精品解析：广东省汕头市潮阳林百欣中学2025-2026学年高二上学期第一阶段考试数学试题

潮阳林百欣中学2025-2026学年度第一学期 第一阶段考试高二级数学试题 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 倾斜角为45°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A. x－y＋1＝0 B. x－y－1＝0 C. x＋y－1＝0 D. x＋y＋1＝0 2. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 直线，直线与平行，且直线与垂直，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（ ） A B. 1 C. 3 D. 2 6. 已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 8. 已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 10. 已知直线，直线，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线可能与轴垂直 C. 若，则 D. “”是“”的充分不必要条件 11. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时，平面 B. 当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D. 点到直线距离的最小值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间三点，则在上的投影向量坐标为__________. 13. 过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为________ 14. 已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 16. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 17. 在棱长为2的正方体中， （1）求证：面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 18. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若当时，直线上点都在轴下方，求的取值范围； （3）若直线与轴的负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳林百欣中学2025-2026学年度第一学期 第一阶段考试高二级数学试题 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 倾斜角为45°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A. x－y＋1＝0 B. x－y－1＝0 C. x＋y－1＝0 D. x＋y＋1＝0 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，，所以，即，故选B． 2. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算进行求解即可. 【详解】. 故选：A. 3. 直线，直线与平行，且直线与垂直，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出的值，即可得出答案. 【详解】因为直线与平行， 并且直线，所以，. 又因为直线与垂直，所以，. 所以. 故选：B. 4. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示：设，则，，，， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 5. 已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合点到直线距离公式分别计算模长与夹角的正弦值即可计算. 【详解】由题可知，点到l的距离为，，，，，则，则，故点到l的距离为. 故选：B 6. 已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 7. 过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线倾斜角范围为. 故选：B. 8. 已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 【答案】C 【解析】 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量研究线面、面面关系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空间中四点共面的推论可判定D. 【详解】易知，则直线l与平面平行或在面内，故A错误； 易知，则，故B正确； 若不能作为基底， 则存在，使得， 整理得， 又是空间的一组基底，则，显然方程无解，假设不成立，故C正确； 由空间四点共面的推论可知：若，且时， 四点共面，所以D错误. 故选：BC 10. 已知直线，直线，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线可能与轴垂直 C. 若，则 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，通过可判断，对于B，由斜率存在可判断，对于CD，可通过垂直及平行的判定判断. 【详解】对于A：当时，可得：，过定点，错误； 对于B：由，可知直线斜率存在且为，不可能与轴垂直，错误； 对于C：若，则，即，正确； 对于D：由，则，解得：，经验证都符合， 所以“”是“”的充分不必要条件，正确； 故选：CD 11. 如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 当点为中点时，平面 B. 当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D. 点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D. 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间三点，则在上的投影向量坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由三点， 可得，则， 则在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 13. 过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为________ 【答案】和 【解析】 【分析】根据斜率是否为0，分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意， 当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线方程为， 故答案为：和 14. 已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，与的夹角为锐角，则且与不共线，进而求解即可. 【详解】由， 若与共线，则，即， 则与的夹角为锐角时，有，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 16. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的中点，进而根据两点式求解或求出斜率，再用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，根据可得，进而利用点斜式求解即可； （3）先求出的中点，根据题设易得，进而利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由已知得的中点，即， 解法一：边上的中线的两点式方程为，即； 解法二：边上的中线的斜率为， 所以中线的方程为：，即. 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 则直线的方程为，即. 【小问3详解】 由已知得的中点，即， 因为分别是线段的中点，所以，即， 又，所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 17. 在棱长为2的正方体中， （1）求证：面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）45° 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量可得和，进而求证即可； （2）求出平面的一个法向量，再由线面角的空间向量表示可得. 【小问1详解】 证明：建立如图所示，以为坐标原点， 以分别为轴､轴､轴的空间直角坐标系， 根据题意有：， 则， 所以， 又因为，平面， 所以面. 【小问2详解】 由（1）知，，. 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有， 又因为，所以. 18. 已知直线. （1）求证：直线过定点； （2）若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围； （3）若直线与轴负半轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是坐标原点，设三角形的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）最小值为2，直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）变形得，求出直线过定点； （2）根据题意，只需保证区间端点和对应的函数值不大于0，列出不等式组求解即可； （3）求出直线与两坐标轴负半轴的交点的坐标，用表示的面积，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得. 由直线方程的点斜式可知，直线过定点； 【小问2详解】 若当时，直线上的点都在轴下方，则 解得，所以k的取值范围是； 【小问3详解】 由题意直线过定点，且与轴负半轴交于点､与轴的负半轴交于点， 则直线的斜率， 当时，得，当时，得，则，且， 所以 ， 当且仅当，即时，又，所以当时取“”， S的最小值为2，此时直线的方程为. 19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点，连接，证明：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距离的向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角余弦值为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $