3.2勾股定理的逆定理课时练习-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

3.2勾股定理的逆定理课时练习-2026-2027学年数学八年级上册苏科版 知识梳理 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 随堂练习 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•连云港期末）下列4组数据中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 2．（2025秋•渠县期末）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．5，12，13 3．（2026•长清区二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 4．（2025秋•如皋市校级期末）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2025秋•蒲城县期末）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝5，AD⊥BC于点D，则CD的长为（　　） A．1.8 B．2 C．2.4 D．3.2 6．（2025秋•梁溪区校级月考）已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（　　） A． B．1 C． D．无法确定 7．（2026秋•金水区校级月考）有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝13，点D是AB上一点，BD＝4，连接CD，若CD＝12，则△BCD的面积为（　　） A．24 B．30 C．48 D．60 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•晋江市期末）在△ABC中，，BC＝3，AC＝2，则∠ACB的度数为________ ． 10．（2025秋•青羊区校级期末）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形最长边上的高为________ ． 11．（2025秋•观山湖区期末）若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为_______ ． 12．（2025秋•台江区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC＝_______ °（点A，B，C是网格线交点）． 13．（2025秋•合肥校级期末）如图，D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠BAD＝2∠DAC，若AB＝5，AD＝3，则BC＝_______ ． 14．（2025秋•东台市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝6，AB＝10，则CD的长为___________________ ． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连结BE，CE2+BC2＝AE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若CE＝ED，求∠A的度数． 16．（2025秋•兴庆区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，，，DA＝1．连接AC． （1）求AC的长度； （2）求∠DAB的度数． 17．（2026春•广州期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝24，AB＝26，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝8，BD＝6． （1）求BC的长． （2）求四边形ABDC的面积． 18．（2025秋•五华县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求点B到AC的距离． 19．（2025秋•鼓楼区期末）已知直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中c为斜边． （1）长分别为3a，3b，3c的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； （2）小明为了证明“长分别为a2，b2，c2的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 假设长分别为a2，b2，c2的三条线段能组成直角三角形，则（a2）2+（b2）2＝（c2）2，又…． 3.2勾股定理的逆定理课时练习-2026-2027学年数学八年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•连云港期末）下列4组数据中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【解答】解：根据勾股数定义逐项分析判断如下： A．12+22≠32，因此不是勾股数，不合题意； B．22+32≠42，因此不是勾股数，不合题意； C．32+42＝52，因此是勾股数，符合题意； D．42+52≠62，因此不是勾股数，不合题意； 故选：C． 2．（2025秋•渠县期末）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．5，12，13 【解答】解：∵22+32≠42，（），42+62≠92，52+122＝132， ∴选项D中数据能作为直角三角形的三边长， 故选：D． 3．（2026•长清区二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 【解答】解：根据题意得，CP2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，BP2＝12+32＝10，CP＞0，BP＞0， ∴CP2+BC2＝BP2，CP＝BC， ∴△BCP是直角三角形，∠C＝90°， ∴∠CPB＝∠CBP＝45°， ∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA， ∴∠PAB+∠PBA＝45°， 故选：A． 4．（2025秋•如皋市校级期末）如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：连接AB，AD，AC，BD，BC，CD， 由勾股定理可得，AB2＝1+22＝5，BD2＝1+22＝5，AD2＝1+32＝10，AC2＝42+22＝20，CD2＝1+32＝10，BC2＝52＝25， ∵5+5＝10，即AB2+BD2＝AD2＝10， ∴△ABD为直角三角形； ∵10+10＝20，即AD2+CD2＝AC2＝20， ∴△ACD为直角三角形； ∵5+20＝25，AB2+AC2＝BC2＝25， ∴△ABC为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 5．（2025秋•蒲城县期末）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝5，AD⊥BC于点D，则CD的长为（　　） A．1.8 B．2 C．2.4 D．3.2 【解答】解：∵AC＝3，AB＝4，BC＝5， ∴根据勾股定理得，AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴AD是BC边上的高， ∵， ∴， 在Rt△ADC中，， 则CD的长为1.8， 故选：A． 6．（2025秋•梁溪区校级月考）已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（　　） A． B．1 C． D．无法确定 【解答】解：∵22+（）2＝9＝32， ∴该三角形是直角三角形，且斜边长为3， ∴该三角形最长边上的中线长为， 故选：C． 7．（2026秋•金水区校级月考）有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、72+202≠252，202+152≠242，故A不正确； B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确； C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确； D、72+202≠252，152+242≠252，故D不正确； 故选：C． 8．（2025秋•渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝13，点D是AB上一点，BD＝4，连接CD，若CD＝12，则△BCD的面积为（　　） A．24 B．30 C．48 D．60 【解答】解：∵AB＝9，BD＝4， ∴AD＝AB﹣BD＝9﹣4＝5， ∵AC＝13，CD＝12，AD＝5，AC2＝132＝169，CD2＝122＝144，AD2＝52＝25， ∴AD2+CD2＝144+25＝169＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝12， ∴S△BCD， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•晋江市期末）在△ABC中，，BC＝3，AC＝2，则∠ACB的度数为　90°　 ． 【解答】解：∵，BC＝3，AC＝2， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 故答案为：90°． 10．（2025秋•青羊区校级期末）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形最长边上的高为　4.8　 ． 【解答】解：∵62+82＝100＝102， ∴该三角形为直角三角形，直角边长为6、8，斜边长为10， 设这个三角形最长边上的高为h， 依题意得，， 解得，h＝4.8， 故答案为：4.8． 11．（2025秋•观山湖区期末）若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为　24　 ． 【解答】解：设此三角形为△ABC，且AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴△ACB的面积是， 故答案为：24． 12．（2025秋•台江区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC＝　45　 °（点A，B，C是网格线交点）． 【解答】解：取格点D，连接AD，则AD2＝5，AB2＝5，BD2＝10， ∴AD＝AB，AD2+AB2＝BD2， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 故答案为：45． 13．（2025秋•合肥校级期末）如图，D为△ABC内一点，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠BAD＝2∠DAC，若AB＝5，AD＝3，则BC＝　11　 ． 【解答】解：延长AD交BC于点E，如图， ∵BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°， 在△ABD和△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD（ASA）， ∵AB＝5，AD＝3， ∴∠BAD＝∠BED（全等三角形对应角相等），BA＝BE＝5，AD＝ED＝3（全等三角形对应边相等）， ∴AE＝6， ∵∠BAD＝2∠DAC，∠BED＝∠DAC+∠C， ∴∠CAD＝∠C， ∴EC＝EA＝6， ∴BC＝BE+EC＝5+6＝11． 故答案为：11． 14．（2025秋•东台市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝6，AB＝10，则CD的长为　　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10， 由勾股定理得：， ∵CD⊥AB， ∴， ∴6×8＝10CD， 解得：； 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 15．（2025秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连结BE，CE2+BC2＝AE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若CE＝ED，求∠A的度数． 【解答】（1）证明：∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵DE⊥AB， ∴AE＝BE， ∵CE2+BC2＝AE2， ∴CE2+BC2＝BE2． ∴∠C＝90°； （2）解：∵DE⊥AB，∠C＝90°，CE＝ED， ∴BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE， ∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A， ∴∠ABC＝2∠A， ∴∠A+∠ABC＝∠A+2∠A＝90°， ∴∠A＝30°． 16．（2025秋•兴庆区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，，，DA＝1．连接AC． （1）求AC的长度； （2）求∠DAB的度数． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，， ∴， 则AC的长度为2； （2）∵，DA＝1， ∵AC＝2， ∴根据勾股定理，DA2+AC2＝DC2， ∴△DAC为直角三角形，即∠DAC＝90°， ∵∠B＝90°，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∴∠DAB＝90°+45°＝135°． 17．（2026春•广州期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝24，AB＝26，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝8，BD＝6． （1）求BC的长． （2）求四边形ABDC的面积． 【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，AC＝24，AB＝26， ∴， （2）∵CD＝8，BD＝6， ∴CD2+BD2＝82+62＝100， 又∵BC2＝102＝100， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形． ∴． 18．（2025秋•五华县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求点B到AC的距离． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： 由网格的特点和勾股定理可知，， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）设点B到AC的距离为h， 由网格的特点和勾股定理可知， ∵， ∴，即， ∴， ∴点B到AC的距离为． 19．（2025秋•鼓楼区期末）已知直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中c为斜边． （1）长分别为3a，3b，3c的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； （2）小明为了证明“长分别为a2，b2，c2的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 假设长分别为a2，b2，c2的三条线段能组成直角三角形，则（a2）2+（b2）2＝（c2）2，又…． 【解答】解：∵a，b，c分别是直角三角形的三边长（假设c是斜边）， ∴a2+b2＝c2， （1）能， ∵a2+b2＝c2， ∴9a2+9b2＝9c2， 即（3a）2+（3b）2＝（3c）2， ∴长为3a，3b，3c的三条线段能组成直角三角形； （2）假设长分别为a2，b2，c2的三条线段能组成直角三角形，则（a2）2+（b2）2＝（c2）2，即a4+b4＝c4， 又∵a2+b2＝c2， （a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4＝c4， ∵a＞0，b＞0， ∴2a2b2＞0， ∴a4+b4＜a4+2a2b2+b4，即a4+b4＜c4， 这与假设的a4+b4＝c4矛盾， ∴长分别为a2，b2，c2的三条线段不能组成一个直角三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $