第3章勾股定理3.2勾股定理的逆定理同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

3.2勾股定理的逆定理（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。 说明：为三角形最长边。 二、定理与逆定理对比 勾股定理：直角三角形 → 三边满足（由形得数） 勾股定理逆定理：三边满足 → 直角三角形（由数得形） 三、拓展判断三角形形状 设是三角形最长边： 1. ⇒ 直角三角形 2. ⇒ 锐角三角形 3. ⇒ 钝角三角形 四、勾股数 满足的三个正整数称为勾股数。 一组勾股数同时乘以同一个正整数，得到的数仍是勾股数。 五、逆定理解题步骤 1. 找出三边中最长边 2. 计算较短两边平方和、最长边的平方 3. 比较两者是否相等，判断是否为直角三角形 六、常见题型 1. 给定三边长，判断三角形是否为直角三角形 2. 网格中判断直角三角形 3. 结合勾股定理解决实际几何证明、面积计算 同步练习 一、单选题 1．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）以下各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．6，7，8 C．2，3，4 D． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 4．（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）的三边长a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 5．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 6．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 9．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示的是某同学自己探究勾股数的过程，观察图中每列数的规律可知，的值为（    ） A．47 B．62 C．79 D．98 二、填空题 11．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，则的面积为______． 12．（25-26七年级上·全国·期中）下面各组数中，是勾股数的是_____（填序号）． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 13．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 14．（25-26八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则的度数为______． 15．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 16．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为___． 17．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，以为边分别向外作正方形，记正方形的面积分别为，其中，，则的度数为________． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为______． 20．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，点是以为斜边的等腰内一点，若，则的面积为_____． 三、解答题 21．（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？ (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 23．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 24．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 25．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是上的高，平分，已知，，． (1)求证：是直角三角形． (2)求的长． 26．（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）按要求完成以下问题 (1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． (2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 试卷第6页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D C B D C D C 1．B 【详解】解：分两种情况讨论： 当为斜边长时，，解得， ∵为正整数， ∴； 当为斜边长时，，解得， 此时不是正整数，不符合勾股数要求，舍去． 综上所述，a的值为5． 2．A 【详解】解：A、，能构成直角三角形， B、，，，不能构成直角三角形， C、，，不能构成直角三角形， D、，，，不能构成直角三角形． 3．B 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 4．D 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 5．C 【详解】解：∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形． 6．B 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 7．D 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 8．C 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 9．D 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 10．C 【详解】解：观察图可知： ； ； ；… 设为正整数且， 当时，， ，所以． 11．24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 12．（1）（2） 【详解】（1）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （2）三个数均为正整数，且，该组数为勾股数； （3）三个数均为正整数，但，该组数不是勾股数； （4）三个数不是正整数，该组数不是勾股数． 故答案为：（1）（2）． 13． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 14． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴ 15． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 16．30 【详解】解：，，，且， ，，， 解得，，． ，， ， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， 的面积为． 17．不能 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 18．/90度 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 19． 【详解】解：连接． ， ，， ， ，即， 在中，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 20． 【详解】解：如图：将绕点C顺时针旋转得到， ∴ ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 在中，，，，， ， ∴为直角三角形，； ∴， ∴， ， ∴点共线， ∴为直角三角形， ∴的面积 ． 21．(1)是直角三角形，边所对的角是直角 (2)是直角三角形，边所对的角是直角 (3)不是直角三角形 (4)是直角三角形，边所对的角是直角 【详解】（1）解：∵ ，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （2）解：∵，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角； （3）解：∵，最长边为和（长度均为）， 又，， ∴， ∴最长边所对的角不是直角，该三角形不是直角三角形； （4）解：设三边长的每份长度为（），则，，，最长边为， 又，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角． 22．解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 23．(1)； (2)是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∴ 5， ∵， ∴是直角三角形，且． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴AD； （2）是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∴ 5， ∵， ∴是直角三角形，且． 24．(1)20米； (2)246平方米． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 25．(1)证明：是上的高， ． 在中，， 在中，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）如图，过点作于点． 平分，由（1）得， ， ， ， ， ． 26．(1)150 (2) (3) 【详解】（1）解：把绕顶点旋转到处，连接，此时， ∴，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，； 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴四点共线， ∴， 在中，， ∴； （3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． $