精品解析：广东汕头市潮阳华斯达学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年第一学期华斯达学校高二第一次月考数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即或， 又因为，因此 所以. 2. 若，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知，则， 所以与同方向的单位向量是. 3. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将函数解析式转化为，求得，再根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间是． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别将三个数与0、1比较大小即可得解. 【详解】因为指数函数在上单调递减，，所以，即； 因为指数函数在上单调递增，，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，，所以，即. 综上可得. 6. 某学校为深入落实“健康第一”教育理念，推进健康校园建设，在高一年级采用分层随机抽样，抽取男生30人和女生20人进行立定跳远测试（单位：cm）．已知男生样本均值为220，方差为900；女生样本均值为170，方差为400．则抽取的样本总方差为（ ） A. 650 B. 700 C. 1300 D. 1400 【答案】C 【解析】 【详解】抽取的样本总平均数， 所以抽取的样本总方差. 7. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 8. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以正方形中心为原点建立空间直角坐标系，先由 ， 求出点 的坐标；再利用外接球球心到 的距离相等，求出外接球半径，从而求其表面积． 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 【答案】ACD 【解析】 【详解】∵ 复数在复平面内的对应点为，∴ 的坐标为. ∵ ，∴ 点的坐标为，即. 选项A：，正确. 选项B：，为实数，不是纯虚数，错误. 选项C：，则，正确. 选项D：，其在复平面内对应点为，位于第四象限，故D正确. 10. 连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件A与事件B独立 D. 事件A与事件C互斥 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，，事件与事件相互独立， 则，A正确； 选项B，为第二次向上点数为1或2或3或5，则，B正确； 选项C，事件与事件相互不影响，所以事件与事件相互独立，C正确； 选项D，“第一次向上点数为5”，则，即可以同时发生，不互斥，D错误. 11. 如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在线段上移动时，必存在点，使 D. 直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A通过构造平面 平面 ， 平面 ，可得 平面 ，所以动点 的轨迹为线段 ； 选项B等体积转换：，点到平面的距离为定值, 的面积不是定值，体积不定； 选项C建立空间直角坐标系，设 ， ， ，，讨论 的取值范围即可求解； 选项D根据线面角定义，找到线面角平面角，讨论即可. 【详解】选项A 要寻找满足 平面 的点 的轨迹，利用面面平行判定与性质。 在正方体中： 取 中点 中点 ， 中点 中点 ， 为 中点，连接 ， 是 中位线， ；正方体中 ，因此 ， 所以平面与平面重合， 连接 ， ，， 且，则四边形为平行四边形， 可得,则平面， ,则平面， ， 平面 平面 平面 平面 ， ， 平面 ，可得 平面 ， 所以动点 的轨迹为线段 . 故 A 正确. 选项 B 利用等体积转换：, 点 到平面 的距离为正方体棱长 2 ，是定值, 的轨迹为线段 ，直线 与 不平行，因此 沿 移动时，点 到直线 的距离不确定， 的面积不是定值， 由 ，体积随底面积改变，故体积不是定值. 选项B 错误. 选项C 建立空间直角坐标系 以 为原点， 为 轴， 为 轴，为 轴建立空间直角坐标系。 由题意知正方体棱长为2，则各点坐标如下： 因为 是 的中点，所以 在线段 上，,设 ，其中 , ，则 且 若 ，则 联立 的轨迹方程 我们需要判断是否存在 ，使得对应的 在 的轨迹范围内。 的轨迹是线段，端点为（1，2，0）和（0，2，1）.所以 的取值范围是 , 考察函数 在 上的值域。 当 时， 当 时， 所以 因为 ，所以对于任意 ，都能找到满足条件的 ，进而找到对应的 ,即对于线段 上的任意点 ，都存在点 使得 . 选项 C正确. 选项D 因为 平面 是 在平面 内的射影. 为直线 与平面 所成角. ， 最小值最大值 选项D 错误 . 【点睛】本题考查了立体几何中的动态问题，既可以采取空间向量求解，也可以通过扎实的基本功通过综合法证明. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则________________． 【答案】1 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在平行六面体中，取，，． （1）用，，表示； （2）若，分别为，的中点，用，，表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形利用空间向量基本定理用基向量表示 即可； （2）利用中点条件将和用基底表示，再由向量加法计算即得． 【小问1详解】 连接，因为，，， 所以， 在平行六面体中，， 故． 【小问2详解】 连接，因为的中点，则， 因为的中点，则， 又，则， 故． 16. 年月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数和第百分位数（保留两位小数）． （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为，求第四组面试者的面试成绩的方差． 【答案】（1），平均数为，第60百分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出参数，再根据频率分布直方图的性质，求出总体的平均数和第60百分位数的估计值； （2）根据分层随机抽样的均值和方差的性质，根据总体方差的公式，求出第四组方差即可. 【小问1详解】 可知频率分布直方图组距为，所以，解得， 平均数为， 前两组频率之和为，前三组频率之和为， 则第百分位数为. 【小问2详解】 这名面试者中第四组和第五组面试者有人， 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为， 由题意可得，解得. 17. 在中，，，分别是角，，的对边，若且． （1）求； （2）设角的平分线交边于点，求长度最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和转化，代入原式化简可得，结合，利用正弦定理边角互化得到，最后结合角的范围求出角. （2）先利用余弦定理建立，关系，并利用不等式求出，再利用等面积法建立等量关系，得到，最后再利用基本不等式求出长度的最大值. 【小问1详解】 由题意，， ，整理得：， ，，，又，， 由正弦定理得：，， ，，即，，. 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以， 当且仅当时等号成立．故长度的最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，. 令，. ，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面的法向量为. 于是. 化简得，又，解得，即. 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值； （2）设，利用坐标法结合两平面夹角余弦值列方程，解得即可. 【小问1详解】 取的中点O，连接. 由为等边三角形，得. 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形. 于是，而，则，直线两两垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 则，，. 设平面的法向量为， 则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 略 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，直线的一个方向向量为，求直线与平面所成角的正弦值； （2）已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所在平面夹角的余弦值． 【答案】（1）; （2），相邻两个面所在平面夹角的余弦值为 . 【解析】 【分析】（1）利用题中概念计算出平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）分析集合P，利用体积公式求体积即可；利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可． 【小问1详解】 由题可知，直线的方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 【小问2详解】 集合表示的几何体是关于平面，，对称的，它们在第一卦限的形状为正三棱锥，如下图 其中OA、OB、OC两两垂直，且， 所以， 集合Q所表示的几何图形也关于平面，，对称， 在第一卦限内的部分如图（1）， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果. 由平面的方程为：，其法向量为； 平面的方程为：，其法向量为. 设平面与平面所成的夹角为，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期华斯达学校高二第一次月考数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某学校为深入落实“健康第一”教育理念，推进健康校园建设，在高一年级采用分层随机抽样，抽取男生30人和女生20人进行立定跳远测试（单位：cm）．已知男生样本均值为220，方差为900；女生样本均值为170，方差为400．则抽取的样本总方差为（ ） A. 650 B. 700 C. 1300 D. 1400 7. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 10. 连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件A与事件B独立 D. 事件A与事件C互斥 11. 如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在线段上移动时，必存在点，使 D. 直线与平面所成角的正切值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则________________． 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在平行六面体中，取，，． （1）用，，表示； （2）若，分别为，的中点，用，，表示． 16. 年月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数和第百分位数（保留两位小数）． （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为，求第四组面试者的面试成绩的方差． 17. 在中，，，分别是角，，的对边，若且． （1）求； （2）设角的平分线交边于点，求长度最大值． 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，直线的一个方向向量为，求直线与平面所成角的正弦值； （2）已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所在平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $