四川省成都市第七中学2026-2027学年高三上学期10月小练习数学试题

数学答案及评分标准 1.A2.D3.B4.C5.A6.B7.D8.C 8.【详解】对于A,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增，即有m>0,则A错误； 对于B,由二次函数的单调性可得g)在（←，-递减，在(-，+∞）递增，则n>0不恒成立，则B错误： 对于C,若m=-n,可得f(c)-fx2)=-[gc1)-gx2], 即为f(x1)+g(x1)=f(x2)+g2) 设(x)=x2+ax+2x,则应有x1)=(x2), 而(x)=2x+a+2xln2,对于任意的a,(x)不恒大于0或小于0， 即(x)在定义域上有增有减，则C正确： 对于D,若m=n,可得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),即为g(x1)-f(x1)=g(x2)-fx2), 设(x)=x2+Qx-2x,则应有x1)=(x2), 而(x)=2x+a-2rln2,当a→-∞，(x)小于0，(x)单调递减，则D错误. 9.ABD 10.AD11.ABC 10.【详解】若数列{an}是递增数列，当数列am<0时，{S,n}是递减数列，故A正确： 数列{S,m}是递增数列不能推出数列{a}的各项均为正数， 例如：0,1,2,3，，故B不正确；S1·S2…Sk=0不能推出a1·a2…Qk=0. 例如：-3，-1,1,3，故c不正确： 等比数列，S1S2…Sk=0(k≥2)，乘积为0，说明至少某个Sm=0,且q≠1. 等比求和Sm=19四=0→qm=1,所以公比g=-1, 1-q 此时an+1=an·(-1),即an+an+1=0; 反过来，若an+an+1=0,则q=-1,所以S2t=0,k≥2时乘积为0，D正确。 11.【详解】A,设A(1y),B(x2,y2),C,y3),焦点为F0,月，x3=2, 因为焦点F是AABC的重心，所以5+=0，+%+2=号 3 所以+幻=-2+%+%号又==品%=器%=器 所器-其-学-号士专所如-2人江疏 B,由抛物线的定义AFL IBF,ICF份别等于A,B,C三点到准线的距离，而准线方程为y=一号 所以AF|=y+|BFI=y2+,ICFI=y3+号， 所以AF1+BF1+Gf=4+必+为+号-+号=3印=6为定值，B正确： C,1+归+为=号=3得鲜++9-3，即x好+x好+好=12， 又x1+x2+X3=0,则x3=-(c1+x2), 所以x好+x3+1+x2)2=12,即x3+x1x2+x好-6=0， 将其看作关于x2的一元二次方程， 因为x2存在，则4=x好-4(x好-6)≥0，解得x1|≤2W2, 同理Ix2l≤2W2,x3|≤22， 当x1=±2W2时，x2=干V2,x3=千V2, 此时B,C重合，不能构成三角形，故x1l≠22， 同理|x2≠2V2,lx3l≠2√2， 综上，△ABC任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于2√2.故C正确， xix D,不纺设B=90即B1186,k9A==票-学ac-学 4 4 则+.=-1，因为x1+X2=-X3,X2+x3=一x1,所以x1X93=-16, 4 由C可知x3+X1x3+x2-6=0,即x3+x2=22, 则c1+x3)2=x好+x?+2x1x3=22-32=-10,无实数解，所以不可能是直角三角形.故D错误. YA 12.313.(6,+∞)14.y3 4 14.【解析】 M C - H 0!_ 设球心为M,三角形ABC截面小圆的圆心为O, :△ABC是等边三角形，LAPQ=∠BPQ=LCPQ=30° ,P在面ABC的投影0是等边AABC的重心（此时四心合一），PQ是直径， .∠PCQ=90°.PC=4cos30°=23，：P0=2V3.cos30°=3.0C=2V3sin30°=V3, 0是等边AABC的重心，∴0C=0H, 等边48c的商0H-9,4c- in6003. 三棱维p-ABC体积V=P0·5ac=×3××29x3=日 4 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1)f)=号six+cosx+号=sin6k+3+3分 令x+=kπ+(kEZ),整理得x=kπ+(kEZ), 所以函数f(x)的图象的对称轴方程为x=km+(化EZ).…6分 2)由1)得f)=sin(c+月+由于x[-元0]，所以-g≤x+≤君 …9分 则-1≤simc+爱≤子所以-2≤f(x)≤1，·函数f()的值域为[-，1].…13分 16.(1) N M B 连结BD,设O为BD的中点. 因为M,N分别是BC,GH的中点，所以NH/CD,1分 且NH=号CD,MW/OH,且NH=号CD,所以OM/WH,…2分 又OM=NH,所以OMWH是平行四边形，从而MN/OH,…4分 又OHc平面BDH,MN/平面BDH,MN丈平面BDH, 所以MN/平面BDH.…6分 (2) H N F D A B 连结AC,过M作MP⊥AC于P. 过P作PK⊥EG于K,连结KM,因为KM∩PK=K,且KM,PKC平面PKM,所以EG⊥平面PKM, …8分 又因为KMc平面PKM,从而KM⊥EG 所以∠PKM是二面角A-EG-M的平面角.…I0分 设AD=2,则CM=1,PK=2, 在RtACMPE中，PM=CMsin45°=9.…12分 2 在RtAKMP中，KM=VPK2+PM-3 2 .…14分 所hsin-PKM以=器= 即二面角A一EG一-M的正弦值为号 …15分 17.(1)由题意可知P(X=1)=号…1分 P0=2)=1-月×g京2分 PG<3)=Px=)+P=2)=+若=云…4分 (2)依题意得P《=3)=1-p)2·p+(1-p)-6 …6分 即1刊一总解得即-与该考合去)，所p分 (3)当n>2k时，X>k说明前k次均未抽到次品，则P(X>k)=(1-p)k,X>2k,…10分 说明前2k次均未抽到次品，则P(X>2k)=(1-p)2k,…12分 因为(1-p)2k=[(1-p)k]2,所以P(X>2k)=[P(X>k)]2.…15分 18.设椭圆的焦距为2c,则F(-c,0),F2(c,0) (1)①B(0,b),BF2=Vb2+c2=Q,…1分 又BF2=V2,故a=V2,…2分 161 :点cG的在椭圆上，六亭+产=1，解得62=1，故所求椭圆的方程为号+)2=1.……4分 ②设直线的方程为x=my+1,易知m存在且不为0， 将直线方程代入椭圆方程号+y2=1中，整理得：m2+2y2+2my-1=0 设P6以.Q6,以)，由韦达定理可得：+2=W2=品 -1 …6分 中点M坐标：w=2=一2，=myw+1=m()+1= 2 2 m2+2 弦长PQ:y1-y2|=V0y1+y2)2-4yy2=， += 4m2 m2+2 IPQl-V1+mz.ly,-yal =2V7( m2+2 垂直平分线过中点N2)且斜率为-m(当m士0时)， 方程为：y-w=-m(c-xw）→y+2=一mc-n) 令y=0,求N的横坐标w:2=-m心w）→W=中 1 +2m+P+件 2 IMNI=(M-XN)2+M-0)2= 1 m2 Vm2+1 √m+2+om2+2=m2+2 因此，4PQN的面积表达式为： s1 MM m2+2 …8分 (m2+2)2 设t=Vm2+1≥1，则m2+1=t2,m2+2=t2+1. 于是s0=c≥， S0）=V23+9222+1)2=V2t+13c+0-49=V2g-9 …10分 (t2+1)4 (t2+1)4 (t2+1)3 当1≤t<V3时，S'(t)>0,f(t)单调递增； 当t>V3时，S'(t)<0,S(t)单调递减. 因此，当t=V3(即m2=2,m=士V2)时，S(t)取得最大值： S(V③=V2=35,因此APQN面积的最大值为g (3+1)2-163 …12分 (2):B(0,D).,(G,0)在直线AB上，∴直线AB的方程为+名=1， (+=1 2a2c X1= 解方程组 x y2 得 a2+c2 货二8点4的坐标为二.1B分 2=0. a+6=1 b(c2-a3’ y1= a2+c3 又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为（一二，，。 …15分 a2-c-0_b(a2-c :直线FC的斜率为。手 3a2c+c2' 直线AB的斜率为-名且C1B,是·（月=-1又2=a2-2, 整理得a2=5c,故e2=专因此e=昌 …17分 19.（1)由已知，(x)=ax-xlna,有(x)=a*lna-lna=(ax-1)lna..1分 令x)=0,解得x=0. 由a>1,可知当x变化时，x),x)的变化情况如下表： (-∞，0) 0 (0,+∞) (x) 一 0 + h(x) y 极小值 7 所以函数(x)的单调递减区间为(-，0)，单调递增区间为(0，+∞).…3分 (2)曲线y=f(x)在点(x1,a)处的切线l1:y-a=axlna·(x-x) 曲线y=g6在点(1ogag)处的切线：y-1og=c-x.…4分 要证明当a≥e时，存在直线l,使是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=gx)的切线， 只需证明当a≥e时，存在x1∈(-∞，+∞)，x2∈(0，+∞)，使得l1和l2重合. 即只需证明当a≥e时，方程组 nd0 有解， a-x1alna-lg 由@得e=ada代入②，得a-xa9a+x+品+g=0.国…6分 1 因此，只需证明当a≥e时，关于x1的方程③存在实数解. 设函数u6)=a-xana+x+点+0a Ina 即要证明当a≥e时，函数y=u(x)存在零点.。 由u(x)=1-Qna2xax,可知x∈(-∞，0)时，u(x)>0;x∈(0，+∞)时，u'x)单调递减， 而又由u(0)=1>0,ual=1-aa<0, 故存在唯一的x,且x>0,使得u(x)=0,即1-na)xoax0=0.…7分 由此可得u()在(-∞，xo)上单调递增，在(xo,+∞)上单调递减.u(x)在x=x处取得极大值u(x). 因为a≥e,故In(Ina)≥-1， 三+2 2inina 所以u(xo)=a*o-xoa*olna+Xo+ia Ina 1 2Inlna Xo(Ina)2++ Ina ≥2+21nla0≥0.…8分 Ina 下面证明存在实数t,使得u()<0. 由1)可得a≥1+ha,当x>品时， 1 2lnlna u)≤(1+xna)1-tna）+x+iia Ina =-0m)2x2+x+1+品+g,根据二次函数的性质， Ina 所以存在实数t,使得u(t)<0, 因此，当a≥e时，存在x1e(-∞，+∞)，使得u(c1)=0. 所以，当a≥e时，存在直线l,使是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g)的切线.…10分 (3)(i)当a>1时f)=ax与gx)=logax最多有两个交点，不符合题意舍去： 证明如下：a=-ar=2a-器-aas=x-l 令(x)=x·nx,则有(a)=(x), 其中函数(x)=x·nx图象如下， y=xlnx e 在(0，单调递增，台+)单调递增， 当a>1时，ax>1,(a)>0,即：x)>0则x>1, 而)=x,血x在(L,+)上单调递增，所以a*=x,即：lha=g 所以由图可知： yf(x) 当0<lna<时，两个交点，→1<a<e, 当lma=-时一个交点，→a=ei, 当lna>时，没有交点，→a>e,故不符合题意.…12分 (i)法1：下面只需考虑0<a<1时，f(x)=ax与g(x)=logax交点的个数即可； 两边取对数得x血a=血（台， 令p6)=tna-h.0<x<1,则p)=a-品-=(x一点，…l4分 由于e>0,令p=0,可得xlx=a-<品a<0, 令y=xn,所以y=x+1,令y=0,解得x= 当xe(0,日时，y<0,当xeG,+∞)时，y>0, 所以y=xx在(0，马上单调递减，在C,+∞)上单调递增， 所以x=时，y=-,由图象可得p)=0有两个解x,x2,且0<x1<<x2<1, 那么y=p(x)在(0，x),(2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减， 又p)=xna-h(2）=点-2h(-l)-lhx,>0, p2)=x2lna-lh()=-2血(-lg）-ln2<0, 把-l,-lmx,看成一个整体，由均值不等式可得xE[L,+o),l血x≤会 所以x-是-2mx≥0， 当xe(0,1,lx≥所以x-是2r≤0， 因为0<x<后<x2<1,得->1>-2>0，所以p()>0>p2) 当x→0时，p()→-∞，当x→1时，p(x)→+∞， 又y=p(x)在(0，x1),(2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减， 则y=p(x)在(0，x),c2,+∞)(c1,x2)三个区间各有一个零点， 所以曲线f(x)=Qx与gx)=logax有三个交点， 即：-<点<0时符合题意，解得：0<a<e.…l7分 法2：当0<a<1时，此时0<x<1, 设n60=a-logn0四=a:haa=aaaa (x)=xa*In2a-1,(x)=axIn2a(1+xlna), 令p)=0,则x=一品a所以p()在(0，一之是递增的，在（品a+)是递减的，…14分 所以gmax=p(←白=-g2-1: i.若-_1na-1≤0，即ee≤a<1时， 此时p(x)≤0则n'(x)≥0，所以n(x)=ax-logax,又是增函数， 又n(1)=a≥0，n(@)=aa-1<0则只有一个零点， i.若-2-1>0，即0<a<ee时，p0)=-1<0,p(点)>0，p(①=al血2a-1<0,所以p()有两个零点x,x2,其 中x1e0,-台2∈（点a,), 所以n(x)=ax-logaax,在x∈(0，x1)是增区间，x∈c1,x2)是减区间，x∈(x2,+∞)是增区间， 由零点存在定理得： 零点1：n(白=loga(-a)=loga(←a.lna)>0, 设m(G)=-xx,m()=-上x1Qm*+9)>0,则m6)在(0，e)上递增， 所以m()<m(e)=1,所以n(a)>0, 考点2zn0=a2bga=a+品-i<0n回）=a-1<0n0=a>0. 所以一定有n)>n(白)>0，n(2)≤n白<0，所以有三个零点.…17分 数学10月小练习 （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 已知复数，则的共轭复数在复平面上对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． 已知集合，则 A．{ B．{ C． D．{ 3． 若且，则的值是 A． B． C． D． 4． 设双曲线经过点和点，则的渐近线方程为 A． B． C． D． 5． 已知平面向量均为单位向量，若，则 A． B． C． D． 6． 为了迎接成都西博城人工智能展，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有 A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 7． 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为1和2，该棱台的高为，则其体积为 A． B． C． D．7 8． 已知函数（其中）．对于不相等的实数，设，，如下说法中正确的为 A．对于任意不相等的实数，都有 B． 对于任意的及任意不相等的实数，都有 C． 对于任意的，存在不相等的实数，使得 D． 对于任意的，存在不相等的实数，使得 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知直线，圆，则下列说法正确的是 A．圆的圆心坐标为 B．直线与圆相交 C．圆与圆相切 D．圆上存在4个点到直线的距离为1 10． 若数列的前项和为，则下列说法正确的是 A．若数列是递增数列，数列可能不是递增数列 B．数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 C．若是等差数列公差不为，则是的充分不必要条件 D．若是等比数列，则的充要条件是 11． 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为2时，直线的斜率等于，则 A． B．是定值 C． 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D．可能是直角三角形 第二部分（非选择题共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． ． 13． 若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是. 14． 已知球O的直径PQ＝4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，则三棱锥P－ABC的体积为________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15． 已知函数． （1）求函数的图象的对称轴方程； （2）求函数在区间上的值域． 16． 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为. （1）在直观图中标出点证明：直线//平面； （2）求二面角的正弦值. 17． 成都某玩具厂对一批熊猫玩具进行抽样质检，每次抽检1件玩具，至多抽检次（整数），当且仅当抽到1件次品或件玩具均为正品时，停止抽检．已知每件玩具是次品的概率为，各件玩具是否为次品相互独立．记为停止抽检时抽检的玩具件数． （1）当时，求质检员停止抽检时抽检的玩具件数小于3的概率； （2）当时，质检员停止抽检时抽检的玩具件数为3的概率，求； （3）当时，记停止抽检时抽检的玩具件数大于的概率为，停止抽检时抽检的玩具件数大于的概率为，证明：． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接． （1）若点的坐标为，且， ①求椭圆的方程； ②若斜率存在且不为0的直线经过点，且与椭圆交于两点.线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值； （2） 若，求椭圆离心率的值． 19. 已知函数，其中且. （1）若，求函数的单调区间； （2）证明：当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线． （3） 若函数与的图象恰有三个交点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $