精品解析：吉林省长春市十一高中2025-2026学年高二上学期第三学程考试（期末）数学试题

长春市十一高中2025-2026学年度高二上学期第三学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 2. 已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等轴双曲线的性质结合所求双曲线的焦点位置即可得到答案. 【详解】由等轴双曲线可得： 且， 因为，所以， 又焦点在轴上，故得双曲线方程为：， 故选：B． 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差中项的定义及等比数列的通项公式列式计算即得. 【详解】设正项等比数列的公比为，则，， 由成等差数列，得，即，而， 则，解得，所以. 故选：D 4. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 144 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C 5. 已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论． 【详解】设等差数列公差为，由， 则，， ∴， 解得，． ∴， ∴当时，取得最大值． 故选：B． 6. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离等于,由能求出半径的取值范围. 【详解】根据点到直线的距离公式 圆心到直线的距离等于: 由 解得 半径的取值范围是:. 故选:A. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系问题,画出圆和直线的几何图像,用采用数形结合是解题关键. 7. 已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据三角形中的关系，结合垂径定理求解即可. 【详解】因为为正三角形，且均与圆相切，故， ，由四边形内角和为可得. 又圆，圆心为，半径为. 故到直线的距离为. 故，解得或（舍）. 故选：C 8. 已知数列满足（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，且，则（ ） A. B. 5050 C. D. 4950 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的单调性，结合递推公式，利用分组求和以及等差数列求和，可得答案. 【详解】由数列是递增数列，得；由数列是递减数列，得. 由，且，即， 则当为偶数时，；当为奇数时，. 所以 . 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D. 有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过分步计数原理分析投信的方法数，区分组合与排列的适用场景，分情况计算“有男有女”的选法，结合分组分配与排除法计算住宿安排数，逐一验证选项. 【详解】A：每封信有3种投法，5封信的投法数为，正确. B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数，而非排列数，错误. C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，对应选法为、、，正确. D：5人住3个房间（每间最多2人），人数分配为. ①先分组：将5人分为的三组，分法为； ②安排房间：分组后分配到3个房间，方法数为； ③减去甲乙同住的情况：甲乙在同一2人组，剩余3人分为，分法为，分配房间数为； 最终符合条件的安排数为，正确. 故选：ACD 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），分别以A，B两点为切点的两条切线交点为，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，进而求得，即可判断AB，利用求得两切线方程，进而求得点的坐标，计算可判断C；求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D. 【详解】如图，，直线的斜率，则设直线的方程为， 联立得，得：，解得． 由，得，故A错误； 由于，则，故B正确； 所以，所以，， 又因为在第一象限，故在第四象限， 所以，， 所以， 设过点的切线方程为，代入抛物线方程可得， 整理得， 由判别式等于0，整理可得，解得， 所以过点的切线方程为，即①， 同理求得过点的切线方程为②， 联立①②可得，所以，又， 所以，故C正确； 因为直线的方程为，原点到直线的距离为， 所以，故D正确． 故选：BCD． 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据几何特征求出，再根据以及化简得出数列为等差数列即可求出；B根据A选项以及即可；C根据以及平方和公式即可；D由，结合裂项相消法即可. 【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，则，即，则， 设，则，， 则， 可得，即， 由，可得，故得， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为是等腰直角三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得，故C正确； 对于D，因为，， 当时，， 则，故D正确． 故选：ACD 第Ⅱ卷（共92分） 一、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 10080有________个不同的正因数. 【答案】72 【解析】 【分析】根据题意，对10080进行因数分解，结合分步乘法计数原理，即可得到结果. 【详解】， 10080的每一个正因数都可以表示为，其中，且为整数， 对于有6种可能的选法，即， 对于有3种可能的选法，即， 对于有2种可能的选法，即， 对于有2种可能的选法，即， 由分步乘法计数原理可得，10080的正因数有个， 故答案为：72. 13. 已知，求数列__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件时，求出，时通过前项和与前项和作差得，可得通项公式. 【详解】时，， 时，由， 有， 两式相减，得，则有， 时，不符合， 所以. 故答案为： 14. 椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆方程，再利用三角形面积公式及椭圆定义，结合余弦定理列式求解. 【详解】由椭圆，得椭圆的短半轴长，设该椭圆半焦距为， 由面积的最大值为，得，，即椭圆的方程为， 由椭圆的光学性质得过点与垂直的直线为的角平分线，而， 则，令， 则，而，， 于是，且， 由，得， 整理得，解得或， 当时，，点与点重合，不符合题意， 所以，. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可; （2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可. 【小问1详解】 由已知可设圆心，则，解得或（舍）， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，则， 即，解得， 又，所以，解得， 所以直线的方程为或 . 16. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，记数列的前n项和，求． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）2101 【解析】 【分析】（1）由等式构造数列中相邻两项，然后由等差数列的定义得证； （2）由（1）写出数列的通项公式，即可求得的通项公式； （3）由（2）得，然后由分组求和求得. 【小问1详解】 ∵，∴, ∴，且， ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知， ∴. 【小问3详解】 由（2）得， 则， ， . 17. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上及，结合抛物线定义求，得到方程； （2）设直线，由求出，由求解. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以，得， 因为抛物线的准线方程为，且， 由抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 设过点的直线的方程为， 由得， 设，则， 所以， 解得， 所以 18. 已知数列满足：，正项数列满足：，且． （1）求数列、的通项公式； （2）若，求数列的前2n项的和； （3）记，为数列的前n项积，证明：． 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，借助求出数列的通项公式，再利用累加法求出的通项公式. （2）根据给定条件，按奇偶分类求出数列的通项公式，再利用分组求和法、错位相减法求出前项的和. （3）由（1）得数列的通项公式，进而求出，再利用裂项相消法，结合不等式的放缩推理得证. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 两式相减得，则， 当时，，即，满足上式， 因此； 由，得， 当时， ， 而，因此，而满足上式，则， 所以数列、的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得，，， ， 令，则， 两式相减得，则； 令， 当为偶数时，，； 当为奇数时，，， 所以. 【小问3详解】 由（1）得，则， 因此 ， 所以. 19. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （ⅰ）证明：当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，则， 联立整理得，则，，，所以， 直线的方程为，由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上． 当时， ， 即直线恒过定点． 当直线的斜率为0时，直线的方程为，也过． 综上，直线恒过定点． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点，其伴随圆过点列方程组即可求得椭圆方程； （2）（i）分直线的斜率不为0和为0两种情况讨论，直线的斜率不为0时可设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合椭圆的对称性，利用韦达定理化简即可求得直线恒过定点； （ii）法一：设直线的方程为，分别求出，则可得，结合二次函数的性质即可得的取值范围； 法二：表示，再结合二次函数的性质即可得的取值范围； 法三：设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理化简可得，再结合二次函数的性质即可得的取值范围. 【小问1详解】 因为椭圆过点，其伴随圆过点． 所以解得 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）解：法一：由题意知的斜率存在且不为0，， 设直线的方程为，，，， ， ， ， 由（ⅰ）知且， 则 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故的取值范围为． 法二：， 由（ⅰ）知， ． （剩余部分同解法一） 法三：由（ⅰ）知直线恒过定点，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得， 则，， 恒成立， ， ， ， 因为，不妨设，， ， 因为，所以，所以，所以， 故的取值范围为． 【点睛】对于范围和最值问题，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、二次函数的性质以及利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或二次函数的性质或求函数值域的方法求出最值或范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市十一高中2025-2026学年度高二上学期第三学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A 24 B. 48 C. 144 D. 240 5. 已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列满足（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，且，则（ ） A. B. 5050 C. D. 4950 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D. 有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），分别以A，B两点为切点的两条切线交点为，若，则以下结论正确的是（ ） A B. C. D. 的面积为 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 第Ⅱ卷（共92分） 一、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 10080有________个不同的正因数. 13. 已知，求数列__________. 14. 椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 16. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，记数列的前n项和，求． 17. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积． 18. 已知数列满足：，正项数列满足：，且． （1）求数列、通项公式； （2）若，求数列前2n项的和； （3）记，为数列的前n项积，证明：． 19. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $