精品解析：广东深圳市松岗中学2026-2027学年高二上学期10月综合性练习数学试题

2026-2027学年深圳市松岗中学高二年级第一学期10月综合性练习 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，由，求得倾斜角. 【详解】直线，即， 所以直线的斜率，设倾斜角为，则， 又，所以，即直线的倾斜角为， 故选：D 2. 圆和圆的位置关系为（    ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】A 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距， 两圆的半径之差为，所以两圆内含. 3. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 4. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 5. 已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 6. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用曲线方程化简，取确定圆在第一象限的部分，再根据绝对值呈现出的对称性作图，由图计算面积即可. 【详解】曲线可化为， 当时，解析式为， 易知曲线关于轴，轴，原点对称， 由题意作出图形： 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 所以曲线围成的图形的面积为. 7. 一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出示意图计算从地解除一级警戒到地进入一级警戒台风的路程，然后计算时间即可. 【详解】 作于，作于， 直线的方程为， 故 又可得，， ， 从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时. 故选：A 8. 已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】设，，则，， 由，消去整理得， 则， 所以，， 则 ， 所以，解得. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10. 已知点和圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 11. 在中，，的内心，下列说法正确的有（    ） A. 的内切圆的半径为10 B. 直线方程为 C. 直线方程为 D. 外接圆的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，求出到直线的距离即可判断；对于BC，设直线方程根据点到直线的距离公式即可判断；对于D，求出点坐标，设圆的一般方程，代入即可判断. 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为， 故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，圆的半径为2，则_______________． 【答案】 【解析】 【详解】由圆，其半径为2， 所以，又，则. 13. 圆与圆的公共弦长为_________． 【答案】 【解析】 【详解】圆，圆的圆心为，半径， 圆，圆的圆心，半径， 因为，所以圆与圆相交， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 则圆心到公共弦所在直线的距离为， 故所求弦长为． 14. 若直线：与直线：平行，则与间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【详解】，，即， 当时，与重合，不合题意，， 所以两直线方程为与， 与间的距离． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由点斜式，得直线方程为， 化成一般式即． 【小问2详解】 直线方程为，即． 【小问3详解】 由斜截式，得直线方程为，化成一般式为. 16. 已知圆，点，且直线经过点P. （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）若直线与C相切，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可； （2）按照直线的斜率存在性讨论，结合圆心到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 可化为， 故圆的圆心坐标为，半径为； 【小问2详解】 因为，所以点在圆外， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，则设，即， 则圆心到直线的距离为，得， 此时切线方程为. 综上，直线的方程为或. 17. （1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|； （2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程． 【答案】（1）2； （2）x+4y=0或x+y-3=0 【解析】 【分析】 （1）根据直线与直线2x+y+1=0垂直，由斜率之积为，可求出直线的斜率，再根据直线经过点 ，由点斜式即可写出直线的方程，然后分别令可求出点的坐标，由两点之间的距离公式即可求出； （2）根据直线的截距是否为零讨论，即直线是否过原点分类讨论，再根据情况分别设出直线方程，由直线过点即可求出． 【详解】（1）设直线的斜率为，由题意知，，．而直线经过点 所以直线： 即x-2y+4=0． 令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，2）， 则|AB|==2． （2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得，c=3， 此时直线方程为：x+y-3=0； 当直线过原点时，设直线方程为：，因为直线过点，所以，解得 ，此时直线方程为：x+4y=0． 综上：直线：x+4y=0或x+y-3=0． 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 18. 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，． （1）求的欧拉线方程； （2）记的外接圆的圆心为C，直线l：与圆C交于A，B两点，且，求的面积最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判断为等腰直角三角形，三线合一，即可求解； （2）结合（1）知外心是，利用圆的弦长公式求得，再利用面积公式结合二次函数的性质求最值. 【小问1详解】 的顶点，， 利用两点之间距离公式知， 又，所以为等腰直角三角形， 的中垂线方程是，也是的平分线，三线合一， ∴欧拉线方程是． 【小问2详解】 由（1）知为等腰直角三角形，故外心为斜边中点， 即外心是， 圆心C到直线l的距离，， 所以 利用二次函数性质知，当时，即时， 19. 已知圆：与圆外切，点在第一象限，直线与直线：平行，且圆与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆及直线从上到下依次交于点，，，当最小时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，依题意可得、、，即可求出、、，从而得解； （2）求出点关于直线的对称点为的坐标，从而求出直线的方程，即直线的方程，再求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理及垂径定理计算可得. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 则圆心，因为直线与直线：平行，则，所以①， 又圆：与圆外切，所以②， 因为圆与直线相切，所以③，解得， 所以，则圆的标准方程为. 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以，根据对称性可得， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年深圳市松岗中学高二年级第一学期10月综合性练习 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 圆和圆的位置关系为（    ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 外离 3. 已知直线与圆相切，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 10. 已知点和圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最大值为8 11. 在中，，的内心，下列说法正确的有（    ） A. 的内切圆的半径为10 B. 直线方程为 C. 直线方程为 D. 外接圆的方程为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，圆的半径为2，则_______________． 13. 圆与圆的公共弦长为_________． 14. 若直线：与直线：平行，则与间的距离为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，经过点； （2）经过点，且与轴垂直； （3）斜率为，在轴上的截距为7. 16. 已知圆，点，且直线经过点P. （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）若直线与C相切，求直线的方程. 17. （1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|； （2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程． 18. 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，． （1）求的欧拉线方程； （2）记的外接圆的圆心为C，直线l：与圆C交于A，B两点，且，求的面积最大值． 19. 已知圆：与圆外切，点在第一象限，直线与直线：平行，且圆与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆及直线从上到下依次交于点，，，当最小时，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $