精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

高二数学9月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标平面的对称性求解． 【详解】点A关于平面的对称点的坐标是， 故选：B． 2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由斜率公式得出，进而得出直线的倾斜角. 【详解】 因为倾斜角，所以 故选：B 3. 已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A. x＝，y＝1 B. x＝，y＝－4 C. x＝2，y＝－ D. x＝1，y＝－1 【答案】B 【解析】 【分析】由题得a＋2b＝λ(2a－b)，即解方程组即得解. 【详解】由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)． ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)， ∴ 解得 故答案为B 【点睛】本题主要考查空间平行位置关系的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4. O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间四点共面的向量表示公式即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 因为A，B，C，P四点共面， 所以，即， 故选：C 5. 如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 6. 在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（ ） A. 若点，关于平面对称，则 B. 若点，关于平面对称，则 C. 若点，关于轴对称，则 D. 若点，关于轴对称，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间点对称法则求得对称点的坐标求解即可判断. 【详解】若点，关于平面对称，则， 所以，故A，B错误； 若点，关于轴对称，则， 所以，故C正确；D错误； 故选：C 7. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，连接，建系标点，求直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】连接交于点，连接， 因为该几何体是一个高为4的正八面体， 所以，，， 设棱长为，则，， 所以在中，，即，解得， 以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A. 8. 如图，下列正方体中，为下底面的中心，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，验证是否等于0即可. 【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2， 对于A，， 则，与不垂直，A不是； 对于B，， 则，B是； 对于C，， 则与不垂直，C不是； 对于D，， 则，与不垂直，D不是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当，P，M三点共线时， D. 当时，的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A利用及平面向量基本定理即可；B取的中点N，即可得出，计算长度即可；C由共线性质即可；D利用基底化简得出，再化简得出，当，时，取最大值，但此时不满足. 【详解】对于A选项，易得，故，则共面，又有公共点，故点P在平面内，故A错误； 对于B选项，取的中点N，连接， 则，，则，， 则四边形为平行四边形， 则当时，，， 可知此时点P的轨迹为线段AN，其长度为， 故B正确； 对于C选项，由，与三点共线，可知，故C正确； 对于D选项，显然为一组正交基底， 而， 故 ， 而， 故， 因，，故当，时，最大为， 此时不满足，故的最大值不为，故D错误． 故选：BC． 10. 在正方体中，，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在直线与平面内的直线成角 D. 若，分别为的三等分点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B，确定点F在以H为圆心，半径为的圆上运动，结合弧长公式即可判断；对于C，求出与平面所成角的最小值，即可判断；对于D，建立空间直角坐标系，求出关于平面的对称点为，再由空间两点间距离公式可得. 【详解】对于A，连接，则,     又平面平面，故, 平面，故平面， 平面，故，同理， 平面，故平面， 平面，故平面平面，A正确； 对于B，取的中点为H，连接， 则平面，平面，故，        由于，故， 即点F在以H为圆心，半径为的圆上运动， 结合题意知F轨迹为该圆在平面内的圆弧，如图圆弧， 则，则， 故F轨迹长度为，B正确； 对于C，从正方体中分离出四棱锥，的中点为H，     平面，则， ， 则与平面所成角的最小值为，, 即，故平面内不存在一条直线与直线成角，C错误； 对于D，以D为原点建立空间直角坐标系，如图： 则， 因为，分别为的三等分点，所以， 设关于平面的对称点为，则， 由三点共线可知的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，以及向量的数量积和模的计算公式，逐项求解，即可求解. 【详解】由题意知，平行六面体中，且， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 则 ，所以，所以B错误； 对于C，由，所以C正确； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题. 12. 已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________. 【答案】. 【解析】 【分析】由圆的方程，得到圆心的坐标，由圆的特征可得： ，从而可求出直线的斜率，再由直线过点，即可得出直线方程. 【详解】因为圆的圆心坐标为，又点坐标为， 所以直线的斜率为； 又因为是圆的一条弦，为的中点， 所以，故，即直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故答案为 【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及由弦中点坐标，求弦所在直线方程的问题，属于常考题型. 13. 已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________. 【答案】()． 【解析】 【分析】先由题中条件，得到两圆的圆心和半径，设动圆的半径为，动圆与定圆位置关系，得出等量关系，推出动圆圆心轨迹为椭圆去掉左顶点，进而可求出结果. 【详解】由圆，圆得到，半径，，半径， 设动圆的半径为，∵圆在圆内，∴动圆只能在内与圆内切，不能是在动圆内，即：， ∵动圆与圆外切，∴，∵动圆与圆内切，∴， ∴，即到和到的距离之和为定值， ∴是以、为焦点的椭圆，且，，所以， ∴动圆圆心的轨迹方程为， 又圆过点，椭圆也过点，而点显然不在圆上， 所以所求轨迹方程为：. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，下列说法正确的序号是__________. ① ②双曲线的离心率为2 ③的面积为 ④直线的斜率为 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，由和双曲线的定义可得，，进而可得；对于②，由直线的斜率为，可得，在由余弦定理可得，进而可得；对于③，由可得，进而由可得；对于④，由点差法可得. 【详解】如图所示，对于①，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以，①正确． 对于②，已知直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则为锐角且，可得， 则， 在中，由余弦定理得， 即， 所以，因为，解得，②错误． 对于③，因为为钝角，则， 因，故， ，③错误． 对于④，设，则， 可得，因为，则， 由得，所以，则，④正确． 【点睛】关键点点睛：④直线的斜率为中点弦问题，考虑用点差法，设点做差可得，进而可得. 四、解答题 15. ABC的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3)．求： （Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程； （Ⅱ）BC边上高线AH所在直线的方程． 【答案】（Ⅰ）2x－3y+6=0；（Ⅱ）2x－y+6=0． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求得BC的中点坐标，利用点斜式即可求得BC边上中线AD所在直线的方程； （Ⅱ）可求得BC的斜率，继而可求得BC边上高线AH所在直线的斜率，利用点斜式即可求得AH所在直线的方程． 【详解】（Ⅰ）∵A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），∴BC的中点M（0，2）， ∴BC边上中线AD所在直线的方程为：y﹣2＝（x﹣0），∴2x﹣3y+6＝0； （Ⅱ）∵BC的斜率kBC＝﹣，∴BC边上高线AH所在直线的斜率kAH＝2， ∴由点斜式得AH所在直线的方程为：y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0． 【点睛】本题考查直线的点斜式方程与直线垂直间的关系，属于基础题． 16. （1）已知两直线，．求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程； （2）已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围． ①曲线是椭圆； ②曲线是双曲线． 【答案】（1）；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求出两条直线的交点坐标，设所求直线方程为，代入即可； （2）根据椭圆的标准方程可得；根据双曲线的标准方程可得，求解即可. 【详解】（1）联立，得，即两条直线的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 将代入得，即， 所以所求直线方程为； （2）①曲线的方程为， ，又曲线是椭圆， ，解得且， 故实数的取值范围为； ②曲线是双曲线， ，解得或， 故实数的取值范围为. 17. 如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． （1）求质点移动一次移动到顶点的概率； （2）求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； （3）求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件“质点移动一次移动到顶点”，根据古典概型即可求解； （2）设事件“质点移动2次后移动到顶点”，事件“质点移动2次后移动到顶点”，利用事件的独立性即可求解； （3）设事件“质点移动3次后移动到顶点”，事件“质点移动3次后移动到顶点”，先求，再利用即可求解. 【小问1详解】 设事件“质点移动一次移动到顶点”，因为质点从顶点出发， 且每次等可能地沿棱移动到顶点，，处，所以； 【小问2详解】 设事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件包括下列三种情况：；；， 所以； 事件包括下列两种情况：；， 所以， 则， 即这两个质点移动2次后都移动到顶点的概率为； 【小问3详解】 设事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件包含下列6种情况：，，，， ，， 则； 事件包含下列7种情况：，，；，，，， 所以， 则， 即这两个质点移动3次后至少有一个移动到顶点的概率为． 18. 如图，四棱锥中，是正三角形，平面，，，为的中点，为直线与平面所成的角，且，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面平面， 所以． 所以，又因为是正三角形，所以． 又因为，，所以， 则， 则，所以． 又因为为的中点，所以，又因为，，平面， 所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）证明：因为点为中点，所以，又因为，， 所以，即， 即，所以，． 因为为直线与平面所成的角， 所以过点作平面，垂足一定在直线上， 因为平面，所以， 又因为是正三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 且为的中点，所以； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，即证即可； （2）利用余弦定理计算，得，又为直线与平面所成的角，过点作平面，垂足一定在直线上，利用线面垂直的判定定理即可得证平面，进而得证； （3）连接，得即为二面角的平面角，进而得，，利用正弦定理得，进而得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，且，，所以， 所以，连接，因为为的中点，所以， 又因为，则即为二面角的平面角， 即， 在中，又因为， 所以， 由正弦定理得：，即， 解得， 所以，所以． 19. 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． （1）若，，求； （2）已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i）当时，，变换公式为， 即由上式解出：，． 代入直线方程，得． 若且，则，与、不全为零矛盾， 故上式是关于的一次方程，表示一条直线．所以点在某一条直线上． （ii）存在，，（）． 设不动直线为：（，不全为零）．对上任意点，要求也在上： ， 即对上任意点成立，故该直线与表示同一直线． 若（不过原点）：两方程对应系数成比例，且常数项之比为， 故，，均等价于，即（）． 此时：，． 若（过原点）：直线为，变换后为． 两过原点直线表示同一直线，当且仅当对应系数成比例（看，的情形）： ． 若，即，则：，即上面的情形； 若，即（），则：． 当时：，变换后为，不是同一直线； 当时：，变换后为，也不是同一直线，均排除． 综上，满足条件的直线为，（）． 【解析】 【分析】（1）直接代入定义：先求数量积和模方，再按公式计算即可， （2）（i）由定义写出时的坐标变换，反解出用表示，代入原直线方程，得到关于的一次方程，系数不全为零，故在一条直线上，（ii）设不动直线，将变换式代入，要求所得直线与原直线重合，分与讨论，比较系数得或，即与. 【小问1详解】 ，，则，， 故． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学9月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A. x＝，y＝1 B. x＝，y＝－4 C. x＝2，y＝－ D. x＝1，y＝－1 4. O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，已知点，（与点不重合），则下列结论正确的是（ ） A. 若点，关于平面对称，则 B. 若点，关于平面对称，则 C. 若点，关于轴对称，则 D. 若点，关于轴对称，则 7. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列正方体中，为下底面的中心，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当，P，M三点共线时， D. 当时，的最大值为 10. 在正方体中，，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在直线与平面内的直线成角 D. 若，分别为的三等分点，则的最小值为 11. 如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题. 12. 已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________. 13. 已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，下列说法正确的序号是__________. ① ②双曲线的离心率为2 ③的面积为 ④直线的斜率为 四、解答题 15. ABC的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3)．求： （Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程； （Ⅱ）BC边上高线AH所在直线的方程． 16. （1）已知两直线，．求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程； （2）已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围． ①曲线是椭圆； ②曲线是双曲线． 17. 如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． （1）求质点移动一次移动到顶点的概率； （2）求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； （3）求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 18. 如图，四棱锥中，是正三角形，平面，，，为的中点，为直线与平面所成的角，且，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． （1）若，，求； （2）已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $