精品解析：天津市和平区汉阳道中学2026-2027学年上学期九年级第一次成长记录数学试卷

2026-2027-1第一次成长记录九年级数学试卷 一、选择题（共12小题）每题3分共36分 1. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值是（    ） A. 1 B. 3 C. D. 4 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 设是方程的两个根，则有( ) A. B. C. D. 5. 抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（　　） A. 向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B. 向右平移3个单位，再向上平移4个单位 C. 向左平移3个单位，再向下平移4个单位 D. 向左平移3个单位，再向上平移4个单位 6. 根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A. 0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B. 0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C. 0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D. 0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 7. 已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A. 甲错，丙对 B. 甲对，乙错 C. 甲对，丙错 D. 乙和丙都对 9. 如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排3场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题）每题3分共18分 13. 抛物线与轴交点坐标为______。 14. 用配方法将二次函数化为的形式为____________． 15. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围为______． 16. 二次函数的图象如图所示，它的对称轴为直线，则下列结论： ①：②当时，：③；④（m为任意实数）；其中正确结论的个数是______个。 17. 已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别落在格线上． （Ⅰ）当O为所在小正方形一边的中点，A为四等分点（距右方格点近）时，则AO的长度为_______； （Ⅱ）以A为顶点的矩形ABCD，满足点O为对角线的交点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点B，点C和点D，并简要说明这三个点的位置是如何找到的（不要求证明）_______． （注意：点A与点O不再满足（I）中的条件） 三、解答题（共7小题）共66分 19. 解下列一元二次方程 （1）（4分） （2）（4分） 20. 二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 m … （1）该二次函数图象的顶点坐标______；对称轴是直线______；与x轴交点坐标______。 （2）求该二次函数的解析式； 21. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 22. 如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． （1）设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； （3）求车棚面积的最大值． 23. 二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C. （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是______； （2）不等式的解集是______. （3）若关于的方程有两个不相等的实根，则k的取值范围是. （4）当时，x的取值范围是______. 24. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027-1第一次成长记录九年级数学试卷 一、选择题（共12小题）每题3分共36分 1. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值是（    ） A. 1 B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，再求解即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选：C． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 得或， 解得：， 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 即， 故选：D． 4. 设是方程的两个根，则有( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系列式计算即可． 一元二次方程的根与系数的关系是：． 【详解】∵是方程， ∴ 故选∶B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是：是解题的关键． 5. 抛物线y＝﹣2x2经过平移后得到y＝﹣2（x+3）2﹣4，其平移方法是（　　） A. 向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B. 向右平移3个单位，再向上平移4个单位 C. 向左平移3个单位，再向下平移4个单位 D. 向左平移3个单位，再向上平移4个单位 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4），根据顶点坐标的变化寻找平移方法． 【详解】解：根据抛物线y＝−2x2得到顶点坐标为（0，0）， 而平移后抛物线y＝−2（x+3）2−4的顶点坐标为（−3，−4）， ∴平移方法为：向左平移3个单位，再向下平移4个单位． 故选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握相关概念是解题关键． 6. 根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A. 0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B. 0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C. 0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D. 0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 【答案】B 【解析】 【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可． 【详解】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25， 判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5， 故选B． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，利用二次函数的增减性是解题关键． 7. 已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】D 【解析】 【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1， ∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， ∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：第1轮后有个人患了流感；乙：第2轮又增加个人患流感；丙：依题意可列方程 A. 甲错，丙对 B. 甲对，乙错 C. 甲对，丙错 D. 乙和丙都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及一元二次方程的应用，掌握等量关系是解答本题的关键，根据题意逐个计算出每轮感染人数，共感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 甲：第1轮后，1个人传染了x人，共有个人患了流感，故正确； 乙：第2轮后，个人中每人传染了x人，增加个人患流感，故正确； 丙：2轮后，共有人患流感，由题意得方程，即，故错误． 故选：C． 9. 如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图示，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，把顶点坐标代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 故选：A ． 10. 某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排3场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程， 【详解】∵赛程计划安排7天，每天安排3场比赛， ∴共7×3=21场比赛 设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为： 故选择：C 11. 如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的性质及图象，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将点代入抛物线，可得，根据，推出，与四个选项一次对比即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，即， ∵， ∴， A.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项A不符合题意； B.若抛物线过点，则，与不相符，故选项B不符合题意； C.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项C不符合题意； D.若抛物线过点，则，得，代入，得，与相符，故选项D符合题意； 故选：D． 12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式再逐个分析即可得． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即滑行的时间为时，滑行的距离是； 当时，s有最大值，此时， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m， ∴飞机前10秒滑行的距离为， 即飞机停下前最后内滑行的距离是 当时，y取得最大值600， 即飞机着陆后滑行600米才能停下来， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 二、填空题（共6小题）每题3分共18分 13. 抛物线与轴交点坐标为______。 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线与轴的交点坐标，令即可求解； 【详解】解：令，则； ∴抛物线与轴交点坐标为； 故答案为： 14. 用配方法将二次函数化为的形式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，运用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围为______． 【答案】k＜− 【解析】 【分析】利用根的判别式b2−4ac＜0可得关于 k的不等式，求解即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴b2−4ac＜0， 即（−4）2−4×3•（−k）＜0， 解得k＜−． 故答案为：k＜−． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 16. 二次函数的图象如图所示，它的对称轴为直线，则下列结论： ①：②当时，：③；④（m为任意实数）；其中正确结论的个数是______个。 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线开口向上，推出；由对称轴为直线，推出；由抛物线与轴的交点在负半轴，推出；即可判断①；根据当时，；推出由对称性可知：当时，：得当时，、、都有可能，即可判断②；由图象可知：当时，：推出，；，即可判断③；由图象可知：当，；对于任意的实数，都有，即可判断④； 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与轴的交点在负半轴， ∴； ∴，故①错误； ∵当时，； ∴由对称性可知：当时，： ∴当时，、、都有可能：故②错误； 由图象可知：当时，： ∵， ∴，； ∵； ∴，即，故③错误； 由图象可知：当，； ∴对于任意的实数，都有， 即， ∴，故④正确； 故答案为： 17. 已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，局部最值，利用分类思想，结合增减性计算即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且与对称轴距离越大，函数值越大， ∵， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值3， ∴， 解得；符合题意； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值，且与对称轴距离越大，函数值越小， ∵，抛物线的对称轴为，在局部范围内， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值3， ∴， 解得；符合题意； 故答案为：或． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别落在格线上． （Ⅰ）当O为所在小正方形一边的中点，A为四等分点（距右方格点近）时，则AO的长度为_______； （Ⅱ）以A为顶点的矩形ABCD，满足点O为对角线的交点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点B，点C和点D，并简要说明这三个点的位置是如何找到的（不要求证明）_______． （注意：点A与点O不再满足（I）中的条件） 【答案】 ①. ②. 如图，矩形即为所求． 方法：取格点，连接交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，，，，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （Ⅰ）利用勾股定理求解； （Ⅱ）取格点，连接交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，，，，四边形即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）． 故答案为：； （Ⅱ）略 三、解答题（共7小题）共66分 19. 解下列一元二次方程 （1）（4分） （2）（4分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用公式法即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 20. 二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 m … （1）该二次函数图象的顶点坐标______；对称轴是直线______；与x轴交点坐标______。 （2）求该二次函数的解析式； 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，合理利用表格数据是解题关键； （1）由推出对称轴是直线：；进而得顶点坐标为；设二次函数的解析式为，将代入即可求解； （2）由（1）即可求解； 【小问1详解】 解：由表格数据可知：二次函数经过点， ∴对称轴是直线：； ∵二次函数经过点， ∴顶点坐标为； 设二次函数的解析式为， 将代入得，解得：， ∴； 令，由解得：； ∴与x轴交点坐标为： 【小问2详解】 解：由（1）得：该二次函数的解析式为； 21. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 22. 如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． （1）设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； （3）求车棚面积的最大值． 【答案】（1）；； （2）长为，宽为或长为，宽为； （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． 【小问2详解】 由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚的长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； 【小问3详解】 自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 23. 二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C. （1）抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是______； （2）不等式的解集是______. （3）若关于的方程有两个不相等的实根，则k的取值范围是. （4）当时，x的取值范围是______. 【答案】（1）， （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握数形结合的能力是解题关键； （1）令，得点C的坐标是；由得顶点P的坐标是； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，结合开口方向即可求解； （3）画出函数图象，可知若抛物线与直线有两个不同的交点，则； （4）抛物线与直线的交点坐标分别为；由图可知：当或，抛物线夹在直线和直线之间，即可求解； 【小问1详解】 解：令，则，故交点C的坐标是； ∵， ∴顶点P的坐标是； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：令，由解得：； ∴抛物线与轴的交点坐标分别为； ∵，抛物线的开口向下， ∴当或时，； 即不等式的解集是：或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：若抛物线与直线有两个不同的交点，则； 即若关于的方程有两个不相等的实根，则k的取值范围是：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：令，由解得：； ∴抛物线与直线的交点坐标分别为； 由图可知：当或，抛物线夹在直线和直线之间， 即当时，x的取值范围是或； 故答案为：或； 24. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为90元 （3）最大利润是10000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：； 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 【答案】（1） （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）先求出对称轴，再根据对称性可得点坐标； （2）由题易得，进而可得点、、坐标，进而可证出，所以三角形的面积和三角形的面积相等，据此求解； （3）由题易得，．作点关于直线的对称点为，点在直线上，四边形和四边形是平行四边形，则，所以，当，，三点共线时，取得最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数， 对称轴为直线， 点和点关于对称轴对称，， ； 【小问2详解】 将点代入抛物线得：， 点的坐标为． 如图， ，且点在该抛物线对称轴上， 点的坐标为． 点关于轴的对称点为， 点的坐标为． 点，关于对称， 与互相平分． 四边形是平行四边形． ． 三角形的面积和三角形的面积相等． 且， ； 【小问3详解】 点关于轴的对称点为，点在轴上， ． 同理，． 作点关于直线的对称点为，点在直线上， ．点的坐标为． ． 又， 四边形是平行四边形． ． 沿轴平移线段至， ，且， 四边形也是平行四边形． ， ， 当，，三点共线时，取得最小值． ，且， 解得：． ， 解得：． ，， 直线的解析式为， 点的坐标为．． 将点向右平移个单位长度可得点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数点的坐标特征、平行四边形的判定和性质、二次函数的几何变换等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $