥0，得n≥，即当n≤13时，bn＜0；当n≥14时，bn＞0. ①当n≤13时，|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|=－b1－b2－b3－…－bn=－Sn=． ②当n＞13时，|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|=－b1－b2－b3－…－b13＋b14＋b15＋b16＋…＋bn=Sn－2S13=． (3)由bn==n－，得an=＋1.又函数f(x)=＋1在(－∞，)和(，＋∞)上均单调递减，由函数f(x)=＋1的图象(图略)，可得(an)max=a14=3，(an)min=a13=－1. 12.ABD　解析　A正确．根据题意得即即解得所以当n=9时，Sn最大． C错误．由S10＜S8，可得a9＋a10＜0，所以a8＋a11＜0，所以a10＋a11＋a8＋a9＜0，所以a8＋a9＜－(a10＋a11)，因为a9＞0，a10＜0，d＜0，所以a8＞0，a11＜0，所以0＜a8＋a9＜－(a10＋a11)，所以|a8＋a9|＜|a10＋a11|． B正确．由a1＞a2＞a3＞…＞a9＞0＞a10＞a11＞…，得S17==17a9＞0，S18==9(a9＋a10)＜0. 当n≤17时，Sn＞0；当n≥18时，Sn＜0，所以使得Sn＜0成立的最小自然数n=18. D正确．当n≤9或n≥18时，＞0；当9＜n＜18时，＜0.又0＞a10＞a11＞…＞a17，S10＞S11＞S12＞…＞S17＞0，所以{}中最小项为．故选ABD． 学科网（北京）股份有限公司 $