3.2 勾股定理的逆定理 基础练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理，通过课堂与课后三级分层设计，实现从概念理解到综合应用的梯度巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |课堂练习|逆定理判定、勾股数概念|以选择、填空为主，如直角三角形判定辨析，夯实基础认知| |基础练习|勾股数应用、实际问题|结合秦九韶沙田面积等情境题，强化模型意识与运算能力| |进阶/拓展练习|综合几何证明、规律探究|通过正方形网格角度计算、罗士琳法则勾股数规律，发展空间观念与创新意识|

3.2勾股定理的逆定理 知识梳理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,C,且 那么这个三角形是直角三角形 2.如果三个正整数a,b,C满足关系 那么称a,b,C为勾股数 课堂练习 1.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是() A.a2=1,b2=2,c2=3B.a:b:c=3:4:5 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 2.如图，若小正方形的边长为1，则△ABC的形状是 (填“直角三 角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”) 1/10 3.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c.若a2=b2-c2, 则△ABC是 三角形，其中∠ 是直角 4.已知a,b,c分别是△ABC的∠A,∠B,∠C的对边长，记 tg+,其中k为整数 cc (I)若△ABC为等边三角形，则t的值为 (2)若k=2,t=1,则∠C的度数为 5.在△ABC中，AB=20,AC=12,BC=16,D是边AB的中点，连接CD, 则CD的长为 6.如图，在四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24, ∠B=90° (I)求证：CD⊥AD: 2/10 (②)四边形ABCD的面积为 课后练习 一、基础练习 1下列各组数据均为三条线段的长，其中，不能构成直角三角形的一组是 () A.0.3,0.4,0.5B. 6,号 2 C.12,16,20 D.9,11,17 2我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目： 有一块三角形沙田，三条边的长分别为5里、12里、13里，这块沙田的面积有 多大？其中，1里=500米，则该沙田的面积为() A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米 3/10 3在下列横线上填上一个数，使各组中的三个数成为勾股数 (1)6, ,10: (2)7,24, (3)8,,17: (4) ,40,41. 4若三角形的三边长分别为3,4,5，则最长边上的中线长为 5若一个三角形三边的长分别为15cm,20cm,25cm,则这个三角形最长 边上的高为 cm. 6已知△ABC的三边长分别为a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中，m, n是正整数，且m>n求证：△ABC是直角三角形. 7如图，AD为△ABC的中线，且AC=13,BC=10,AD=12,求△ABD的 周长 4/10 B 二、进阶练习 8在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别是a,b,C,下列条件不能 判断△ABC为直角三角形的是(） A.a+b>cB.c2=b2-dC.c-allc+a=b2D.∠A=∠B-∠C 9如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点 A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上，线段AB,CD交于点F若 ∠CFB=a:则∠ABE的度数为（) A.180°-B.180°-2aC.90°+aD.90°+2a 5/10 10如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线， DE交AB于点D,连接CD,则CD的长为 11清代数学家罗士琳致力于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士 琳法则”，法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学 在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12， 13;③7,24,25；④9,40,41：….根据上述规律，第⑤组勾股数为 12如图，在四边形ABCD中， AB=3,AD=4,BC=13,CD=12,∠A=90,求四边形ABCD的面积. C 6/10 三、拓展练习 13如图，P是等边三角形ABC内的一点，PA=6,PB=8,PC=10.若P是 △ABC外的一点，且△PAB=△PAC:求点p与点p之间的距离及∠APB的度 数 答案 知识梳理 1.a2+b2=c2 2.a2+b2=c2 课堂练习 1.D 2.直角三角形 7/10 3直角 4.(1)2 (2)90 5.10 6.(1)连接 AC.∠B=90°，∴.AC2=AB2+BC2=400+225=625..AD2+CD2=24+7=625,∴.AD2+CD 是直角三角形，且∠D=90°，∴.CD⊥AD (2)234 解析： S题eam=5am+5 BA-AB-BC+-号AD-CD=×20×15+×24×7=234 课后练习 1.D 2.A 3.(1)8 (2)25 (3)15 (4)9 4号 5.12 6. .a2=m2-n2=m4-2m2n2+n4,b2=2mn2=4m2n2,c2=m2+n2=m4+2m2n2+n4,.a2+b2=m4+ 是直角三角形 8/10 7.解法一：.AD为△ABC的中线，BC=10,∴.BD=CD=5 .AC=13,AD=12,∴.AD+CD=12+52=169,AC2=132=169,.AD2+CD=AC2,.∠ 在Rt△ADB中，AD2+BD=AB,即 122+5=AB,AB=169,AB=13,△ABD的周长为5+12+13=30 解法二：同解法一，得∠ADC=90°.∴.AD垂直平分 BC,.AB=AC=13,.△ABD的周长为5+12+13=30 8.A 9.C 解析：如图，过点B作BG/ICD,连接EG.由BG//CD,得 ∠ABG=∠CFB=a根据勾股定理，得BG2=17,BE2=17,EG2=34?则 BG2+BE=EG,∴.∠GBE=90°，.∠ABE=∠GBE+∠ABG=90+a 10.5 11.11,60,61 解析：通过观察，根据前4组勾股数的规律，可设第⑤组勾股数为 9/10 11,x,x+1,由112+X2=x+1,得x=60,因此第⑤组勾股数为11,60,61. 12.连接 BD..∠A=90°，.AB2+AD2=BD2..AB=3,AD=4,∴.BD2=3+4=25,.BD=5..BD 13.如图，连接 PP..△PAB≈△PAC,∴.∠BAP=∠CAP,AP=AP=6,PB=PC=10..△ABC 是等边三角形， ∴.∠BAC=∠CAP+∠PAB=60°，∴.∠PAP=∠BAP+∠PAB=60°，∴.△PAP 是等边三角形，AP=AP=PP=6,∠APP=60°，∴点P与点P之间的距离 为6. .PP2+PB=62+82=100,PB2=102=100,∴.PP2+PB=PB,∴.∠PPB=90°，.∠APB= 10/10