第14章 全等三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 全等三角形单元提升卷，覆盖全等判定、性质及应用，通过基础巩固与综合探究，培养几何直观、推理能力，适配单元复习培优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|全等图形识别、判定条件、角平分线性质|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|4/20|面积计算、平移性质、最短路径|情境化设计（如路线距离）| |解答题|9/90|尺规作图、模型应用（K型全等）、实际测量（阁楼高度）、坐标系综合|综合探究性强，融入智能闸机等现实情境，体现模型意识与应用能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章全等三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 5 6 > 8 10 B C D C 分 A B C B C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.12.5 12.9(答案不唯一) 13.48 14.12 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】(1)证明：BC‖DE, .∠ACB=∠D 在△ABC和△ECD中， ∠ACB=∠D ∠BAC=∠E BC=CD ∴.△ABC≌△ECD AAS. (2)8 【详解】(1)略， (2)解：由(1)已证：△ABC≌△ECD, .CD=BC,AC=DE, .DE=5,BC=13. .AC=5,CD=13, .AD=CD-AC=13-5=8 16.【答案】(1) 解：如图，点M即为所求： 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (2)45° 【详解】（1)略 (2)解：.△AMC≌△ADC,∠D=90°， ∴.∠AMC=∠D=90°」 .∴.∠MAC+∠MCA=90°. .∠B=45°， ∴.∠BAC+∠BCA=180°-45°=135° ∴.∠BAM+∠BCM=∠BAC+∠BCA-∠MAC+∠MCA=45°. 17.【答案】(1)证明：在△ADE和△ABC中， ∠D=∠B ∠A=∠A AE-AC ∴.△ADE≌△ABCAAS (2)方法一：如图，连接BD,得到△BCD≌△DEB, 证明：，△ADE≌△ABC, ..AB=AD,BC=DE, 又，AE=AC, ∴.AB-AE=AD-AC,即BE=CD, 在△BCD和△DEB中， CD=BE BC=DE BD=DB 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BCD≌△DEB(SSS: 方法二：如图，连接EC,得到△BEC≌△DCE, ,△ADE≌△ABC, ..AB=AD,BC=DE. 又，AE=AC, ∴.AB-AE=AD-AC,即BE=CD, 在△BEC和△DCE中， b, ∴.△BEC≌△DCE SAS 【详解】(1)略 (2)略 18.【答案】(1)证明：，AF=DC, ∴.AF-CF=DC-CF, 即AC=DF」 在△ABC和△DEF中： AC=DF ∠A=∠D AB=DE △ABC≌△(SAS)」 2)BC=EF'且BCEF' 证明如下： 由(1)得△ABC≌△DEF, .BC=EF,∠ACB=∠DFE. .∠BCF=∠EFC, BC‖EF 综上，BC=EF,且BC‖EF 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略. （2)略. 19.【答案】(1)10： 2):D,E分别是BC,AC边上的中点， ∴.AD,BE分别是△ABC的中线，AE=EC,BD=CD 如下图，连接CO, A B D C .S△AEo=SACE0,S△ABE=SACBE, ..SAAOB=SABOC. BD=CD. 1 ∴.SAOD=S△c0D-2 ·.S△BOD=7S△AOB ∴.S△AoB=2S△B0D (3)证明：连接AF, G D F ,D是BC边上的中点， .BD=CD .SAABD=S△ACD, .AD平分四边形ABFG的面积， ,.S△ABD=S四边形ADFG, .S△ACD=S四边形ADrG, .S△AEG=SACEF. .E是AC边上的中点， 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE=CE, SAAEF=SACEF ∴.SAAEG=S△AEF, ∴.≥=FE 在△AEG和△CEF中， AE=CE, ∠AEG=∠CEF, =FE, .∴.△AEG≌△CEF SAS, ∴.∠GAE=∠ECF, .AG‖BC 【详解】(1)解：，D是BC边上的中点， ∴BD=CD 、。n=SAACD=7S△ABc-2×20二10， (2)略： (3)略. 20.【答案】该阁楼的高度AB为2米 【详解】解：因为AC⊥CE, 所以∠BCE=∠DCA=90°， 所以∠CBE+∠BEC=90°， 因为∠ADC与∠BEC互余， 所以∠ADC+∠BEC=90°， 所以∠CBE=∠ADC, 在△ECB和△ACD中， 因为∠CBE=∠CDA,CB=CD,∠BCE=∠DCA, 所以△ECB=△ACD(ASA), 所以AC=CE=CD+DE=6+2=8, 所以AB=AC-BC=8-6=2, 所以该阁楼的高度AB为2米。 21.【答案】(1)5,2 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (26,0 【详解】(1)解：如图2，过点C作CH⊥x轴于点H, y本 B A 图2 则∠AHC=90°， ∴∠CAH+∠C=90°， .A2,0,B0,3, .OA=2,OB=3, 将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC, .AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠CAH+∠BAO=90°， .∠BAO=∠C, 又，∠BOA=∠AHC=90°， ∴.△AOB≌△CHAAAS, .'.CH=OA=2,AH=OB=3. ..OH=OA+AH=5. ∴.点C的坐标为5,2： (2)解：如图3，过点B作BE⊥AB交AC于点E,过点E作EF⊥X轴于点F, d D OB F 图3 则∠ABE=∠EFB=90°， ∴，∠EBF+∠ABO=90°，∠EBF+∠BEF=90, .∠ABO=∠BEF .∠CAB=45°，∠ABE=90°， 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，△ABE是等腰直角三角形，AB=BE, 又，∠BOA=∠EFB=90°， ∴.△AOB≌△BFE AAS, ∴.OA=BF,OB=EF, 对于y=-2x+2, 当x=0时，则y=2;当y=0,则-2x+2=0,解得x=1, A0,2,B1,0, ∴.OA=2,OB=1, .BF=2,EF=1, ..OF=OB+BF=3, ∴点E的坐标为3,1， 设直线AC的解析式为y=kx+2, 代入E31得，3k+2=1,解得k=-号 ∴.直线AC的解析式为y=- x+2, 3 令y=0,则3X+2=0,解得x=6, ∴点D的坐标为6,0 22.【答案】(1)6,3 2)2或10 (3)存在，t的值为3或9 【详解】(1)解：：m-6+n-3P=0'1m-6≥0'n-3≥0' ∴m-6l=n-3P=0' ..m-6=0,n-3=0, 解得m=6,n=3: (2)解：由(1)可得A6,0,B0,3, ∴.OA=6,OB=3, 当点P在线段AO上时，OP=6-t, 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△POB的面积等于6， 号×36=t1=6, 解得t=2； 当点P在线段AO的延长线上时，则OP=t-6, ,△POB的面积等于6， ÷33-61=6 解得t=10, 综上所述，t的值为2或10： (3)解：如图，当点P在线段AO上时， 0 A PD⊥AB, ∴.∠PDA=∠POQ=∠BOA=90°， 又，∠APD=∠QPO, .180°-∠PDA-∠APD=180°-∠POQ-∠QP0, .∠PQO=∠PAD, △POQ与△AOB全等， ∴.△POQ≌△BOA, .∴.OP=OB,即6-t=3, 解得t=3; 如图，当点P在线段AO的延长线上时， 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以B 0 同理可得△POQ≌△BOA, ∴.OP=OB,即t-6=3, 解得t=9: 综上所述，存在，t的值为3或9. 23.【答案】(1)①35°；②0C=6: 吟 【详解】(1)解：①在Rt△AOC中，∠OCA=90°： .∠OAC+∠AOC=90°： .∠AOB=∠BOC+∠AOC=90°： ∴.∠BOC=∠OAC=35° ②过点B作BM⊥OC交OC延长线于点M,如图， y B M A ∴.∠BMO=∠OCA=90°， 由①得：∠BOM=∠OAC, 在△BOM和△OAC中， ∠BOM=∠OAC ∠BMO=∠OCA BO=OA .△BOM≌△OAC(AAS), ∴.BM=OC, :S60Bc=2 OC~BM=18, 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0C=6,负值舍去： (2)解：过点D作DQ⊥OA于Q,连接OM,如图所示， .∠DQP=∠DQA=∠BOP=90°， 又，BP=DP,∠BPO=∠DPQ, .△BPO≌△DPQ AAS, ∴，BO=DQ,OP=QP, .OB=OA, .'.DQ=OA, .AD⊥AC, .∠OAC+∠QAD=∠OCA+∠OAC=90°， ∴.∠OCA=∠QAD, ∴△OAC≌△QDA AAS, ..QA=OC, .OA=OB=4,C为OB中点， 0C=0B=2, .AQ=0C=2,OQ=OA-AQ=4-2=2, 1 0P=PQ=200=1, 设三角形OCM面积为X,三角形OPM面积为y,则三角形BCM面积为X,三角形APM面积为3y, x+x+y 1×4×1 解得x= 6 1 > y27 x+y+3y=5×4×2 2 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则三角形ABM面积×4×4-×4×1-3×924 2 7-7 11/11 第十四章 全等三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 3．如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 5．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 6．如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 9．如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 12．如图，甲、乙两人分别从A地前往B地，若A，B两地之间的距离为8千米，甲行走的路线为12千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 13．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为_______． 14．如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 16．（8分）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 17．（8分）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 18．（8分）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 19．（10分）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 20．（10分）李叔叔家在原有楼房的基础上加盖了一层阁楼，乐乐和冬冬利用假期测量了该阁楼的高度．测量过程如下： ①通过询问李叔叔得知楼房原来的高度米，乐乐在地面上距点6米的点处（即米），测得的度数； ②冬冬在地面上的点处测得的度数，发现与互余，并用皮尺测得米； 已知点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，．请根据上述信息求出该阁楼的高度． 21．（12分）【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 22．（12分）如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 23．（14分）点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意； 4．如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】利用“”判定方法证明，根据全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、， ， 在和中， ， ， 、、， 平分， 故A、B、D选项正确； 根据题意无法得出， 故C选项错误． 5．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形周长公式求出的值，最后利用线段的和差关系求出的长 【详解】解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． 6．如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 8．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 9．如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中线可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断A；根据全等三角形性质可得，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D；根据三角形面积之间的关系及全等三角形性质可判断C；根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故A正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴ ，故D正确，不符合题意； ， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故B错误，符合题意． 10．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，点D为的中点，可得，，设点、的运动时间为，分别表示出，，分和两种情况，即可求解． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴，， ∴点的对应点是点， 设点、的运动时间为，点Q的运动速度为， ∴，， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 12．如图，甲、乙两人分别从A地前往B地，若A，B两地之间的距离为8千米，甲行走的路线为12千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】9（答案不唯一） 【分析】延长、交于点，连接，证明，得到，，推出千米，然后利用三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，连接， 由题意可得千米，千米， ，，， ， ，， 千米， ， ， ， ， 又∵， ∴， ∵乙行走的路线为整数千米， 乙行走的路线可能为9或10或11． 13．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为_______． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出，，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，平移距离为，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 14．如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 【答案】12 【分析】连接，根据三角形三边不等关系可知：，当点P、N、M三点共线时，取得最小值，然后可得当时，有最小值，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 根据三角形三边不等关系可知：，当点P、N、M三点共线时，取得最小值， ∵、两点分别在线段、轴上，， ∴当时，有最小值，如图， ∵、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为12． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 16．（8分）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1) 解：如图，点M即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． ． ， ． ． 17．（8分）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 18．（8分）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 19．（10分）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 【答案】(1)10； (2)分别是边上的中点， 分别是的中线，． 如下图，连接， ，， ． ， ， ； ∴. (3)证明：连接， 是边上的中点， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ． 是边上的中点， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）先求出，根据三角形的面积公式可得答案； （2）由三角形面积和中线的性质，先证，再根据中线的性质，证，即可得答案； （3）由三角形面积、三角形的中线、平分四边形的面积，证明，再证，得，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：是边上的中点， ； （2）略； （3）略． 20．（10分）李叔叔家在原有楼房的基础上加盖了一层阁楼，乐乐和冬冬利用假期测量了该阁楼的高度．测量过程如下： ①通过询问李叔叔得知楼房原来的高度米，乐乐在地面上距点6米的点处（即米），测得的度数； ②冬冬在地面上的点处测得的度数，发现与互余，并用皮尺测得米； 已知点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，．请根据上述信息求出该阁楼的高度． 【答案】该阁楼的高度为2米 【分析】先依托直角、互余条件推导一组等角，用证明两个直角三角形全等，借助全等边相等算出长，作差求出阁楼高度． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因为与互余， 所以， 所以， 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以该阁楼的高度为2米． 21．（12分）【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，根据旋转的性质得到，，证明，得到，，即可求解点C的坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，证明，得到，，根据一次函数的性质得到，，进而求出点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图2，过点作轴于点， 则， ∴， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图3，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴，， 对于， 当时，则；当，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴点D的坐标为． 22．（12分）如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，t的值为或 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、即可； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： ，，， ∴， ，， 解得，； （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点在线段上时，， ∵的面积等于6， ∴， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， ∵的面积等于6， ∴， 解得， 综上所述，t的值为2或10； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ，即， 解得； 如图，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ，即， 解得； 综上所述，存在，t的值为3或9． 23．（14分）点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得的度数，再由角的和差关系可得答案； ②过点作交延长线于，可证明，得到，根据三角形面积计算公式可得，求解即可； （2）过点作于，连接，利用证明，得到和，即可证明，得到，结合已知得到，，，以及，设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为，列方程求得和，即可求得三角形面积． 【详解】（1）解：①在中，； ∴； ∵； ∴； ②过点作交延长线于点，如图， ∴， 由①得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，负值舍去； （2）解：过点作于，连接，如图所示， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴，， ∴， 设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为， ，解得， 则三角形面积． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $