精品解析：天津市双菱中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度上学期双菱中学九年级数学学科第一次阶段检测 一．选择题（共12小题，每题3分） 1. 数学之美通常体现在简单的形状里，对称体现着平衡的智慧．下列图形分别是“斐波那契螺旋点”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“赵爽弦图”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意 ． 2. 将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 2，3 B. C. 2，7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 3. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，有最大值1 C. 当时，随的增大而增大 D. 对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、最值及增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向下，故A正确； ∴ 对称轴为直线，顶点为， ∴ 当时，有最大值1，故B正确； ∵ ，对称轴， ∴ 当时，随的增大而增大，故C正确； 对称轴为，不是，故D错误． ∴ 不正确的是D， 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合方程的根的定义与一元二次方程二次项系数不为0的条件求解． 【详解】解：∵ 该方程是一元二次方程． ∴ ，即． 把代入． 得． 解得或． ∵． ∴ ． 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 6. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 其图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 其图象位于第一、第三象限 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，由于 ，图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小，再逐项验证是否符合性质即可． 【详解】∵ 反比例函数，， ∴ 图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小； A．当时，， ∴ 图象经过点 ，正确； B．未限定“同一象限”或“”，直接说“随 增大而减小”错误； C．∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，正确； D．当时，， ∴当时，，且， ∴ ，正确． 故选：B． 7. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形面积公式，结合“扩建后的面积是原来矩形草坪面积的”这一条件，找出等量关系列出方程． 【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据“扩建后的面积是原来矩形草坪面积的”得： ． 9. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 11. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．连，过点作于点D，即可得到是等边三角形，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，即可得到的值，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，（负值舍去）， 连接，过点作于点D， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：A． 12. 如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每题3分） 13. 二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：是一元二次方程， ，即， 有两个不相等的实数根， ， 即， 整理得， 解得， 又， 且． 16. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是______ 【答案】600米 【解析】 【分析】当取得最大值时，飞机停下来，，即当时，飞机滑行才停下来，即可求解． 【详解】解：当取得最大值时，飞机停下来， 则， 此时，飞机着陆后滑行米才能停下来 故答案是：米 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，确定飞机最大滑行时间是解题的关键． 17. 如图，，，将绕点A逆时针旋转得到．连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，使，构造直角三角形，易求，设，则，利用旋转的性质和“”易得，则，再根据勾股定理得，，最后根据二次函数的性质，取最小值即可． 【详解】解：过点作，使，连接、． ， ， ； 又， 设，则， 由旋转性质，得，， ， 又， ， ， 在中，， 在中，由勾股定理得，， 则， ， 抛物线开口向上， 则当时，取最小值，即， ， 的最小值为． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，涉及了数形结合思想的应用．根据对称轴为直线及图象开口向下，与y轴的交点，可判断出a、b、c的符号，从而判断①；求出图象与轴的另一个交点为，则可判断②；利用函数的最小值：，可判断③；根据方程的两根为，可得，可判断④⑤的正误． 【详解】解：①∵函数开口方向向上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与轴的另一个交点为， 当时，，故②错误； ③∵二次函数的图象与y轴的交点在的下方，对称轴在x轴右侧，且， ∴函数的最小值：， ∴，故③正确； ④∵图象与x轴交于点，， ∴方程的两根为， ∴， ∴，， ∴， ∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ∴；故④错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 故答案为：①③⑤． 三．解答题（共7小题） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：； 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：或； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为． x … 0 2 3 4 … y … m n … （1）根据表格， ___________，对称轴是直线___________； （2）求二次函数的解析式； （3）若，则y的取值范围是___________； （4）若，则x的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解出二次函数的解析式，再代入，从而求出m的值，根据对称轴公式得出对称轴即可． （2）由（1）得结论． （3）根据抛物线开口方向向上，所以当时，函数有最小值，且越远离对称轴所对应的函数值越大，进而求出函数值的范围． （4）依题意，令求出方程的解，结合开口方向向上，即可作答． 【小问1详解】 解：把分别代入， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，； ∴对称轴是直线； 【小问2详解】 解：由（1）知二次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：∵，对称轴是直线，， ∴抛物线开口方向向上， ∴当时，函数有最小值，且，则越远离对称轴所对应的函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最大值，且， 当，则y的取值范围是． 【小问4详解】 解：二次函数的解析式为，当时，得， 解得：， 抛物线开口方向向上， ∴当时，x的取值范围是或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） （3）的面积为 【解析】 【分析】（）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式； （）由，，根据图象即可求解； （3）根据反比例函数的对称性得出，过点作轴于点，过点作轴于点，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴根据图象可得，不等式的解集为； 【小问3详解】 解：∵射线与反比例函数的图象交于点， ∴与关于原点对称， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 23. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，直角的顶点，点B在x轴的正半轴，，等腰直角中，，点C在y轴的负半轴，点D在x轴的正半轴，． （1）填空：如图①，点B的坐标为___________，点C的坐标为___________； （2）将等腰直角绕点O逆时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为，，记旋转角为α． ①如图②，当点在边上时，求旋转角α的大小和的长； ②连接，点Q为的中点，点P为的中点，连接，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①； ②的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）由，，得，得，得；由 ，得，即得． （2）①过点作于点E，作线段的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，设，由，得，由，得，，由，得，解得，得，，，设，由线段垂直平分线的性质得，，得，解得，得，得，即得； ②连接，由，得，根据三角形中位线的性质得． 【小问1详解】 解：∵点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点在轴的正半轴， ∴． ∵等腰直角中，， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图，过点作于点，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则． 设， 由（1）知，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． ， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 化简，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ， ， ， ， 设， 则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ； ②连接， 则， ， 如图： ， 点为的中点，点为的中点， ， 的取值范围为． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． （1）求a的值． （2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在 （3）存在点P，直线的解析式为或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果； （2）设与轴交于点，设，过点作轴交于点，作于点，先证明是等腰直角三角形，再表示出的长度，根据二次函数的性质即可得出结果； （3）分两种情况讨论，当点在直线下方时，与当点在直线上方时． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点， 得， 解得：； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为， 当时，，即， ，，即是等腰直角三角形， ， ， ， 设，过点作轴交于点，作于点， ，即是等腰直角三角形， 设直线的解析式为，代入， 得，解得， 故直线的解析式为， 将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为， ， ， 当时，有最大值， 此时也有最大值，； 【小问3详解】 解：存在点P，理由如下： 当点在直线下方时， 在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点， 由（2）中结论，得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故直线的解析式为； 当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点， ∴， ∴， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故设直线的解析式为， ，且过点, 故设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 综上所述：直线的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期双菱中学九年级数学学科第一次阶段检测 一．选择题（共12小题，每题3分） 1. 数学之美通常体现在简单的形状里，对称体现着平衡的智慧．下列图形分别是“斐波那契螺旋点”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“赵爽弦图”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 2，3 B. C. 2，7 D. 3. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，有最大值1 C. 当时，随的增大而增大 D. 对称轴为直线 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 其图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 其图象位于第一、第三象限 D. 当时， 7. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 12. 如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每题3分） 13. 二次函数的顶点坐标是___________． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 16. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是______ 17. 如图，，，将绕点A逆时针旋转得到．连接，则的最小值为___________． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三．解答题（共7小题） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为． x … 0 2 3 4 … y … m n … （1）根据表格， ___________，对称轴是直线___________； （2）求二次函数的解析式； （3）若，则y的取值范围是___________； （4）若，则x的取值范围是___________． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 23. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，直角的顶点，点B在x轴的正半轴，，等腰直角中，，点C在y轴的负半轴，点D在x轴的正半轴，． （1）填空：如图①，点B的坐标为___________，点C的坐标为___________； （2）将等腰直角绕点O逆时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为，，记旋转角为α． ①如图②，当点在边上时，求旋转角α的大小和的长； ②连接，点Q为的中点，点P为的中点，连接，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． （1）求a的值． （2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $