上海市宝山区上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024~2025学年上海市交通大学附属中学高一上学期12月检测卷 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具。 2. 考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。 3. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 4. 全卷除附加题满分150分，附加题5分，正确得分，不正确不扣分，总分累计不超过150分 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 设，方程的解集为 2. 我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过_____天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍。 3. 已知函数是偶函数，定义域为，则 4. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Tn，若a4a8=2a10，则T3的最小值为_________ 5. 幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的取值集合为 . 6. 已知在R上满足，则实数的取值范围为________ 7. 已知为实数  ，  ，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为 8. 已知a＞0， 函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 9. 已知等差数列{an}的前n项和为Tn=2n2+7n，则关于n的不等式：an2-(2an+1-1) an-2an+1＞0的解集为_______ 10. 已知，若对任意的xR，恒成立，则实数的取值范围是 11. 对于任意实数表示不超过的最大整数，如，若，则A中所有元素之和为 . 12. 若对于x, yR，f(x+y)=f(x)+f(y)，令g(x)=ln(x+)+f(x)-1，则g(x)在[-2024,2024]上的最大值和最小值之和为________ 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 命题P：“的是命题Q：的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14. 已知 ，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①a,b,c,d至少有一个不小于1 ②a,b,c,d至少有一个不大于1 ③a+b+c+d≥4恒成立 ④a+b+c+d≤4恒成立 A．1 B．2 C．3 D．4 15. 设数列{an}的前n项和为Tn，若对于任意正整数n，均满足：an+1=3Tn，则数列{an}（ ） A．一定为等比数列 B．一定为等差数列 C．可能为等比数列，不可能是等差数列 D．可能是等差数列，不可能是等比数列 16. 新定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B={x|2x2-17x+21＜0}，则A∩B的子集个数为（       ） A．8 B．16 C．32 D．64 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知函数． （1）请直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： （2）设常数t满足，求函数在区间上的最小值： （3）设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 18. 已知为正项数列的前n项和，且，当时，. （1）证明为等差数列，并求的通项公式； （2）若，求：数列的前项和. 19. 某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A、B两种产品的利润f(x)、g(x)表示为投资额x的函数； （2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，求：生产A、B两种产品能获得最大利润 20. 已知函数 （1）当时，解不等式：； （2）当时，不等式在上恒成立，求：实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． （1）试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； （2）若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； （3）若是上的“含峰函数”，求的取值范围． [附加题]若存在tR，对任意x[0,m]，不等式[(x-1)2-t](x-t)≤0恒成立，则实数m的取值范围为_______ 参考答案及评分标准 填空题（1~12题） 1. 2. 230 3. 4．6 5．{0，2，4，2＋或2} 6． [) 7．{0,1} 8． (0,]∪{2} 9． {1} 10．[，﹢∞) 11． 28 12． -2 （提示：f(x)为奇函数，g(x)对称中心为（0，-1）） 选择题（13~16题） 13．C 14．B 15．D 16．C 提示：所有一位正整数都是自恋数 解答题（17~21题） 17. （1）在(-1,1]上单调增，在[1,3]上单调减（4分） （2）当0＜t＜1时，最小值为t2-2t+2 （2分） 当1≤t≤3时，最小值为1 （2分） （3）k∈（-∞，） （6分） 18．（1）证略，提示：两边同除以n（n-1） an=n3 （7分） （2）Tn=（7分） 19．（1）f(x)=x g(x)= （7分） （2） 4.0625万元（7分） 20．（1）x＜2（4分） （2）m∈（-∞，8）（6分） （3）不存在，提示：由图像可观察得最大值在端点产生，联立不等式与等式解集为∅（8分） 21．（1）是，峰点为2（4分） （2）[-4,0）（7分） （3）t（3，12） （7分） [附加题] （0，] 学科网（北京）股份有限公司 $$