精品解析：北京市昌平区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

北京昌平二中2025—2026学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷 2025.11 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡收回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，据此可得答案. 【详解】由得，得直线斜率为，则倾斜角为. 故选：D 2. 已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线l过P，Q的中点 B. 直线l的一个方向向量的坐标是 C. 直线l的斜率为3 D. 直线PQ的斜率为 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称、斜率、方向向量的概念可逐一判断. 【详解】由题意知，A正确； ，则直线l的斜率为，故D错误，C正确； 则直线的一个方向向量的坐标是，B正确. 故选：D 3. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值. 【详解】依题意 ，所以. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题. 4. 圆与圆的公切线条数（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得公切线的条数. 【详解】圆的标准方程是，设圆心，半径， 圆，设圆心，半径， 因为，，， 所以， 所以两圆相交，公切线有2条. 故选：B 5. 已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，则满足，解得. 故选：C. 6. 若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解. 【详解】因为直线与圆相离， 所以圆心到直线的距离， 解得或， 故选:B. 7. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两条直线垂直求出的关系，利用充分条件和必要条件求解. 【详解】，， 若，则， 由可以得到，但是由不一定得到， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 8. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为圆上任意一点，利用向量的坐标运算得，进而利用的几何意义可求得的最大值. 【详解】设为圆上任意一点， 因为，，所以，， 所以，所以， 表示点到点的距离， 又的圆心到点的距离为， 又圆的半径为， 所以到点的距离的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 10. 如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合，利用两点间距离公式，求出的长即可． 【详解】取的中点，连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为是的中点，所以， 所以，而， 所以，即，所以点到的距离就是， 因为， 所以，即， 所以，即， 所以的中点到的距离为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发现，再利用整体法即可得解. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置） 11. 已知直线与直线垂直，则a等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】若直线与直线垂直,则，进而求解. 【详解】∵直线与直线垂直， 所以, 所以. 故答案为：. 12. 已知直线，圆. （i）直线过定点，则点的坐标为___________； （ii）直线被圆截得的弦长为，则的值为___________. 【答案】 ①. ； ②. 0 【解析】 【分析】（i）将直线方程写成点斜式，即可得答案；（ii）根据弦长公式求解即可. 【详解】（i）因为， 所以直线过定点， 即点的坐标为； （ii）易知圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为弦长为， 所以，所以， 即，解得. 故答案为：；0 13. 如果实数，满足不等式，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设，则表示经过点的直线，为直线的斜率，所以求的取值范围就等价于求同时经过点和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值，从图中可知，当过点的直线与圆相切时取最大值和最小值，此时对应的直线斜率分别为和，其中不存在，由圆心到直线的距离，解得，则的取值范围是. 考点：直线与圆的位置关系及其应用. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，直线的斜率公式、直线与圆的位置关系的判定，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，解答中熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题. 14. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆的方程可知；根据椭圆的定义知，再由余弦定理得出，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由椭圆知， 由椭圆的定义知：， 在中，由余弦定理得：， 即， . 故答案为：. 15. 设点，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率为___________；经过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，当四边形的面积最大时，___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知求出的值，即可得到离心率；根据对称性可得，，所以为短轴顶点时，面积最大，写出的坐标，即可得到结果. 【详解】由已知可得，，，所以，则离心率. 根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，. 且， 当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点. 不妨设，，，所以，， 所以. 故答案为：； 16. 已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论： ① 曲线关于原点对称； ② 曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③ 曲线围成区域的面积大于8； ④ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于． 其中正确结论的序号是_________________ . 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对①：将代入，依旧满足该方程即可得；对②，由曲线可得，将所有整点求出即可得；对③，借助对称性，证明该曲线在第一象限部分面积大于直线与坐标轴围成的面积即可得；对④由基本不等式可得，进而可得. 【详解】曲线，将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，①正确； ，得，要使均为整数， 则可得整点有、、、共9个，故②错误； 曲线，将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 故曲线围成区域的面积大于8，只需在曲线第一象限的面积大于2， 当，时，，得， 故，因与轴，轴构成的三角形面积为， 故曲线围成区域的面积大于8，故③正确； 由对称性，根据得，得， 故曲线上的点到原点的距离为，故④正确， 故答案为：①③④ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知点，，以为直径的圆记为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由为直径求出圆心与半径，即可得到圆的方程； （2）先判断点在圆上，由求出直线的斜率，从而求得直线方程，再求点，利用即可求出的面积. 【小问1详解】 因为，，所以中点为，， 又因为圆是以为直径的圆，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，圆的圆心到点的距离为， 故点在圆上，则过点的圆的切线只有一条，因，， 则，故切线方程为，即， 令，解得，则得， 故. 18. 如图，五面体中，四边形是正方形． （1）求证：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 因四边形是正方形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面平面，则，故. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证明平面，再利用线面平行的性质定理证明，最后利用平行性的传递性即可； （2）利用面面垂直的性质定理证明平面，然后建系，求出平面的法向量，再计算，从而得出线面角的正弦值，计算其夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面，平面， 则，， 因，，则，则， 则以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 又因其夹角取值范围为，故直线与平面所成角为. 19. 已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，过点作与轴不重合的直线交椭圆于点，（点在轴的上方）. （1）求椭圆的方程； （2）若线段的长等于，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，，得， 则椭圆的方程为； 【小问2详解】 根据题意设直线的方程为，， 联立直线与椭圆方程可得，得， 则， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 化简可得，， 即，即， 所以或（舍），即， 所以直线的方程为或. 20. 如图，在四棱柱中，侧面是边长为2的正方形，平面平面，，，E为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． 条件①：；条件②：． （1）求证：； （2）求平面BCE与平面夹角的余弦值； （3）已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段CM的长． 【答案】（1） 证明：选择条件①： 因为侧面是正方形，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以． 选择条件②： 因为侧面是正方形，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 因为平面，所以，所以 又，所以，即， 因为，所以． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）选择条件：由面面垂直的性质定理知平面，从而得，结合，可证平面，再由线面垂直的性质定理，即可得证； 选择条件②：由面面垂直的性质定理知平面，从而得，再结合勾股定理及其逆定理，可证，结合，即可得证； （2）以为原点建系，利用向量法求面面角即可； （3）设，利用向量法求线面角可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则. 【小问3详解】 设，则， 由（2）知， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，即， 解得或， 故线段的长为或． 21. 已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线 分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由定点及四边形面积列出等式求解即可； （2）设直线方程，，联立椭圆方程，设，结合 韦达定理，分别得到的方程，进而得到坐标，从而得到坐标，再结合中点到轴的距离等于一半列出等式求解即可； 【小问1详解】 由题意，得 所以. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，过的直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为. 联立方程组 消去得. 显然，. 设，则 ，. 在中，令，得. 所以. 直线的方程为， 令，得， 所以. 同理可得. 设中点，则 ， 所以. 设中点为，则. 假设存在实数，使得以为直径的圆与轴相切，则点到轴的距离为 . 又因为， 所以， 化简得. 解得. 所以存在，使得以为直径的圆总与轴相切. 【点睛】关键点点睛：设中点为，若存在实数，使得以为直径的圆与轴相切，则点到轴的距离为，以此列方程求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京昌平二中2025—2026学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷 2025.11 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡收回. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线l过P，Q的中点 B. 直线l的一个方向向量的坐标是 C. 直线l的斜率为3 D. 直线PQ的斜率为 3. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的公切线条数（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题纸的相应位置） 11. 已知直线与直线垂直，则a等于___________. 12. 已知直线，圆. （i）直线过定点，则点的坐标为___________； （ii）直线被圆截得的弦长为，则的值为___________. 13. 如果实数，满足不等式，那么的取值范围是_____． 14. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为___________. 15. 设点，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率为___________；经过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，当四边形的面积最大时，___________. 16. 已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论： ① 曲线关于原点对称； ② 曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③ 曲线围成区域的面积大于8； ④ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于． 其中正确结论的序号是_________________ . 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知点，，以为直径的圆记为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积. 18. 如图，五面体中，四边形是正方形． （1）求证：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 19. 已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，过点作与轴不重合的直线交椭圆于点，（点在轴的上方）. （1）求椭圆的方程； （2）若线段的长等于，求直线的方程； 20. 如图，在四棱柱中，侧面是边长为2的正方形，平面平面，，，E为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． 条件①：；条件②：． （1）求证：； （2）求平面BCE与平面夹角的余弦值； （3）已知点M在线段上，直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段CM的长． 21. 已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线 分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $