精品解析：上海市华东模范中学2024-2025学年高一上学期12月阶段检测数学试卷

华东模范中学高一年级12月阶段检测 数学试卷 一、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 1. 直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________． 2. 函数的定义域为_________. 3. 若幂函数的图象分布在第一、三象限，则_________. 4. 函数的值域是_________. 5. 关于x的不等式的解集是_________. 6. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为_________. 7. 若函数的值域是，则实数m的取值范围是_________. 8. 若不等式的解集为，则实数a的取值范围是_________. 9. 函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数的图像关于轴对称，则________ 10. 已知函数的定义域和值域都是，则_________. 11. 已知函数在上严格单调递增，则实数a的取值范围是_________. 12. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是_________． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 13. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. “”是“函数在上为严格增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 16. 已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点； （2）存在实数，使得的值域是； （3）存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（第17题8分，第18题10分，第19题10分，第20题12分，满分40分） 17. 已知全集为R，集合 （1）求集合； （2）若，求实数a的范围. 18. 已知函数的定义域为D，其中a为常数 （1）若，讨论的奇偶性，并说明理由； （2）当时，求函数的零点. 19. 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元. （1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量为多少吨时可使亏损量最小？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 20. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东模范中学高一年级12月阶段检测 数学试卷 一、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 1. 直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答. 【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是. 故答案为： 2. 函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根号下大于等于0和对数底数的范围即可得到范围，解出即可. 【详解】由题意得，解得或， 则其定义域为. 故答案为：. 3. 若幂函数的图象分布在第一、三象限，则_________. 【答案】-3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】根据其为幂函数，则，解得或， 当时，，则其定义域关于原点对称， ，故为偶函数，且分布在一、二象限，图象如图所示： 故舍去， 当时，，则其定义域关于原点对称， ，故为奇函数，且分布在一、三象限，图象如图所示： 故答案为：. 4. 函数的值域是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】易知指数函数在上单调递减， 所以，即该函数在上的值域为. 故答案为： 5. 关于x的不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数单调性得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得， 则，解得. 则其解集为. 故答案为： 6. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集得出a与b、c的关系，再代入不等式中化简求解集即可． 【详解】不等式的解集为， 所以和1是的实数根，且， 所以，可得， 所以不等式可化为，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 7. 若函数的值域是，则实数m的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合其最值和端点值即可得到的取值范围. 【详解】因为函数在区间上是增函数，在上是减函数， 且，， 所以函数在区间上的值域是，必有． 故答案为：． 8. 若不等式的解集为，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 故答案为：. 9. 函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数的图像关于轴对称，则________ 【答案】 【解析】 【分析】 从出发，逆向探求即可. 【详解】函数图像关于轴对称的图像对应函数的表达式是， 函数向左平移1个单位长度得，即 10. 已知函数的定义域和值域都是，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先分析的单调性，然后对进行分类讨论或，结合单调性以及可求得结果. 【详解】因为在上单调递减，且， 当时，在上单调递减， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递增， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，则，因为， 所以， 故答案为：. 11. 已知函数在上严格单调递增，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的两段均递增，且临界点左小右大（最多相等）列不等式组可得． 【详解】若使函数在上单调递增，则， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：， 12. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数和的图像，根据图像知且，解得答案. 【详解】，画出函数和的图像，如图所示： 不等式恰有一个整数解，则这个整数解为， 故且，解得. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 13. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据不等式性质分析判断即可. 【详解】因为， 对于ABD：例如，满足， 但，，，故ABD错误； 对于C：因为，故C正确. 故选：C. 14. “”是“函数在上为严格增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数在区间上为增函数的的取值范围，结合与的关系求出答案 【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的真子集， 所以“”是“函数在区间上为严格增函数”的充分不必要条件. 故选：A 15. 已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知函数在上为减函数，由已知可得，解此不等式即可得解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上是增函数，则该函数在上为减函数， 由可得，，解得或. 故选：D. 16. 已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点； （2）存在实数，使得的值域是； （3）存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】命题（1）利用零点即对应方程的根进行分析处理；命题（2）结合图象分析值域；命题（3）转化为两个函数与在上有两个交点问题进行处理；命题（4）画出的图象，利用数形结合分析处理，把直线绕定点旋转确定临界位置，从而确定结果． 【详解】对于命题（1），当时，由，得到，所以在上有一个零点， 当时，，当，得到，此时在上没有零点，所以命题（1）错误， 对于命题（2），当时，，要使值域为， 则当时，的值域应包含，所以， 此时对称轴，所以在区间上单调递增，又， 因此不存在，使值域为，所以命题（2）错误， 对于命题（3），当时，，其关于原点对称函数为， 要存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对， 即当时，与有两个交点， 当时，，其图象开口向下，又时，， 此时与有两个交点，如图1，所以存在使命题成立，所以命题（3）正确， 对于命题（4），对于时，，其图象如图2所示， 又过点，由，消得到， 由，得到，由图知，当时，与在上有2个交点， 又由，得到，当时，，所以在处的切线方程为， 又的图象与直线有且只有三个公共点，由图可知，所以命题（4）正确， 故选：B. 三、解答题（第17题8分，第18题10分，第19题10分，第20题12分，满分40分） 17. 已知全集为R，集合 （1）求集合； （2）若，求实数a的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得或，结合补集运算求解即可； （2）根据指数不等式可得，结合交集运算结果列式求解即可. 【小问1详解】 ，解得或， 所以. 【小问2详解】 由，则，即，解得， 若，则，解得， 所以实数a的范围为. 18. 已知函数的定义域为D，其中a为常数 （1）若，讨论的奇偶性，并说明理由； （2）当时，求函数的零点. 【答案】（1） 由已知可得， 当时，即， 当时，为奇函数； 当时，为非奇非偶函数. （2）和0 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义并结合两种情况进行讨论； （2）分成两种情况打开绝对值，结合一元二次方程以及指数幂运算得出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 令，得，即. 当时，，即， 解得(舍)，或，； 当时，，即，解得，； 则函数的零点为和0. 19. 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元. （1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量为多少吨时可使亏损量最小？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】（1）不能获利，当月处理量为300吨时可使亏损最小；（2）每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【解析】 【分析】 （1）设项目获利为，根据二次函数知识可知，当时，，因此，该项目不会获利：当时，取得最大值-5000； （2）根据题意可知，，分段求出最小值，比较可得答案. 【详解】（1）当时，该项目获利为，则 ， 当时，，因此，该项目不会获利： 当时，取得最大值-5000，故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元； （2）由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： 当时，，所以当时，取得最小值240， 当时，， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值200， ∵ ∴每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 20. 已知奇函数的定义域为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递增，证明：设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; 【小问2详解】 在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $