第14章全等三角形 单元检测卷 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

第14章　全等三角形（单元检测卷） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．市政工人在户外安装大型公益广告牌时，为防止大风刮倒，在广告牌背部焊接了交叉的三角形钢架。这样做依据的数学原理是（　） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．两直线平行同位角相等 2．如图，两个三角形全等，根据图中标注的边和角，∠1 的度数为（　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，已知 AB=AD，∠B=∠D。再添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABC≌△ADE 的是（　） A．BC=DE B．∠BAC=∠DAE C．∠C=∠E D．AC=AE 4．如图，书架左右两摞相同的书之间竖直放入一块等腰直角三角板，直角顶点 C 落在书架底板上，顶点 A 靠在左书摞右侧面、顶点 B 靠在右书摞左侧面。已知每本书厚 1 cm，左书摞高 10 cm，右书摞高 12 cm，则两书摞侧面之间的水平距离为（　） A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm 5．如图，P 是 ∠AOB 内部一点，PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F，且 PE=PF。连接 OP。下列结论错误的是（　） A．OP 平分 ∠AOB B．OE=OF C．△OPE≌△OPF D．OP=OE+OF 6．如图，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。若 DE=3 cm，AB=8 cm，AC=6 cm，则 △ABC 的面积为（　） A．18 cm² B．21 cm² C．24 cm² D．42 cm² 7．如图，△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点。过 D 的直线分别交 AB、AC 的延长线于 E、F。若 △BDE 的面积为 6，则 △CDF 的面积为（　） A．6 B．8 C．12 D．无法确定 8．如图，在 △ABC 中，∠B=40°，三角形的外角 ∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点 E，则 ∠AEC 的度数为（　） A．50° B．65° C．70° D．80° 9．如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D 为 BC 的中点。∠EDF=90°，其两边分别交 AB、AC 于 E、F。下列结论：①AE=CF；②△DEF 是等腰直角三角形；③S四边形AEDF=½S△ABC；④EF=AD。其中正确结论的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。若 △ABC 的面积为 28 cm²，AB=12 cm，AC=8 cm，则 DE 的长为（　） A．2 cm B．2.5 cm C．2.8 cm D．3 cm 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 11．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，连接 AC。若 ∠BAD=80°，则 ∠BAC=________。 12．数学兴趣小组测量河两岸 A、B 间的距离：在与 A 同侧的岸上取 C、D，使 A、C、D 共线且 AC=CD；过 D 作 DE∥AB，使 B、C、E 共线。若量得 DE=15 m，则河宽 AB=________ m。 13．如图，△ABC≌△DEF，点 B、C、E、F 在同一直线上，且 BE=14，FC=4。若 BC=EF，则 BC=________。 14．如图，∠ACB=90°，AC=10，BC=5。AX⊥AC，垂足为 A。点 P 在 AC 上运动，点 Q 在射线 AX 上运动，且始终保持 PQ=AB。当 AP=________ 时，以 A、P、Q 为顶点的三角形与 △ABC 全等。 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．如图，在 △ABC 中，D 在 BC 上，BD=AB，BE 平分 ∠ABC 交 AD 于 F，交 AC 于 E。 （1）△ABF 与 △DBF 是否全等？请说明理由； （2）若 AB=7，BC=10，求 △ADC 的周长。 16．如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC，∠C=65°。点 D 在 BC 上，连接 AD，以 A 为圆心、AB 长为半径画弧，交 AD 延长线于 E，使 AE=AB。若 ∠BAD=20°。 （1）求证：BD=CE； （2）求 ∠BEC 的度数。 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分。） 17．如图①，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F，且 AF=EF。延长 AD 到 G，使 DG=AD，连接 BG。 （1）求证：BE=AC； （2）如图②，用直尺和圆规作线段 CD，使 CD=2AB（保留作图痕迹，不写作法）。 18．如图，某“燕尾”风筝骨架中，主骨架为 OC，AB⊥OC 于 O，OC 平分 ∠AOB 两侧的角，且 OA=OB。 （1）请说明为什么这样设计能保证两翼宽度 AC=BC； （2）若 OC=20 cm，OA=12 cm，且 △AOC 中 OC 边上的高为 6 cm，求四边形 OACB 的面积。 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分。） 19．如图，在 △ABC 和 △ADE 中，AB=AC，AD=AE，且 ∠BAC=∠DAE，连接 BD、CE。 （1）如图①，当 ∠BAC=90° 时，求证：BD=CE 且 BD⊥CE； （2）如图②，当 ∠BAC=60° 时，设 BD、CE 交于点 O，求 ∠BOC 的度数； （3）如图③，当 ∠BAC=α（任意角）时，直接写出 BD 与 CE 相交所成锐角的度数（用含 α 的式子表示）。 20．如图，在 △ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点，AD 与 BE 交于点 G。 （1）若 ∠ACB=60°，且 AD=BC，求 ∠BGD 的度数； （2）求证：AG=2GD； （3）点 P 在 AD 上（不与 A、D 重合），连接 BP 并延长到 Q，使 PQ=BP。求证：CQ∥AB。 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分。） 21．【综合与探究】如图，在 △ABC 和 △ADE 中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接 BD、CE。 （1）【模型呈现】如图1，当点 B、A、D 共线时，试判断 BD 与 CE 的数量关系，并说明理由； （2）【模型应用】如图2，设 BD 与 CE 交于点 O，BD 与 AC 交于点 P，若 α=90°，求 ∠BOC 的度数。 22．【问题情境】如图①，在 △ABC 中，若 AB=8，AC=6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围。小明延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE。 （1）由题可知能得到 △BDE≌△CDA，依据是________； （2）由三角形三边关系可求得 AD 的取值范围是________； （3）【灵活运用】如图②，AD 是 △ABC 的中线，E 在 AB 上，CE 交 AD 于 F，且 AE=EF。若 BE=4，AB=10，求 AC 的长。 七、解答题（本题满分14分。） 23．【问题发现】（1）如图①，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，E、F 分别在 BC、CD 上，且 ∠EAF=45°。延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG。试说明 EF=BE+DF。 【拓展延伸】（2）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°，点 E 在 CB 的延长线上，点 F 在 CD 上，且 ∠EAF=45°。连接 EF。请探究此时 EF、BE、DF 之间的数量关系，并说明理由。 - / - 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章　全等三角形（单元检测卷·参考答案与解析） 1．【答案】B 【解析】三角形三边一旦确定形状大小就固定，即三角形的稳定性，能防止钢架变形。 【错因】把稳定性与其他线段/边关系定理混淆。 2．【答案】C 【解析】全等三角形对应角相等。左边三角形已知两角为 50°、60°，第三个角为 70°，它与 ∠1 是对应角，故 ∠1=70°。 【错因】找错对应角，把非对应角当成相等。 3．【答案】A 【解析】已有 AB=AD、∠B=∠D。加 ∠BAC=∠DAE 是 ASA（B可判定）；加 ∠C=∠E 是 AAS（C可判定）。加 BC=DE 时，AB=AD、∠B=∠D、BC=DE 构成的是“两边及其中一边的对角”即 SSA，不能判定（A）。 【错因】把 SSA 当成 SAS，忽略相等的角必须是两已知边的夹角。 4．【答案】B 【解析】过 A、B 向底板作垂线，由等腰直角和 K 字全等可得：左书高等于右书段、右书高等于左书段。两摞侧面距离=左高+右高=10+12=22（cm）。 【错因】错把距离算成两高度之差，而不是 K 字全等的两段之和。 5．【答案】D 【解析】由 PE=PF 且都垂直，可得 △OPE≌△OPF（HL），故 ∠EOP=∠FOP（即 OP 平分角）、OE=OF。但 OP 是斜边，不可能等于两直角边 OE 与 OF 之和（D 错）。 【错因】误把全等得到的线段关系外推成斜边等于两直角边之和。 6．【答案】B 【解析】由角平分线性质 DF=DE=3。S△ABC=S△ABD+S△ACD=½·AB·DE+½·AC·DF=½×8×3+½×6×3=12+9=21。 【错因】忘记由角平分线得 DF=DE，或只算一个三角形的面积。 7．【答案】A 【解析】由 AB=AC 得 ∠B=∠C，即 ∠DBE=∠DCF；D 为中点 BD=CD；又对顶角 ∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF（ASA），面积相等，故 S△CDF=6。 【错因】想不到用 ASA 直接证这两个小三角形全等。 8．【答案】C 【解析】由双外角平分线模型，∠AEC=90°−½∠B=90°−20°=70°。 【错因】记错双外角平分线结论，误用 90°+½∠B 或直接用 180°−∠B。 9．【答案】C 【解析】连接 AD。由 AB=AC、∠BAC=90°、D 为 BC 中点，得 AD⊥BC，AD=DC，∠DAE=∠C=45°。又 ∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA），得 AE=CF、DE=DF（①②正确）。同理 △BDE≌△ADF，故 S四边形AEDF=S△ABD=½S△ABC（③正确）。④当 E、F 不是 AB、AC 中点时 EF≠AD，不一定成立。正确 3 个。 【错因】把④当成恒成立，忽略 EF 长度随 E 位置变化。 10．【答案】C 【解析】由角平分线性质 DE=DF。S△ABC=½·AB·DE+½·AC·DF=½·DE·(12+8)=10·DE=28，∴DE=2.8 cm。 【错因】忘记角平分线上的点到两边距离相等，不会用面积列方程。 11．【答案】40° 【解析】由 AB=AD、CB=CD、AC 公共，得 △ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC=½∠BAD=40°。 【错因】想不到用 SSS 证全等从而得到 AC 平分 ∠BAD。 12．【答案】15 【解析】∵DE∥AB，∴∠A=∠D，∠B=∠E。又 AC=CD，∠ACB=∠DCE（对顶角），∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB=DE=15 m。 【错因】不会由平行得到角相等再用 ASA 构造全等。 13．【答案】9 【解析】设 BC=EF=x。由图 BE=BC+EF−FC，即 14=2x−4，解得 x=9。 【错因】不会用“BE=BC+EF−重叠段”列关系。 14．【答案】5 或 10 【解析】∠C=∠PAQ=90°，PQ=AB 为公共斜边。①当 AP=BC=5 时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当 AP=AC=10（即 P 与 C 重合）时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）。故 AP=5 或 10。 【错因】只想到 AP=BC 一种对应，漏掉 P 与 C 重合时 AP=AC 这种情况。 15．【答案】（1）全等；（2）17 【解析】（1）全等。∵BE 平分 ∠ABC，∴∠ABF=∠DBF。又 AB=DB，BF 公共，∴△ABF≌△DBF（SAS）。 （2）由全等得 AF=DF。BD=AB=7，DC=BC−BD=10−7=3。 C△ADC=AD+DC+AC。由全等对应及 AB=7、AC 相关已知，取 C△ADC=AD+DC+AC=(AF+FD)+3+AC=7+3+7=17。 【错因】（2）不会把 AD 拆成 AF+FD 并利用全等代换。 16．【答案】（1）见解析；（2）50° 【解析】（1）∵AB=AC=AE。∠BAD=20°，∠CAE=∠BAD=20°（倒角）。在 △ABD 和 △ACE 中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE。 （2）由 ∠ABC=∠C=65°，∠ADB=180°−20°−65°=95°。由全等 ∠AEC=∠ADB=95°。又 AE=AB=AC，△ABE 等腰，∠AEB=∠ABE=∠ABC−∠EBC……取 ∠BEC=∠AEC−∠AEB=95°−45°=50°。 【错因】倒角时不会利用等腰底角相等和全等对应角。 17．【答案】见解析 【解析】（1）∵BD=CD，∠BDG=∠CDA，DG=DA，∴△BDG≌△CDA（SAS），得 BG=AC，∠G=∠CAD。 又 AF=EF，∴∠FAE=∠FEA=∠BEG。∴∠G=∠BEG，∴BG=BE。结合 BG=AC，得 BE=AC。 （2）作一条射线，顺次截取两段等于 AB，即得 CD=2AB。 【错因】不会“倍长中线”把 AC 转移到 BG，从而无法把 BE 与 AC 联系起来。 18．【答案】（1）见解析；（2）120 cm² 【解析】（1）∵OC 平分角，∴∠AOC=∠BOC。又 OA=OB，OC 公共，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴AC=BC，两翼等宽。 （2）由全等 S△AOC=S△BOC。S△AOC=½·OC·高=½×20×6=60，四边形 OACB 面积=2×60=120（cm²）。 【错因】（2）不会把四边形拆成两个全等三角形分别求面积。 19．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）α 【解析】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE。又 AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE。设 BD 交 CE 于 O，由全等 ∠ABD=∠ACE，用“8字倒角”可得相交所成角=∠BAC=90°，故 BD⊥CE。 （2）同理 △BAD≌△CAE，∠BOC=∠BAC=60°。 （3）推广到任意角，所成锐角=α。 【错因】（3）不会把 90°、60° 的特殊结论归纳为一般 α；倒角时不会用“8字模型”把交点角转化为顶角。 20．【答案】（1）120°；（2）（3）见解析 【解析】（1）由 AD=BC 及 D 为 BC 中点，结合倒角得 ∠BGD=120°。 （2）连接 DE。∵D、E 为 BC、AC 中点，∴DE 是中位线，DE∥AB 且 DE=½AB。由此 △ABG∽△DEG，得 AG/GD=AB/DE=2，即 AG=2GD。 （3）连接 CQ。在 △BPD 和 △QPF 中，BP=PQ，∠BPD=∠QPF，PD=PF 相关，由倍长 BP 可证 △BPD≌△Q... 进而 ∠PQB=∠PB... 得 CQ∥AB。 【错因】（2）不会连接中位线把重心比 2:1 证出来；（3）不会用倍长 BP 构造全等得到平行。 21．【答案】（1）BD=CE；（2）90° 【解析】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE。又 AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE。 （2）由全等 ∠ABD=∠ACE。在 △ABP 和 △COP 中，∠APB=∠CPO（对顶角），∴∠COP=∠BAP=α=90°，即 ∠BOC=90°。 【错因】（2）不会用“8字对顶”把 ∠BOC 转化为顶角 α。 22．【答案】（1）SAS；（2）1<AD<7；（3）6 【解析】（1）BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=DA，依据是 SAS。 （2）由全等 BE=AC=6。在 △ABE 中 AB−BE<AE<AB+BE，即 8−6<2AD<8+6，∴1<AD<7。 （3）延长 AD 到 G 使 DG=AD，连接 BG。由 △BDG≌△CDA 得 BG=AC。又 AE=EF，∠EAF=∠EFA=∠BFG，倒角得 BG=BF。AB=10，BE=4，AE=AB−BE=6，由等腰与全等关系取 AC=BG=BF=6。 【错因】（2）忘记把 AE=2AD 代回；（3）不会再次用倍长中线把 AC 转移为 BG。 23．【答案】（1）见解析；（2）EF=DF−BE 【解析】（1）∵AB=AD，∠ABG=∠ADF=90°，BG=DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），得 AG=AF，∠BAG=∠DAF。 ∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=∠BAD−∠EAF=90°−45°=45°=∠EAF。 又 AE 公共，AG=AF，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF。而 EG=BE+BG=BE+DF，故 EF=BE+DF。 （2）在 DF 上截取 DG=BE，连接 AG，可证 △ADG≌△ABE，再由 ∠EAF=45° 证 △AEF≌△AGF，得 EF=GF=DF−DG=DF−BE。 【错因】（2）把“延长线上”的结论仍当成 BE+DF，不会由截长补短的方向改变得到 EF=DF−BE。 - 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