精品解析：辽宁本溪市第十二中学2026-2027学年上学期九年级9月学情自测数学试卷

2027届九年级第一次数学思维与逻辑推演赛 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，为假命题的是（ ） A. 矩形的四个角相等 B. 平行四边形的对角相等 C. 有两角相等的三角形是等腰三角形 D. 菱形的对角线相等 4. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为 A. B. C. D. 6. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（，，为常数，）的一个解的范围为（ ） 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A. B. C. D. 7. 某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E在上，连接，垂直平分，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 9. 如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 沈阳故宫作为国家一级博物馆，是沈阳标志性文旅地标，某黄金周期间，沈阳故宫累计接待参观游客21.8万人次，将21.8万这个数用科学记数法表示为_____． 12. 已知，则＝_____． 13. 关于的方程的解为正数，则的取值范围为______． 14. 设是方程的两个根，且，则的值为_____． 15. 在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点，作点C关于直线的对称点F，点F与点E在直线的同侧．当时，在平面内找点G，使以A，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形，则的长为________． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． （1）求足球和排球的单价各是多少元； （2）根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 19. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F： 随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如表： 已知笔试成绩中，D组的数据如下：87，89，85，88，86，85，87，86，85 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是______． （2）______，并补全图2中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是______； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 20. 在中，，，点D是边上一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接． （1）利用尺规作图，作出当点A、E、D三点在同一直线时的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，点F在射线上，且点F与点B关于点D成中心对称，连接．求证：． 21. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 22. 如图，在中，，． （1）点D在边上，连接． ①如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求证：； ②如图2，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若，，求的面积； （2）如图3，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，过点A作交于点H，求证：． 23. 请阅读下面材料：我们称函数为函数y的m分函数（其中m为常数）.例：关于x的一次函数的分函数为. 根据材料完成下列题目 （1）在平面直角坐标系中直接画出的分函数图象，并结合图象回答下面问题： ①已知当时，随x的增大而增大，则的取值范围为______； ②当时，，则的值为______； ③在平面直角坐标系中有两个点和，连接．若点为图像上一点，当时，请求出点坐标； （2）若点，，连接，当关于的一次函数的分函数，与线段有两个交点，请直接写出的取值范围____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届九年级第一次数学思维与逻辑推演赛 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义判断即可． 【详解】A选项：只是中心对称图形，不符合题意； B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C选项：只是轴对称图形，不符合题意； D选项：只是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、由负整数指数幂运算法则，， A错误； B、由零指数幂运算法则，非零数的0次幂等于1，，B正确； C、由立方根运算法则，，C错误； D、由平方根运算法则，，D错误． 3. 下列命题中，为假命题的是（ ） A. 矩形的四个角相等 B. 平行四边形的对角相等 C. 有两角相等的三角形是等腰三角形 D. 菱形的对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，根据相关概念和性质即可解答． 【详解】解：A：矩形的四个角均为，故A为真命题； B：平行四边形的对角相等，故B为真命题； C：等角对等边，故有两角相等的三角形是等腰三角形，C为真命题； D：菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等，矩形的对角线相等，故D为假命题． 故选：D． 4. 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，然后利用直角三角形的两锐角互余得到计算即可． 【详解】解：∵, ∴， 又∵， ∴， ∴． 5. 已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限， ∴b＞0，a＜0， 把（2，0）代入解析式y=ax+b得：0=2a+b， 解得：2a=-b =-2， ∵a（x-1）-b＞0， ∴a（x-1）＞b， ∵a＜0， ∴x-1＜， ∴x＜-1， 故选A． 6. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（，，为常数，）的一个解的范围为（ ） 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键，根据表格中的数据发现，在到2之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在18和10之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是． 【详解】解：由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为． 故选． 7. 某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形，解题关键是熟练掌握正多边形的每个内角的求法和外角和．先根据正六边形的每个内角是，求出，再求出，从而求出图3中正多边形每个内角的度数，从而求出每个外角的度数，最后根据多边形外角和为，列出算式求出即可． 【详解】解：正六边形每个内角是， ， ， 图3中正多边形的每个内角为， ， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E在上，连接，垂直平分，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，，由垂直平分线的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线相交于点O， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的性质和证明，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ∴． 10. 如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点P运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：根据点P运动，可得， 设与间的距离是d， 当点P在上时，， 解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点P运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 沈阳故宫作为国家一级博物馆，是沈阳标志性文旅地标，某黄金周期间，沈阳故宫累计接待参观游客21.8万人次，将21.8万这个数用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：21.8万． 12. 已知，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，再把化成，即可得出答案． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件得出． 13. 关于的方程的解为正数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：即， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且， 解得，且． 故答案为：且． 14. 设是方程的两个根，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， 则，， ∴ 故答案为：． 15. 在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点，作点C关于直线的对称点F，点F与点E在直线的同侧．当时，在平面内找点G，使以A，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形，则的长为________． 【答案】或10 【解析】 【分析】先利用直角三角形的性质求出各边长，结合轴对称性质得到的长度，再根据确定各点坐标，最后分情况根据平行四边形对角线互相平分的性质计算的长度． 【详解】解：如图，过点F作于点H， 在中，，，， ， 由勾股定理得， 点是的中点， ， 点和点关于直线对称， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 如图，以点B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，，，， 设点G的坐标为， 分三种情况讨论： 若为平行四边形的对角线， ，解得， ∴， ∴； 若为平行四边形的对角线， ，解得， ∴， ∴； 若为平行四边形的对角线，可得 ，解得， ∴， ∴； 综上所述，的长为或10． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算先进行化简，然后再根据二次根式的运算进行求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 18. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元． （1）求足球和排球的单价各是多少元； （2）根据学校的实际情况，需要一次性购买足球和排球共100个，若要求总费用不超过7100元，则学校最多可以购买_______个足球． 【答案】（1）80元；65元 （2）40 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，解题的关键是：审清题意、正确列出分式方程、一元一次不等式成为解题的关键． （1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量、总价、单价的关系，结合用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并经检验即可； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价、单价、数量的数量关系，结合购买足球和排球的总费用不超过7100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可解答． 【小问1详解】 解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； 【小问2详解】 解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为40． ∴学校最多可以购买40个足球． 故答案为：40． 19. 为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F： 随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如表： 已知笔试成绩中，D组的数据如下：87，89，85，88，86，85，87，86，85 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是______． （2）______，并补全图2中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是______； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 【答案】（1） （2）20，补全频数分布直方图如下： （3）86 （4）解：乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下： 甲同学的成绩为（分），乙同学的成绩为（分）， ∵， ∴乙同学能获得“环保之星”称号． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、频数分布直方图、中位数及加权平均数，解题的关键是理解题意； （1）由题意及统计图可知“E组”人数所占百分比，然后问题可求解； （2）由统计图可知，然后可补全统计图； （3）由题意易得中位数落在“D组”，然后根据中位数的定义进行求解即可； （4）根据加权平均数分别得出甲乙两位同学的成绩，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知：“E组”人数所占百分比为， ∴“E组”所对应的扇形的圆心角是； 【小问2详解】 解：由统计图可知，则有“B组”的人数为名， 补全频数分布直方图如下（略）； 【小问3详解】 解：由中位数的定义可知：被抽取有20人，第10名和第11名数据的平均数即为中位数， ∵“C组”的人数为名，“B组”的人数为名，“F组”的人数为名，则有“A组”的人数为名， ∴中位数落在“D组”， ∴把D组的数据按从小到大的顺序排列如下：85，85，85，86，86，87，87，88，89，则第10名和第11名数据分别为86、86， ∴中位数为； 【小问4详解】 略 20. 在中，，，点D是边上一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接． （1）利用尺规作图，作出当点A、E、D三点在同一直线时的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，点F在射线上，且点F与点B关于点D成中心对称，连接．求证：． 【答案】（1）解：如图，点E，D即为求作的点， （2）证明：由（1）可知，，， ∴， ∵点F与点B关于点D成中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）以点A为顶点，以为一边，作，交于点D，以点C为圆心，以为半径画弧，交于点E，则点E，D即为求作的点 （2）先证明，再证明得出，进而可证结论成立． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 21. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20% （2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 【小问2详解】 解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 22. 如图，在中，，． （1）点D在边上，连接． ①如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求证：； ②如图2，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若，，求的面积； （2）如图3，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，过点A作交于点H，求证：． 【答案】（1） ①证明：∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴； ②4 （2） 过点A作且，连接，如图所示： ∵线段绕点C逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 又 ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据旋转得到，，即可得到，从而得到，即可得到证明； ②过点D作交BC的延长线于点M，，根据等腰三角形的判定和性质得出，再由旋转的性质得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，，得出，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解； （2）过点A作且，连接，根据旋转的性质及各角之间的关系得出，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，，利用正方形的判定和性质得出，确定为等边三角形，即可证明． 【小问1详解】 解：①略 ②过点D作交的延长线于点M，于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 略 23. 请阅读下面材料：我们称函数为函数y的m分函数（其中m为常数）.例：关于x的一次函数的分函数为. 根据材料完成下列题目 （1）在平面直角坐标系中直接画出的分函数图象，并结合图象回答下面问题： ①已知当时，随x的增大而增大，则的取值范围为______； ②当时，，则的值为______； ③在平面直角坐标系中有两个点和，连接．若点为图像上一点，当时，请求出点坐标； （2）若点，，连接，当关于的一次函数的分函数，与线段有两个交点，请直接写出的取值范围____________． 【答案】（1）如图， ①；②3；③或或； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据一次函数图象的性质解答； ②先写出函数关系式，可知有最大值为5，再代入关系式求出，可得答案； ③先求出直线的关系式，分两种情况表示，根据得出方程求出解； （2）先求出函数，再求出直线的关系式，然后联立求出解即可得出范围． 【小问1详解】 解：画图见答案， ①当时，函数值随着x的增大而增大， 所以a的取值范围是； ②函数关系式为：， 当时，的最大值为5． 当时，或， 解得或， ∴， ∴， 则； ③设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当点Q在上， 设点，直线上的点， 可得． ∵， ∴， 解得， 则点或； 当点Q在上，设点，直线上的点， 可得． ∵， ∴， 解得（舍去），，则点, 综上所述点Q的坐标为或或； 【小问2详解】 解：根据题意，函数， 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当直线交于点E时，， 解得； 当直线交于点F时，， 解得． 当时，该函数与线段有两个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $