精品解析：上海市第六十中学2026-2027学年第一学期第一次阶段考试高一年级数学

2026学年第一学期第一次阶段考试（2026.10.09） 高一年级数学 （满分：100分 考试时间：90分钟） 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 若集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据并集的定义运算即可. 【详解】因为，，所以， 故答案为: . 2. 用描述法表示第一象限和第三象限内的所有点组成的集合__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据第一象限和第三象限内的所有点的横纵坐标同号可得结论. 【详解】易知第一象限和第三象限内的所有点的横纵坐标同号， 且集合表示的是点的集合，所以可知. 故答案为： 3. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式作等价转化为一元二次不等式求解集. 【详解】由，故解集为. 故答案为： 4. 已知，对恒成立，__________． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，对恒成立， 则，解得，所以. 5. 用反证法证明命题：“如果，可被3整除，那么，中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为________. 【答案】，都不能被3整除. 【解析】 【分析】根据反证法的知识确定正确结论. 【详解】反证法证明命题：“如果，可被3整除，那么，中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为“，都不能被3整除.” 故答案为：，都不能被3整除 6. 已知，方程的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可. 【详解】当时，则； 当时，则； 当时，则. 综上所述，原方程的解集为. 故答案为：. 7. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是______. ①；②；③；④. 【答案】④ 【解析】 【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确. 【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 9. 已知正实数､满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数､满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 10. 若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，确定整数解只能是，列出关于参数的不等式，解分式不等式，取交集得到的取值范围． 【详解】由，得，由，得， 所以的解集为， 大于的整数依次为， 题目要求恰好两个整数解，只能是， 所以， 由，得， 即，解得或， 由，得，解得， 所以的解集为， 即实数的取值范围为． 11. 已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理得到和，代入解出的值，根据判别式判断是否符合题意. 【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得， 所以，即，解得或， 判别式， 当时，，方程无实根，舍去， 当时，，有两个实根，符合条件， 故答案为：. 12. 已知有限集，如果中元素满足，就称为“完美集”. ①集合不是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”有且只有一个，且； 其中正确的结论是________(填上你认为正确的所有结论的序号) 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①,根据定义检验与是否相等即可. 对于②根据韦达定理即可判断是否正确. 对于③根据②可知,二元完美集可以看成一元二次方程对应的两个根,所以有无数组. 对于④,检验当时,求得完美集的个数;同时检验当时不存在完美集即可. 【详解】对于①, 根据定义.则, 则,所以集合是“完美集”,则①错误; 对于②,设,由韦达定理可知 可以看成一元二次方程 则,解得或(舍) 即,所以至少有一个大于2,所以②正确; 对于③,根据②可知一元二次方程当取不同值时, 的值是不同的.而有无穷多个值,因而二元“完美集”有无穷多个,所以③正确; 对于④,设 ,则 所以 所以当时, 因为 所以只能是,由代入解得,所以此时完美集只有一个为,所以④正确; 故答案为: ②③④ 【点睛】本题考查了元素与集合的关系,正确理解题意解决问题的关键,对理解能能力和分析解决问题能力要求较高,属于难题. 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 14. 已知全集，集合或，，则阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，由交集和补集的概念求出阴影部分表示的集合. 【详解】， 或， 故阴影部分表示的集合为. 故选：B 15. 设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，取，满足，而，①是假命题； 对于②，，②是真命题； 对于③，，③是真命题； 对于④，取，满足，而，④是假命题； 对于⑤，由，得，由，则，⑤是真命题. 16. 已知关于x的两个一元二次不等式的解集分别为A，B，其中为常数且不为零，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据“”与“”互相推出的情况判断属于何种条件. 【详解】由一元二次不等式的解法知，一元二次不等式解集受二次项系数的符号及相应二次方程的解的情况决定， 由可知相应二次方程的解的情况是一致的，但二次项系数的符号不一定一致， 故由推不出， 反之若，也推不出，例如，与，解集都为R，但系数并不成比例. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 求下列关于的不等式（组）的解集 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解两个一元二次不等式，再取交集即可求解； （2）分为，和三种情况，去除绝对值，即可求解. 【小问1详解】 不等式可化为， 解得或， 不等式可化为，即，即， 解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 当时，等价于， 解得，所以， 当时，等价于， 解得，所以， 当时，等价于， 解得，所以， 综上，的解集为. 18. 设为实数，求关于与的二元一次方程组的解集. 【答案】 当时，方程组的解集为； 当时，方程组的解集为. 【解析】 【分析】先消去得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】消去得， 当，即时，不成立，则无解，原方程组的解集为； 当，即时，则， 原方程组的解集为. 综上所述，当时，方程组的解集为； 当时，方程组的解集为. 19. 已知集合，集合（）． （1）若，求； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式得到，再根据交集的运算即可得解； （2）根据题意可得是的真子集，分为和两种情况讨论，列不等式即可求出答案. 【小问1详解】 当时，， ， 所以， 【小问2详解】 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以，，所以是的真子集， 当时，，解得，符合题意； 当时，易知和不能同时成立， 则，解得， 综上，实数的取值范围为. 20. （1）已知实数，求的取值范围； （2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为16cm，怎样确定海报的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形海报面积S最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2）海报的高为与宽为，可使矩形海报面积S最小，最小面积为 【解析】 【分析】（1）分，两种情况，结合基本不等式求解即可； （2）设矩形栏目宽为，高为，则，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，当且仅当，即取等号， 当时，，所以， 当且仅当，即取等号， 综上所述：的取值范围为. （2）设矩形栏目宽为，高为，则， 所以 ， 当且仅当，即取等号， 所以海报的高为与宽为，可使矩形海报面积S最小，最小面积为. 21. 若实数，，满足，则称比远离． （1）0比远离2吗？说明理由； （2）若比远离1，求实数的取值范围； （3）若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由． 【答案】（1）0比远离2，理由为： 由于，所以0比远离2. （2） （3）比x更远离m，理由为： 由，得， 由，得， 于是， 当时，，即； 当时，， 由，得，因此，即， 所以，即比x更远离m. 【解析】 【分析】（1）利用定义直接判断. （2）利用定义建立不等式，再求解该不等式. （3）利用基本不等式的变形可得，再分类确定的正负即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由比远离1，得，即， 则或，整理得或， 因此或或，解得或或， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期第一次阶段考试（2026.10.09） 高一年级数学 （满分：100分 考试时间：90分钟） 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 若集合，，则________． 2. 用描述法表示第一象限和第三象限内的所有点组成的集合__________. 3. 不等式的解集为________. 4. 已知，对恒成立，__________． 5. 用反证法证明命题：“如果，可被3整除，那么，中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为________. 6. 已知，方程的解集为______. 7. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________ 8. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是______. ①；②；③；④. 9. 已知正实数､满足，则的最小值为__________. 10. 若关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围为__________． 11. 已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 12. 已知有限集，如果中元素满足，就称为“完美集”. ①集合不是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”有且只有一个，且； 其中正确的结论是________(填上你认为正确的所有结论的序号) 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知全集，集合或，，则阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 15. 设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 已知关于x的两个一元二次不等式的解集分别为A，B，其中为常数且不为零，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 求下列关于的不等式（组）的解集 （1） （2） 18. 设为实数，求关于与的二元一次方程组的解集. 19. 已知集合，集合（）． （1）若，求； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20. （1）已知实数，求的取值范围； （2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为16cm，怎样确定海报的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形海报面积S最小？最小面积是多少？ 21. 若实数，，满足，则称比远离． （1）0比远离2吗？说明理由； （2）若比远离1，求实数的取值范围； （3）若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $