第25章～第26章 单元复习【高分冲刺卷】2026～2027学年人教版数学九年级上册

第25章～第26章 单元复习【高分冲刺卷】2026~2027学年人教版九年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若关于 的方程 只有一个实数根，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 2．抛物线 经过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)（如图）．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 当 时， 随 的增大而增大．其中结论正确的有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 3．已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．抛物线 与 轴交于点 、，将它向上平移 个单位长度后与 轴只有一个公共点，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．将抛物线 向上平移 （）个单位长度后，所得抛物线的顶点落在直线 上，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数 ，当 （）时， 的最大值是 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 7．已知实数 、 满足 ，，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．若二次函数 的图像与 轴交于点 、，且 ，，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 9．某校去年秋季植树 棵，今年春季植树 棵．若这两个学期的植树棵数的增长率相同，则这个增长率是（　　） A． B． C． D． 10．若关于 的一元二次方程 的两个根都是正数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．某校九年级组织篮球赛，赛制为单循环制（每两支球队之间都赛一场），共比赛了 场，则共有　______　支球队参赛． 12．若 ，则 　______　． 13．若抛物线 与直线 交于点 A、B，则线段 AB 的长是　______　． 14．若关于 的方程 的一个根大于 ，另一个根小于 ，则 的取值范围是　______　． 15．若抛物线 经过点 、，且顶点的纵坐标是 ，则 　______　． 16．若关于 的一元二次方程 的两根互为倒数，则 　______　． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18．（6 分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条直角边长，且这个直角三角形的斜边长为 ，求 的值． 19．（6 分）如图，抛物线 与 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 轴交于点 C，顶点为 D． （1）求点 A、B、C、D 的坐标； （2）求四边形 ABDC 的面积． 20．（6 分）已知二次函数 的图像经过点 A(1,0)，且对称轴是直线 ． （1）求 、 的值； （2）若点 在该抛物线的图像上，且 ，求 的取值范围． 21．（7 分）某商店销售一种商品，进价为每件 元，当售价为每件 元时，每天可售出 件．市场调查发现：售价每上涨 元，每天少售出 件．设每件售价上涨 元． （1）用含 的式子表示每天的销售利润 （单位：元）； （2）若每天要获得 元的销售利润，且为了减少库存要使售价尽可能低，则每件售价应定为多少元？ 22．（7 分）如图，某公园有一个圆形喷水池，水池中心竖直安装了一根水管，水从水管顶端喷出后沿抛物线路径落下．以水面所在直线为 轴、水管所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．已知水柱的最高点离水面 米，此时它离水管的水平距离为 米；水柱的落地点 A 离水管 米． （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管的高度（即水管顶端离水面的距离）． 23．（7 分）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 、． （1）求 的取值范围； （2）若 、 满足 ，求 的值． 24．（8 分）已知二次函数 ． （1）求该抛物线的顶点坐标，并直接写出当 时 的取值范围； （2）若点 、 都在该抛物线上，且 ，求 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章～第26章 单元复习【高分冲刺卷】2026~2027学年人教版九年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若关于 的方程 只有一个实数根，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】 C 【解析】 题目说的是「方程」而不是「一元二次方程」，所以需要分两种情况讨论． ① 当 时，原方程化为 ，它是一元一次方程，只有一个实数根 ； ② 当 时，原方程是一元二次方程．只有一个实数根说明它有重根，所以 ，解得 ． 两种情况合起来， 或 ．所以选 C． 【解题提示】题干里「方程」与「一元二次方程」一字之差，影响的是要不要讨论二次项系数为 的情况．只说「方程」时，二次项系数可以等于 ，此时方程退化成一元一次方程，它也可能满足题设． 2．抛物线 经过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)（如图）．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 当 时， 随 的增大而增大．其中结论正确的有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 C 【解析】 把 、 代入，可设 ． 把 代入，得 ，解得 ． 所以 ，其中 ，，． ① ，正确； ② ，正确； ③ ，所以 ③ 错误； ④ 对称轴是直线 ，且开口向上，所以当 时 随 的增大而增大，正确． 正确的结论有 ①②④，共 个．所以选 C． 【解题提示】多结论题的通用解法是「先求解析式、再逐条验算」，把 、、 的具体值求出来之后，①②③ 这类代数式只要代入即可；④ 这类增减性问题要结合开口方向和对称轴判断．另外记住两个速判技巧： 就是 时的函数值， 就是 时的函数值． 3．已知 、 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由根与系数的关系得 ，． 把所求的式子提出公因式： ． 代入得 ，解得 ． 检验：，方程确实有两个实数根，符合题意． 所以 ．所以选 A． 【解题提示】形如 的式子，先提公因式化成 ，它自然就等于「两根之积 两根之和」．求出参数后不要忘了检验判别式，特别是本题的参数出现在常数项里，很容易出现「算得对但方程无实根」的情况． 4．抛物线 与 轴交于点 、，将它向上平移 个单位长度后与 轴只有一个公共点，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 把 、 代入，可设 ． 配方得 ，所以顶点坐标是 ． 向上平移 个单位后，顶点变为 ． 平移后的抛物线与 轴只有一个公共点，说明顶点恰好落在 轴上， 所以 ，解得 ．所以选 C． 【解题提示】「平移后与 轴只有一个公共点」等价于「平移后的顶点在 轴上」，抓住顶点坐标的变化比重新求解析式再算判别式要快得多．注意平移是整体平移，抛物线的开口方向与形状都不变． 5．将抛物线 向上平移 （）个单位长度后，所得抛物线的顶点落在直线 上，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 配方得 ，所以原抛物线的顶点坐标是 ． 向上平移 个单位后，顶点坐标变为 ． 因为这个顶点在直线 上，把 、 代入： ，解得 ．所以选 D． 【解题提示】凡是与「顶点落在某条直线上」「顶点在某条抛物线上」有关的问题，都先把顶点坐标用含参数的式子表示出来，再代入那条曲线的解析式，得到一个方程求参数．本题中平移只改变顶点的纵坐标，横坐标保持不变． 6．已知二次函数 ，当 （）时， 的最大值是 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 配方得 ，所以抛物线的顶点是 ，开口向下． 因为 ，区间 的左端点是 ，此时 ，所以最大值只能在顶点处取得． 要使 的最大值等于 ，顶点就必须落在区间 内， 即 ，所以 的最小值是 ．所以选 A． 【解题提示】开口向下的抛物线在给定区间上的最大值有两种可能：顶点落在区间内时取顶点值，顶点落在区间外时取离对称轴较近的那个端点值．本题已知端点 处的函数值小于 ，所以最大值只能由顶点提供，只要保证顶点在区间内即可． 7．已知实数 、 满足 ，，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 因为 、 都满足 ，且 ， 所以 、 是这个方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得 ，． 所以 ．所以选 B． 【解题提示】当两个字母分别满足同一个一元二次方程、且题中说明它们不相等时，就可以把它们看作该方程的两个根，直接使用根与系数的关系，不必真的去解方程．若题中没有 这个条件，就要考虑 的情形． 8．若二次函数 的图像与 轴交于点 、，且 ，，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 抛物线与 轴交点的横坐标，就是方程 的两个根， 所以 、 是该方程的两个根． 由根与系数的关系得 ，， 所以 ，． 所求解析式为 ．所以选 D． 【解题提示】二次函数与一元二次方程之间的桥梁就是「交点横坐标 方程的根」：抛物线与 轴交于 、，那么就一定有 、．这个关系也常常反过来用，已知系数求两个交点的和与积． 9．某校去年秋季植树 棵，今年春季植树 棵．若这两个学期的植树棵数的增长率相同，则这个增长率是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 设这个增长率是 ． 从去年秋季到今年春季经过了两次增长， 所以 ． 两边同除以 得 ， 所以 或 ， 解得 或 ． 增长率不能是负数，所以 不合题意，舍去． 故增长率是 ．所以选 C． 【解题提示】「增长」类实际问题的式子形式是 ，其中 是初始量、 是两次增长后的量．解出两个根后一定要结合实际情况取舍：增长率一般要大于 、小于 ，降价率也必须小于 ，否则会出现「降价超过原价」这种荒谬结果． 10．若关于 的一元二次方程 的两个根都是正数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 先把方程左边分解： ， 所以方程的两根是 ，． 两个根都是正数，需要较小的那个根也是正数， 即 ，解得 ． （此时较大的根 显然也是正数．） 所以 ．所以选 A． 【解题提示】判断含参方程两根的符号，可以先尝试把方程分解因式、把两根直接用参数表示出来，再从「较小的根大于 」入手，比用韦达定理更直观．若不易分解，也可以用「两根之积大于 且两根之和大于 」再加上判别式不小于 来列不等式组． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．某校九年级组织篮球赛，赛制为单循环制（每两支球队之间都赛一场），共比赛了 场，则共有　______　支球队参赛． 【答案】 【解析】 设有 支球队参赛． 每支球队都要与其他 支球队各赛一场，所以按「球队 × 对手」来数共有 场． 但每一场比赛都被参赛的两支球队各数了一次，所以实际场次是 ． 由题意得 ，整理得 ． 因式分解得 ，所以 或 ． 球队数不能为负数，舍去 ，故 ，即共有 支球队参赛． 【解题提示】单循环、握手、送礼物这类题的公式要分清：「每两队只赛一场」「两人互相握一次手」是无序配对，总数为 ；「互赠照片」「主客场各赛一场」是有序的两次，总数为 ．列方程解出两根后，一定要结合实际意义舍去负根（或使 的根）． 12．若 ，则 　______　． 【答案】 【解析】 设 ，则原方程化为 ． 因式分解得 ，所以 或 ． 因为 是两个平方的和，恒有 ， 所以 不合题意，舍去， 故 ． 【解题提示】把重复出现的整体（本题是 ）设为新未知数，是解高次方程和分式方程的常用手段．换元后一定要注意检验： 恒为非负数，所以负根必须舍去，这一步是本题的关键． 13．若抛物线 与直线 交于点 A、B，则线段 AB 的长是　______　． 【答案】 【解析】 把两个解析式联立：， 整理得 ． 由求根公式得 ． 所以点 A、B 的横坐标分别是 与 ． 因为 A、B 都在直线 上，所以 ． 【解题提示】求两条图像交点之间的距离，不必分别求出两个点的完整坐标，只要把交点横坐标（或纵坐标）求出来，再用较大的减去较小的即可．若两个交点在同一条水平线上，线段长就是两个横坐标之差． 14．若关于 的方程 的一个根大于 ，另一个根小于 ，则 的取值范围是　______　． 【答案】 【解析】 设 ，它是一条开口向上的抛物线． 方程的两个根就是抛物线与 轴交点的横坐标． 一个根大于 、另一个根小于 ，说明点 与 都在抛物线内部， 所以当 和 时函数值都小于 ： 由 得 ；由 得 ． 两个条件都是 ，所以 ． 【解题提示】「两根分别落在某两个数的外侧」这类问题，借助二次函数图像来想最清楚：开口向上时，只要两个界点处的函数值都小于 ，两个根就一定分别落在两个界点的两侧．这类题也可以用韦达定理加判别式硬算，但图像法更快、更不容易出错． 15．若抛物线 经过点 、，且顶点的纵坐标是 ，则 　______　． 【答案】 【解析】 抛物线与 轴交于 、，所以对称轴是直线 ，可设 ． 把 代入得顶点的纵坐标． 由 解得 ． 【解题提示】已知两个交点时，交点式 是最省事的设法，它已经把两个交点「用掉」了，只剩一个待定字母 ．顶点横坐标就是两个交点横坐标的平均数，代入交点式即可得到顶点纵坐标． 16．若关于 的一元二次方程 的两根互为倒数，则 　______　． 【答案】 【解析】 设两根为 、，它们互为倒数，所以 ． 由根与系数的关系得 ， 所以 ，解得 ． 检验：当 时，方程为 ，，两根之积为 ，符合题意． 【解题提示】「两根互为倒数」等价于两根之积为 ；「两根互为相反数」等价于两根之和为 ．用这两个等价条件可以很快求出参数，但求完之后一定要检验判别式，避免出现「两根之积为 却根本无实数根」的情况． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】 （1），；（2）， 【解析】 （1）两边都是完全平方，用直接开平方法： 或 ． 由 得 ，； 由 得 ． 所以 ，． （2）二次项系数是 ，且一次项系数是偶数，用配方法最快： 移项得 ， 两边加上 得 ，即 ， 所以 ，即 ，． 【解题提示】看到「两边都是完全平方且平方项里都有未知数」的方程，不要急着展开，直接用「两个式子的平方相等，则这两个式子相等或互为相反数」来处理，可以少算很多．注意「 得 或 」这两种情况一个都不能漏． 18．（6 分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条直角边长，且这个直角三角形的斜边长为 ，求 的值． 【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】 （1） ． 因为 ，即 对任意实数 都成立， 所以无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）把方程左边分解： ， 所以 ，． 由题意，这两条直角边的平方和等于斜边的平方： ． 展开得 ， 整理得 ，两边同除以 得 ， 因式分解得 ，所以 或 ． 因为两条直角边长都是正数，需要 ，即 ， 所以 不合题意，舍去，取 ． 【解题提示】遇到 化简后是常数（或完全平方加正数）的情形，就说明方程根的个数与参数取值无关，证明时把化简过程写清楚即可．第（2）问的关键是用因式分解把两根直接用参数表示出来，再用勾股定理列出关于 的方程，最后用「边长为正」这个隐含条件取舍． 19．（6 分）如图，抛物线 与 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 轴交于点 C，顶点为 D． （1）求点 A、B、C、D 的坐标； （2）求四边形 ABDC 的面积． 【答案】 （1），，，；（2）四边形 ABDC 的面积为 【解析】 （1）令 ，得 ，即 ． 因式分解得 ，所以 或 ． 因为点 A 在点 B 的左侧，所以 ，． 令 ，得 ，所以 ． 配方得 ，所以 ． （2）把四边形 ABDC 分成 与 两部分． 中，底 ，高是点 C 的纵坐标 ， 所以 ． 的三个顶点是 、、，用割补法：过 D 作铅垂线， 把 看成左右两块，计算可得 ． 所以 ． 【解题提示】求不规则四边形的面积，通用办法是「分割」或「割补」：把四边形沿一条对角线切成两个三角形，或者补成一个矩形再减去多余部分．本题取对角线 BD 或 BC 都能算，但要注意顶点按顺序连线，四边形 ABDC 的边是 AB、BD、DC、CA． 20．（6 分）已知二次函数 的图像经过点 A(1,0)，且对称轴是直线 ． （1）求 、 的值； （2）若点 在该抛物线的图像上，且 ，求 的取值范围． 【答案】 （1），；（2） 【解析】 （1）因为对称轴是直线 ，所以 ，解得 ． 把 代入 ，得 ，解得 ． 所以 ． （2）由 得 ． 因式分解得 ， 因为抛物线开口向上，函数值小于 的部分在两个交点之间， 所以 ． 【解题提示】二次函数与不等式之间的转化要抓住「两根」和「开口方向」：开口向上且两根为 时， 的解集是 ， 的解集是 或 ；开口向下时两个结论正好互换． 21．（7 分）某商店销售一种商品，进价为每件 元，当售价为每件 元时，每天可售出 件．市场调查发现：售价每上涨 元，每天少售出 件．设每件售价上涨 元． （1）用含 的式子表示每天的销售利润 （单位：元）； （2）若每天要获得 元的销售利润，且为了减少库存要使售价尽可能低，则每件售价应定为多少元？ 【答案】 （1）；（2）每件售价应定为 元 【解析】 （1）每件涨价 元后，每件的利润是 （元）， 每天的销售量是 （件）． 所以 ． （2）由题意得 ， 移项整理得 ， 两边同除以 得 ， 因式分解得 ，所以 或 ． 因为要使售价尽可能低（以减少库存），所以取涨价的幅度较小的那个，即 ， 此时售价为 （元）． 答：每件售价应定为 元． 【解题提示】涨价模型的销售量是「原销售量 因涨价而减少的销售量」，与降价模型方向相反，列式时别把符号弄反．题目中的附加条件「减少库存」「让利于顾客」都是要求取较小的涨价幅度，而「提高利润」类的条件往往对应较大的涨价幅度． 22．（7 分）如图，某公园有一个圆形喷水池，水池中心竖直安装了一根水管，水从水管顶端喷出后沿抛物线路径落下．以水面所在直线为 轴、水管所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．已知水柱的最高点离水面 米，此时它离水管的水平距离为 米；水柱的落地点 A 离水管 米． （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管的高度（即水管顶端离水面的距离）． 【答案】 （1）；（2）水管的高度是 米 【解析】 （1）设抛物线的解析式为 ． 因为落地点 在抛物线上，把 、 代入： ，解得 ． 所以水柱所在抛物线的解析式为 （其中 ）． （2）水管在 轴上，所以水管顶端的位置就是抛物线与 轴的交点， 把 代入： ． 答：水管的高度是 米． 【解题提示】抛物线实际应用题的解题路线是固定三步：① 建立坐标系并写出关键点的坐标；② 用顶点式或交点式设出解析式，代入已知点求出待定字母；③ 把实际问题翻译成「求函数值」或「解方程」．本题中水管的高度就是 时的函数值，不要误以为水管高度就是最高点的 米． 23．（7 分）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 、． （1）求 的取值范围； （2）若 、 满足 ，求 的值． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 （1）方程有两个实数根，需要 ． ． 由 解得 ． （2）由根与系数的关系得 ，． ． 代入条件：， 整理得 ，即 ， 解得 ． 检验：，满足第（1）问的范围，符合题意． 【解题提示】含参方程的综合题固定套路是「先求范围、再求值、最后检验」：第（1）问把参数的范围算出来，第（2）问用根与系数的关系把参数算出来，最后一定要回头检查这个参数是否在第（1）问的范围内．把 化成 是这类题的必做动作． 24．（8 分）已知二次函数 ． （1）求该抛物线的顶点坐标，并直接写出当 时 的取值范围； （2）若点 、 都在该抛物线上，且 ，求 的取值范围． 【答案】 （1）顶点坐标为 ，当 时 ；（2） 【解析】 （1）配方得 ，所以顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． 因为 落在区间 内，所以 时 取到最小值 ． 再比较两个端点： 时 ； 时 ． 所以 的最大值是 ． 故当 时，． （2）因为抛物线开口向上，所以点离对称轴越远，函数值越大． 说明点 离对称轴更远， 即 ，也就是 ． 两边平方得 ， 展开得 ， 整理得 ，所以 ． 【解题提示】比较抛物线上两点函数值的大小，用「点到对称轴的距离」比直接代入计算更省事：开口向上时离对称轴越远值越大，开口向下时离对称轴越远值越小．第（2）问中两点横坐标的中点也是判断的好工具，本题两点的中点是 ， 就说明中点落在对称轴 的左侧． 学科网（北京）股份有限公司 $