第1-2章 综合自检卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1-2章综合自检卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•澧县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．xy＝2 2．（2025秋•蓝山县期末）已知反比例函数，下列结论错误的是（　　） A．其图象经过点（﹣3，﹣2） B．y随x的增大而减小 C．其图象位于第一、第三象限 D．当x＞2时，0＜y＜3 3．（2026•广元）若关于x的一元二次方程x2+bx+3＝0有两个相等的实数根，则b的值为（　　） A．2 B．±2 C． D．± 4．（2026•南充模拟）某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2026•宜宾）已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2026秋•南开区校级月考）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 7．（2026春•泰山区期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（　　） A．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 B．（3x）2+（7x﹣10）2＝102 C．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 D．（7x）2+（3x﹣10）2＝102 8．（2026•让胡路区校级模拟）一次函数y＝mx+n与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（2026•吐鲁番市模拟）如图，矩形草坪的长和宽分别为30m，20m，若将该草坪的长和宽各增加xm，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2026秋•宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线BD∥x轴．则菱形ABCD的面积为（　　） A．3 B．12 C．﹣6 D．6 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•五华区校级月考）函数的图象在第一、三象限内，则k的取值范围是________ ． 12．（2026秋•碑林区校级月考）若m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，则2m2+2m+2019的值是 _________ ． 13．（2026•海南）在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标互为相反数的点称为“自反点”．例如点（﹣1，1），（2，﹣2），（，）都是“自反点”．若“自反点”P（3，t）在反比例函数y（m为常数，m≠0）的图象上，则m＝_______ ． 14．（2026•河北）已知关于x的一元二次方程x2x+m＝0有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m＝___________________ ． 15．（2026秋•碑林区校级月考）如图是某校一块矩形劳动场地，长24米、宽16米，要求在场地内修两条宽度相等且互相垂直的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的面积为308平方米，则所修道路的宽度为_____ 米． 16．（2025秋•锦江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB位于第一象限，∠ABO＝90°，点A、C在函数的图象上，其中点B与点C关于线段OA的垂直平分线对称，延长CB交x轴于点D，当时，OD＝_____ ． 三．解答题（共8小题） 17．（2026秋•丰南区校级月考）解下列方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）3x2﹣2x﹣1＝0； （3）x（x﹣7）＝5x﹣35； （4）9（x+1）2﹣（2x﹣5）2＝0． 18．（2026秋•五华区校级月考）如图，直线y＝kx+b与双曲线y（x＜0）相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标； （3）根据图象直接写出不等式kx+b的解集． 19．（2026春•淮上区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为α，β，且（α+1）（β+1）＝13，求k的值． 20．（2025秋•崆峒区校级期末）如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 21．（2026•浙江模拟）我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段（1≤x≤5）及新技术改造后（x＞5），y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为y1，第4个月时该厂的利润为y2，第7个月时利润为y3，则y、y2和y3的大小关系为：_____________ （用“＞”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 22．（2026•岳西县模拟）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为x元（40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是____________________ 件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 23．（2026春•锦江区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，点C，其中A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（2，n），S△AOC＝4． （1）求直线AB的解析式和该反比例函数的解析式； （2）将直线AB向左（或向右）平移t个单位后与该双曲线的一个交点为D，与x轴，y轴分别交于点E和点F． ①若S△ABE＝4S△BDE，求此时点D的坐标； ②连结AD，AF，若AF＝AD，求t的值． 24．（2026春•福田区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是_____ ；（填写序号） ①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 第1-2章综合自检卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•澧县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．xy＝2 【解答】解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．2x2﹣x＝1符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．3x3＝1中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．xy＝2中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 2．（2025秋•蓝山县期末）已知反比例函数，下列结论错误的是（　　） A．其图象经过点（﹣3，﹣2） B．y随x的增大而减小 C．其图象位于第一、第三象限 D．当x＞2时，0＜y＜3 【解答】解：根据反比例函数性质逐项分析判断如下： ∵反比例函数，k＝6＞0， ∴图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x增大而减小； A．当x＝﹣3时，， ∴图象经过点 （﹣3，﹣2），正确，不符合题意； B．未限定“同一象限”或“x＞0”，直接说“y随 x增大而减小”错误，符合题意； C．∵k＞0， ∴图象位于第一、三象限，正确，不符合题意； D．当x＝2时，， ∴当x＞2时，，且y＞0， ∴0＜y＜3，正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2026•广元）若关于x的一元二次方程x2+bx+3＝0有两个相等的实数根，则b的值为（　　） A．2 B．±2 C． D．± 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2+bx+3＝0有两个相等的实数根， 则Δ＝b2﹣4×1×3＝0， 解得b． 故选：B． 4．（2026•南充模拟）某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：设反比例函数表达式为，由于乙、丁两点在该反比例函数图象上，故对乙、丁两所学校都有xy＝k，即乙、丁两校的优秀人数相等； 对于甲校，过点甲作x轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与甲相同，纵坐标大于甲的纵坐标，甲校优秀人数小于k； 对于丙校，过点丙作x轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与丙相同，纵坐标小于丙的纵坐标， 因此丙校优秀人数大于k； 综上：丙校的优秀人数＞乙校（丁校）的优秀人数＞甲校的优秀人数，即优秀人数最多的是丙校． 故选：C． 5．（2026•宜宾）已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：∵x2﹣9x+14＝0， ∴（x﹣7）（x﹣2）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣7＝0， 解得x＝2或x＝7， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 故选：D． 6．（2026秋•南开区校级月考）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2 【解答】解：由条件可知反比例函数图象在第一、三象限内 y 随 x 增大而减小； ∵x1＜0， ∴； ∵x2＞0，x3＞0，且 x2＜x3， ∴，，且 y2＞y3； 又∵y1＜0，y3＞0， ∴y1＜y3＜y2． 故选：D． 7．（2026春•泰山区期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（　　） A．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 B．（3x）2+（7x﹣10）2＝102 C．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 D．（7x）2+（3x﹣10）2＝102 【解答】解：如图，设相遇时，甲、乙行走了x个单位时间， 则AB＝3x，BC＝7x﹣10， 由勾股定理得（3x）2+102＝（7x﹣10）2． 故选：A． 8．（2026•让胡路区校级模拟）一次函数y＝mx+n与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题知， 由A选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＞0； 由A选项中反比例函数的图象可知，mn＜0， 所以A选项不符合题意； 由B选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0； 由B选项中反比例函数的图象可知，mn＞0， 所以B选项不符合题意； 由C选项中一次函数的图象可知，m＞0，n＜0； 由C选项中反比例函数的图象可知，mn＞0， 所以C选项不符合题意； 由D选项中一次函数的图象可知，m＜0，n＞0； 由D选项中反比例函数的图象可知，mn＜0， 所以D选项符合题意； 故选：D． 9．（2026•吐鲁番市模拟）如图，矩形草坪的长和宽分别为30m，20m，若将该草坪的长和宽各增加xm，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设该草坪的长和宽各增加xm，根据“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”得 ， 故选：A． 10．（2026秋•宿城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线BD∥x轴．则菱形ABCD的面积为（　　） A．3 B．12 C．﹣6 D．6 【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E， 由条件可知四边形BDEO是矩形， ∴S矩形OBDE＝k， ∴S△BCDS菱形ABCDS矩形OBDEk， ∵菱形ABCD的顶点A，D都在反比例函数的图象上，k＝6， ∴S菱形ABCD＝k＝6， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•五华区校级月考）函数的图象在第一、三象限内，则k的取值范围是k＞2　 ． 【解答】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴k﹣2＞0， 解得k＞2； 故答案为：k＞2． 12．（2026秋•碑林区校级月考）若m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，则2m2+2m+2019的值是 　2021　 ． 【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根， ∴m2+m﹣1＝0， ∴m2+m＝1， ∴2m2+2m+2019＝2（m2+m）+2019＝2×1+2019＝2021． 故答案为：2021． 13．（2026•海南）在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标互为相反数的点称为“自反点”．例如点（﹣1，1），（2，﹣2），（，）都是“自反点”．若“自反点”P（3，t）在反比例函数y（m为常数，m≠0）的图象上，则m＝　﹣9　 ． 【解答】解：∵“自反点”的横坐标与纵坐标互为相反数，P（3，t）是“自反点”， ∴t＝﹣3， 即点P的坐标为（3，﹣3）， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴将y＝﹣3，x＝3代入解析式得， 解得m＝﹣9， 故答案为：﹣9． 14．（2026•河北）已知关于x的一元二次方程x2x+m＝0有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m＝　　 ． 【解答】解：设一元二次方程的两根分别为t，t2， 根据根与系数的关系可得，t•t2＝m， 整理，得，变形得， 解得， 将代入m＝t3，得， 验证判别式：，符合题意， 故答案为：． 15．（2026秋•碑林区校级月考）如图是某校一块矩形劳动场地，长24米、宽16米，要求在场地内修两条宽度相等且互相垂直的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．若种植区的面积为308平方米，则所修道路的宽度为　2　 米． 【解答】解：设所修道路的宽度为x米，则余下部分可合成长为（24﹣x）米，宽为（16﹣x）米的矩形， 根据题意得：（24﹣x）（16﹣x）＝308， 整理得：x2﹣40x+76＝0， 解得：x1＝2，x2＝38（不符合题意，舍去）， ∴所修道路的宽度为2米． 故答案为：2． 16．（2025秋•锦江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB位于第一象限，∠ABO＝90°，点A、C在函数的图象上，其中点B与点C关于线段OA的垂直平分线对称，延长CB交x轴于点D，当时，OD＝　3　 ． 【解答】解：如图，过点C作x轴的平行线交AO于点E，连接OC，延长AC交x轴于点F． 根据题意点B和点C关于线段AO的垂直平分线对称，则线段AC和OB也关于线段AO的垂直平分线对称． ∴四边形ACBO是等腰梯形，四边形ODCE为平行四边形． 根据轴对称的性质，△ACO≌△OBA， ∴S△AOC＝S△OAB＝6， ∵S△AOC＝S△AEC+S△OECEC•yA， 设OD＝EC＝m，则S△AOCmyA＝6，即yA，xA． ∴直线OA的函数解析式为：yx． 根据函数图象平移的性质，直线CD的函数解析式为：y（x﹣m）． 联立直线CD解析式和反比例函数求解点C坐标为（m，）． 根据平行线分线段成比例可得：． ∴EC为△AOF的中位线， ∴OF＝2EC＝2m． 又∵∠ACO＝∠ABO＝90°， ∴直线OC是线段AF的垂直平分线， ∴OA＝OF＝2m， 则OA2（）2+（）2＝（2m）2，解得m＝3． ∴OD＝3． 故答案为：3． 三．解答题（共8小题） 17．（2026秋•丰南区校级月考）解下列方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）3x2﹣2x﹣1＝0； （3）x（x﹣7）＝5x﹣35； （4）9（x+1）2﹣（2x﹣5）2＝0． 【解答】解：（1）移项，得x2﹣2x＝4， 配方，得x2﹣2x+5＝9， 即（x）2＝9， 两边开方得，x±3， ∴x1＝3，x2＝﹣3； （2）a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）＝16＞0， ∴x， ∴x1＝1，x2； （3）原式可化为x（x﹣7）＝5（x﹣7）， 移项，得x（x﹣7）﹣5（x﹣7）＝0， 提公因式，得（x﹣7）（x﹣5）＝0， 则x﹣7＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝7，x2＝5； （4）因式分解，得（3x+3+2x﹣5）（3x+3﹣2x+5）＝0， 即（5x﹣2）（x+8）＝0， 则5x﹣2＝0，或x+8＝0， ∴x1，x2＝﹣8． 18．（2026秋•五华区校级月考）如图，直线y＝kx+b与双曲线y（x＜0）相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标； （3）根据图象直接写出不等式kx+b的解集． 【解答】解：（1）由条件可得：，解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+4， 将A（﹣3，1）代入y（x＜0），得m＝﹣3， ∴反比例的解析式为y（x＜0）． （2）联立， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣1， 将x＝﹣1代入y＝x+4，y＝3，B（﹣1，3）； （3）观察图象，当x＜0时，关于x的不等式kx+b的解集是x＜﹣3或﹣1＜x＜0． 19．（2026春•淮上区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为α，β，且（α+1）（β+1）＝13，求k的值． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2）＞0， 解得； （2）由条件可知： α+β＝2（k+1），αβ＝k2+2． ∵（α+1）（β+1）＝αβ+（α+β）+1＝13， ∴（k2+2）+2（k+1）+1＝13， 整理，得k2+2k﹣8＝0， 解得k＝﹣4或k＝2． 又∵， ∴k＝2． 20．（2025秋•崆峒区校级期末）如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【解答】解：（1）把A（﹣3，2）代入得：2， ∴m＝﹣6， ∴反比例函数解析式为． （2）把B（n，﹣3）代入得：﹣3， ∴n＝2， ∴点B的坐标是（2，﹣3）， 将A，B两点坐标代入y＝kx+b得， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1； 在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则x＝﹣1， ∴C点坐标（﹣1，0）， ∴． 21．（2026•浙江模拟）我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段（1≤x≤5）及新技术改造后（x＞5），y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为y1，第4个月时该厂的利润为y2，第7个月时利润为y3，则y、y2和y3的大小关系为：y3＞y1＞y2 （用“＞”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【解答】解：（1）当1≤x≤5时，可得：k＝200， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当x＞5时，将x＝5代入得：y＝40，则y＝40+20（x﹣5）＝20x﹣60， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：y＝20x﹣60． （2）当x＝3时，则， 当x＝4时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当x＝7时，该厂的利润在一次函数y＝20x﹣60上， ∴y3＝20x﹣60＝80， ∴y3＞y1＞y2， 故答案为：y3＞y1＞y2． （3）对于，当y＝100时，x＝2， 对于y＝20x﹣60，当y＝100时，x＝8， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 22．（2026•岳西县模拟）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为x元（40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是　　 件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）该商场每天售出小家电的数量是件， 故答案为：； （2）根据题意列一元二次方程得，， 解得x1＝50，x2＝90（不合题意，舍去）， 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的价格为50元/件； （3）该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 理由：根据题意列一元二次方程得，， 整理得x2﹣140x+5000＝0， ∵Δ＝（﹣140）2﹣4×1×5000＝﹣400＜0， ∴此一元二次方程没有实数根， ∴该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 23．（2026春•锦江区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，点C，其中A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（2，n），S△AOC＝4． （1）求直线AB的解析式和该反比例函数的解析式； （2）将直线AB向左（或向右）平移t个单位后与该双曲线的一个交点为D，与x轴，y轴分别交于点E和点F． ①若S△ABE＝4S△BDE，求此时点D的坐标； ②连结AD，AF，若AF＝AD，求t的值． 【解答】解：（1）由题意，设C（0，c），c＞0， ∵A（﹣2，0）， ∴，则c＝4， ∴C（0，4）． 设直线AB为y＝kx+b， 将A（﹣2，0），C（0，4）代入解析式得：， ∴直线AB为y＝2x+4． 将B（2，n）代入得n＝2×2+4＝8， ∴B（2，8）． 又将B代入反比例函数y， ∴． ∴反比例函数为； （2）①由题意，如图所示， ∵AB∥DE， ∴点B和点A到直线DE的距离相等 ∵△BDE与△ADE同底等高，故S△BDE＝S△ADE， ∵S△ABE＝4S△BDE， ∴S△ABE＝4S△ADE． ∵△ABE与△ADE同底AE，设D（xD，yD）， ∴，则8＝4|yD|，即|yD|＝2， ∴yD＝2或yD＝﹣2， 将yD代入反比例函数得， 当yD＝2，则xD＝8；若yD＝﹣2，则xD＝﹣8， ∴点D坐标为（8，2）或 （﹣8，﹣2）； ②由题意，∵AF＝AD， ∴点A在线段DF的垂直平分线上． 设（D（x0，y0），则D同时满足y0＝2x0+b，x0y0＝16， ∵线段DF的中点M坐标为（，）垂直平分线过点A（﹣2，0）且斜率为，其方程为：， ∴． 将（y0＝2x0+b）代入整理得：． 将x0代入双曲线方程得，解得b＝4（对应平移距离为0，舍去）或， 由平移关系b＝4﹣2t，得：⇌， ∴所求平移距离． 24．（2026春•福田区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　①　 ；（填写序号） ①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【解答】解：（1）解方程①得， x1＝0，x2＝1． 因为|1﹣0|＝1， 所以方程①符合题意； 解方程②得， x1＝﹣1，x2＝5． 因为|﹣1﹣5|＝6≠1， 所以方程②不符合题意， 故答案为：①； （2）由x2+2ax＝0得， x1＝0，x2＝﹣2a． 因为此方程为“差根方程”， 所以|﹣2a﹣0|＝1， 解得； （3）令AB＝m，AC＝n， 则m2+n2＝BC2＝7． 又因为|m﹣n|＝1， 则（m﹣n）2＝1， 所以m2+n2﹣2mn＝1， 则mn＝3． 因为（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7+6＝13， 所以m+n（舍负）， 所以这个“差根方程”为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $