第14章 全等三角形 分层训练 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

**基本信息** 沪科版八年级数学《全等三角形》分层训练，通过A（基础）、B（提升）、C（拓展）三层36题，实现从概念辨析到综合应用的知识进阶，适配分层教学与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A（★）|全等概念、性质及判定（SAS/ASA/SSS等）直接应用|选择、填空为主，如全等性质求边角、判定方法辨析，夯实基础| |B（★★）|两步推理证明、条件补全|解答题为主，如利用平行线证全等、中线倍长基础应用，培养推理意识| |C（★★★）|多步证明、实际应用（测量）、动点综合|探究题为主，如池塘距离测量、一线三垂直模型，发展创新意识与空间观念|

沪科版八年级数学上册第14章《全等三角形》分层训练 （A基础巩固 ★ / B能力提升 ★★ / C拓展探究 ★★★，共36题，附参考答案与解析） 使用说明：本练习覆盖第14章全部知识点，共36题，按难度分三层并逐题标注星级——★为直接应用教材知识的基础题；★★为需要两步推理或条件补全的提升题；★★★为多步证明、实际应用与开放探究的拓展题。教师可按学情分层布置，答案与解析附于文末。 知识点覆盖一览 知识点 A层(★) B层(★★) C层(★★★) 全等概念与对应关系 1、2、3、4、13 4 — 全等性质求边角 10、11、14 6、8 2 SAS 5、8 1、9 1 ASA 6 2 3 SSS 7、12 3 1 AAS、HL 9 5 — 一线三垂直/手拉手/动点综合 — 7、10 5—12 A层·基础巩固（★） 1．下列各组图形中，一定是全等图形的是（＿） A．面积相等的两个三角形　　B．能够完全重合的两个图形 C．周长相等的两个三角形　　D．对应角相等的两个三角形 2．△ABC≌△DEF（点A与点D对应，点B与点E对应），AB=5，BC=7，AC=6，则DE=＿＿＿，EF=＿＿＿，DF=＿＿＿。 3．△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，则∠D=＿＿＿，∠F=＿＿＿。 4．△ABC≌△DEF，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为＿＿＿。 5．下列条件中，能用SAS判定△ABC≌△DEF的是（＿） A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D　　B．AB=DE，BC=EF，∠B=∠E C．AB=DE，∠A=∠D，BC=EF　　D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DE 6．已知∠B=∠E，BC=EF，要利用ASA判定△ABC≌△DEF， 还需补充条件＿＿＿。 7．下列条件中，能用SSS判定△ABC≌△DEF的是（＿） A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D　　B．AB=DE，BC=EF，AC=DF C．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F　　D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DE 8．已知AB=DE，∠B=∠E，要利用SAS判定△ABC≌△DEF， 还需补充条件＿＿＿。 9．Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，判定它们全等依据是＿＿＿。 10．△ABC≌△ADE（点B与点D对应，点C与点E对应），∠BAC=80°，∠B=45°，则∠E=＿＿＿。 11．△ABD≌△ACD，AB=6，∠BAD=30°，则AC=＿＿＿，∠CAD=＿＿＿。 12．已知两个三角形的三对边分别相等，判定它们全等的方法是＿＿＿。 13．如右图，△ABC≌△A′B′C′，若AB=5，BC=6，AC=7，则A′B′=＿＿＿；若∠C=40°，则∠C′=＿＿＿。 14．△ABC≌△DEF，若△ABC的面积为12，则△DEF的面积为＿＿＿；若AB边上的高为4，则DE边上的高为＿＿＿。 B层·能力提升（★★） 1．如图：AB=CD，AB∥CD。求证：△ABD≌△CDB，并写出推理依据。 2．如右图：∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC。求证：△ABC≌△DCB。 3．如图：AB=AD，CB=CD。（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）求证：∠B=∠D。 4．△ABE≌△ACD（点B与点C对应，点E与点D对应），∠A=40°，∠B=60°，求∠AEB的度数。 5．如图，已知∠3=∠4，BC=CB（公共边）。要判定△ABC≌△DCB，还需要补充什么条件？请写出两种不同的添加方案，并分别说明判定方法。 6．Rt△ABC中∠C=90°，Rt△DEF中∠F=90°，AB=DE，AC=DF。若∠B=70°，求∠E的度数。 7．如图：B、E、F、D四点共线，△ABE≌△CDF（点A与点C对应，点B与点D对应）。求证：AB∥CD。 8．△ABC≌△ADE（点B与点D对应，点C与点E对应），∠BAC=60°，∠B=50°，求∠DAE与∠E的度数。 9．如右图，CM是△ABC的中线，延长CM至D，使DM=CM。（1）求证：△AMC≌△BMD；（2）求证：AC∥BD。 10．△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点。（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）求∠ADB的度数，并说明依据。 C层·拓展探究（★★★） 1．△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。（1）求证：△ABD≌△ECD；（2）判断AB与CE的位置关系，并说明理由；（3）若AB=8，AC=4，求中线AD的取值范围。 2．开放探究：在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并说明用哪种判定方法。写出两种不同的添加方案。 3．如图：AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE。求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）BD=CE。 4．如右图，某同学想测量池塘两端A、B的距离。他在池塘外取一点O，连接AO并延长至A′，使A′O=AO；连接BO并延长至B′，使B′O=BO；连接A′B′，量得A′B′=25 m。（1）用所学知识说明为什么A′B′的长就是AB的长；（2）其中用到了哪个判定方法？ 5．如图，直线l上依次摆放三个正方形a、b、c，其中正方形a、c的面积分别为4和16。（1）求证：夹在a、c之间的两个直角三角形全等；（2）求正方形b的面积。 6．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。（1）求证：△BDE≌△CEF；（2）若∠A=40°，求∠EDF的度数。 7．如图，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。（1）当MN在△ABC外部时，求证：MN=AM+BN；（2）当MN穿过△ABC内部时，探究AM、BN、MN三者的数量关系并证明。 8．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，点A、B、D在同一直线上，AE交CD于P。（1）求证：AE=CD；（2）求∠APC的度数；（3）求证：BP平分∠APD。 9．如图，G为BC的中点，DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，BE=CF。（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AB=9，AC=5，求AE的长。 10．如图，CA⊥AB于A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB于B；动点E从A出发以2个单位/秒沿射线AN运动，点D在射线BM上且始终保持ED=CB。当点E运动多少秒时，△DEB与△BCA全等？（写出所有可能） 11．如图，点P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接CD交OP于点E。（1）求证：△OCP≌△ODP；（2）求证：CE=DE。 12．如图，点M为直线AB上一动点，△PAB、△PMN都是等边三角形，连接BN。（1）求证：AM=BN；（2）当M运动到AB延长线上时，写出AB、BM、BN三者的数量关系；（3）当BM=AB时，求证：MN⊥AB。 参考答案与解析 A层（★） 1．B 2．DE=5，EF=7，DF=6 3．∠D=50°，∠F=60° 4．24 5．B 6．∠C=∠F（或∠A=∠D，且夹边为BC、EF） 7．B 8．BC=EF 9．HL（斜边和一条直角边分别相等） 10．55°（∠E=∠C=180°−80°−45°=55°） 11．AC=6，∠CAD=30° 12．SSS 13．A′B′=5，∠C′=40° 14．12；4（全等三角形面积相等、对应边上的高相等） B层（★★） 1．∵AB∥CD（已知），∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）。在△ABD与△CDB中，AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=DB（公共边），∴△ABD≌△CDB（SAS）。 2．在△ABC与△DCB中，∠ABC=∠DCB（已知），BC=CB（公共边），∠ACB=∠DBC（已知），∴△ABC≌△DCB（ASA）。 3．（1）在△ABC与△ADC中，AB=AD，CB=CD，AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）由全等得∠B=∠D（对应角相等）。 4．∠AEB=180°−∠A−∠B=80°。 5．方案一：补充∠1=∠2，在△ABC与△DCB中∠1=∠2、BC=CB、∠3=∠4，用ASA判定；方案二：补充AC=DB，在△ABC与△DCB中∠3=∠4、BC=CB、AC=DB，用SAS判定（也可补充∠A=∠D，用AAS判定）。 6．由HL知△ABC≌△DEF，∠E=∠B=70°（对应角相等）。 7．由△ABE≌△CDF得∠B=∠D（对应角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 8．∠DAE=∠BAC=60°，∠E=∠C=180°−60°−50°=70°。 9．（1）在△AMC与△BMD中，AM=BM（已知），∠AMC=∠BMD（对顶角相等），CM=DM（已知），∴△AMC≌△BMD（SAS）；（2）由全等得∠ACM=∠BDM，AC∥BD（内错角相等，两直线平行）。 10．（1）在△ABD与△ACD中，AB=AC（已知），BD=CD（中点定义），AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）；（2）由全等得∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°（平角），∴∠ADB=90°。 C层（★★★） 1．（1）在△ABD与△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC（对顶角），AD=ED，∴△ABD≌△ECD（SAS）。（2）由全等∠BAD=∠CED，∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）。（3）由全等CE=AB=8；在△ACE中，CE−AC＜AE＜CE+AC，即4＜2AD＜12，∴2＜AD＜6。 2．方案一：添加AC=DF，用SAS判定；方案二：添加∠B=∠E，用ASA判定（或添加∠C=∠F，用AAS判定）。 3．∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE；在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），BD=CE。 4．（1）在△AOB与△A′OB′中，AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′（对顶角），BO=B′O，∴△AOB≌△A′OB′（SAS），AB=A′B′=25 m；（2）SAS。 5．（1）设正方形a、b、c与直线l的交点分别为相关顶点，两个直角三角形中：直角分别相等，两锐角互余可推出一组锐角相等，且斜边分别等于正方形b的边长，由AAS得两三角形全等。（2）由全等，b的边长的平方（面积）等于a、c面积之和，Sb=4+16=20。 6．（1）AB=AC，∠B=∠C；由外角∠DEC=∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF，又∠DEF=∠B，故∠BDE=∠CEF；又BD=CE，∴△BDE≌△CEF（ASA）。（2）∠B=∠C=½(180°−40°)=70°，由全等DE=EF，△DEF等腰，∠DEF=∠B=70°，∠EDF=½(180°−70°)=55°。 7．（1）∠AMC=∠CNB=90°，∠ACM+∠BCN=90°，∠CBN+∠BCN=90°，故∠ACM=∠CBN；又AC=CB，△ACM≌△CBN（AAS），AM=CN、CM=BN，MN=CM+CN=AM+BN。（2）MN=AM−BN（设AM＞BN）：同理△ACM≌△CBN，AM=CN、CM=BN，CN=CM+MN，故MN=CN−CM=AM−BN。 8．（1）∠ABC=∠EBD=60°，故∠ABE=∠CBD；又AB=CB，BE=BD，△ABE≌△CBD（SAS），AE=CD。（2）由全等∠BAE=∠BCD，∠APC=180°−∠BAC−∠BCA=60°。（3）过B分别作AE、CD的垂线段，由全等三角形对应高相等，B到AE、CD距离相等，故BP平分∠APD。 9．（1）DG垂直平分BC，DB=DC；又∠E=∠DFC=90°，BE=CF，Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），DE=DF；DE⊥AB、DF⊥AC，故AD平分∠BAC。（2）Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），AE=AF；AE+BE=AB=9，AF−CF=AC=5，BE=CF、AE=AF，两式相加2AE=14，AE=7。 10．Rt△DEB与Rt△BCA中斜边ED=CB（已知），由HL判定还需一组直角边对应相等：当BE=BA=8且BD=CA=4，或BE=CA=4且BD=BA=8时两三角形全等。设运动t秒，AE=2t，BE=|8−2t|。BE=8时|8−2t|=8，得t=0（起点，舍）或t=8；BE=4时|8−2t|=4，得t=2或6。综上t=2秒、6秒或8秒。 11．（1）∵OP平分∠AOB，∴∠COP=∠DOP；又PC⊥OA、PD⊥OB，∴∠OCP=∠ODP=90°。在△OCP与△ODP中，∠OCP=∠ODP，∠COP=∠DOP，OP=OP（公共边），∴△OCP≌△ODP（AAS）。（2）由（1）得OC=OD；在△OCE与△ODE中，OC=OD，∠COE=∠DOE（角平分线），OE=OE（公共边），∴△OCE≌△ODE（SAS），∴CE=DE。 12．（1）∠APB=∠MPN=60°，故∠APM=∠BPN；又PA=PB，PM=PN，△PAM≌△PBN（SAS），AM=BN。（2）M在AB延长线上时BN=AB+BM。（3）BM=AB=PB，△PBM中∠PBM=180°−∠PBA=120°，∠BMP=30°；△PMN等边，∠PMN=60°，∠BMN=30°+60°=90°，即MN⊥AB。 1 学科网（北京）股份有限公司 $