精品解析：江西九江市同文中学2026-2027学年度上学期素养统一检测九年级数学试卷（10月）

九江市同文中学2026—2027学年度上学期素养统一检测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟试卷分数：120分 一、单选题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 3. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 8. 如图，延长正方形的边至，使，则_____． 9. 2026年，一场集结江西省11座城市的赣超足球联赛火爆全网．九江市7月份作为主场城市在比赛期间接待游客数约8万人次，随着赣超热度席卷全国，到9月份九江市在主场比赛期间接待游客数已增长到约15万人次，求九江市平均每月主场比赛期间接待游客数的增长率．设九江市平均每月主场比赛接待游客数增长率为x，可列方程得__________． 10. 如图，直线与轴，轴分别交于两点，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则第一象限点的坐标为__________． 11. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 12. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形的两边、分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点的坐标为__________________． 三、解答题：13至17题，每题6分，共30分． 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，，分别是，上的点，，相似比是． （1）若，求的长． （2）若，求的长． 15. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图①中作出的中线； （2）图②中，在的边上找一点，连接，使的面积为1． 16. 如图，在中，，为边上的中线，////． （1）求证；四边形是菱形； （2）若，，求的长． 17. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 四、解答题：18至20题，每题8分，共24分． 18. 某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 19. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 五、解答题：每题9分，共18分． 21. 如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． （1）直接写出A点的坐标及b的值； （2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t，求当t为何值时，是直角三角形？ 22. 小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗3.1千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗0.2千卡． （1）小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为分钟（为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含的代数式表示）千卡，分钟总消耗热量是__________（用含的代数式表示）千卡； 提示：若一列数，，…，，满足，则． （2）小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 六、大题：12分． 23. 综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． （1）填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； （2）类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． （3）拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市同文中学2026—2027学年度上学期素养统一检测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟试卷分数：120分 一、单选题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个角度判断各选项． 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A．四边形是平行四边形，，由邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项A不符合题意； B．四边形是平行四边形，，由对角线垂直的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，即选项B不符合题意； C．四边形是平行四边形，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，即选项C不符合题意； D．四边形是平行四边形，，由一个内角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，不能证明四边形是正方形，即选项D符合题意． 3. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 4. 如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 6. 如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据矩形的性质和已知条件，得到是等边三角形，据此可知，从而求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，继而求得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ，， 点是直角斜边的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 8. 如图，延长正方形的边至，使，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质推导出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 9. 2026年，一场集结江西省11座城市的赣超足球联赛火爆全网．九江市7月份作为主场城市在比赛期间接待游客数约8万人次，随着赣超热度席卷全国，到9月份九江市在主场比赛期间接待游客数已增长到约15万人次，求九江市平均每月主场比赛期间接待游客数的增长率．设九江市平均每月主场比赛接待游客数增长率为x，可列方程得__________． 【答案】 【解析】 【分析】设九江市平均每月主场比赛接待游客数增长率为x，根据7月份和9月份接待游客的数量列方程即可． 【详解】解：设九江市平均每月主场比赛接待游客数增长率为x， 由题意得，． 10. 如图，直线与轴，轴分别交于两点，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则第一象限点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，一次函数图象上点的坐标特征，注意分两种情况进行讨论，首先根据直线与轴，轴分别交于、两点，解得点和点的坐标，再利用位似图形的性质可得点的坐标． 【详解】解：与轴轴分别交于两点， 令可得；令可得， 点和点的坐标分别为，， 与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为， 轴， ， 当点在第一象限时 的坐标为； 故答案为： 11. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，再根据相似三角形的性质可得，进而可得，设，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 12. 若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形的两边、分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点的坐标为__________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用正方形的性质得到，，进而得到的中点的坐标为，再分当点在上时、当点在上时、当点在上时三种情况，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，， ∴的中点的坐标为，， 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点的坐标为； 如图，当点在上时，设， ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 三、解答题：13至17题，每题6分，共30分． 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解： 方程两边都乘，得 检验：当时，， 是原分式方程的增根， 原方程无解． 14. 如图，，分别是，上的点，，相似比是． （1）若，求的长． （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）的长为 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图①中作出的中线； （2）图②中，在的边上找一点，连接，使的面积为1． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取格点T、E，连接交于点D，连接，可证明得到，则即为所求； （2）取格点M、N，连接交于点F，连接，可证明，则，则，可求出，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在中，，为边上的中线，////． （1）求证；四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形BDCE是平行四边形． ∵在中，，为边上的中线， ∴， ∴平行四边形BDCE是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到四边形BDCE是平行四边形，再利用直角三角形斜边上的中线得到，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形来求解； （2）由菱形的性质求出BD的长度，进而得到AB的长度，再利用含的直角三角形的性质求出BC，最后由勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵由（1）得四边形BDCE是菱形，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，理解相关知识是解答关键． 17. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1）的取值范围是 （2）的值为 【解析】 【分析】（）先整理方程得整理得，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【小问1详解】 解：由整理得：， ∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或， ∵， ∴的值为． 四、解答题：18至20题，每题8分，共24分． 18. 某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 【答案】6米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案． 【详解】解： 过点作交于点，交于点，如图，     ∵， ∴米，米，， ∴（米）， （米）， 根据题意，得， ∴， ∴，即，解得（米）， ∴米， ∴石碑与实验楼之间的距离为6米． 19. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 【答案】（1）《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）单价应降低4元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； 【小问2详解】 解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，结合，推出四边形是平行四边形，根据，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，，根据直角三角形的斜边中线定理可得，，再由勾股定理求出，进而得到，根据可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，，，即为的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 五、解答题：每题9分，共18分． 21. 如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． （1）直接写出A点的坐标及b的值； （2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t，求当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由得，则，把代入即可得． （2）先用含有t的代数式表示出、、的长，然后根据勾股定理列方程即可求出t的值． 【小问1详解】 解：由， 得， ∴， 把代入， 得， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得直线的表达式为，直线的表达式为，， ∵轴， ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴t为时，是直角三角形． 22. 小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗3.1千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗0.2千卡． （1）小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为分钟（为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含的代数式表示）千卡，分钟总消耗热量是__________（用含的代数式表示）千卡； 提示：若一列数，，…，，满足，则． （2）小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）总消耗热量不可能达到380千卡 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，则总消耗热量为千卡，根据题意，可得，令总消耗热量为380千卡，列出一元二次方程，根据解的情况，即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：千卡； t分钟总消耗热量是：千卡； 【小问2详解】 解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为整数）， 则总消耗热量为：千卡， 根据题意可列方程，，则， 则总消耗热量为：千卡， 当总消耗热量为380千卡时，，整理可得，， 则，即方程没有实数根， 总消耗热量不可能达到380千卡． 六、大题：12分． 23. 综合与实践:特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． （1）填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； （2）类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． （3）拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）90，相等，是 （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形； （3）①证明：如下图，作于点，作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②或2 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形的性质证明，结合可证明，进而证明；证明，由全等三角形的性质可得，进一步证明，易得，可证明，即是等腰三角形； （2）首先证明，结合菱形的性质证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，可证明，即是等腰三角形； （3）①作于点，作于点，易得四边形是矩形，证明，，结合相似三角形的性质可得，即可证明结论；②设，则由①得，进而可得，且，，然后分，，三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 ①证明：略； ②解：设，则由①得， ∵， ∴， 由①可知， ∴， 则， 若，如下图， 则， ∴， 解得（此时，舍去）， ∴； 若，如下图， ∵， ∴， ∴，解得， 此时，舍去； 当时，如下图， 即， ∴ 解得（此时，舍去）， ∴． 综上所述的长为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $