精品解析：广东茂名市茂南区2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期九年级 数学质检练习（一） （范围：第一章至第二章 时间：120分钟 满分：120分） 一．单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 1或 C. 1 D. 2. 如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　 ） A. B. C. D. 4. 如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 9. 如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动，当时，点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将方程化为形式，则______，______． 12. 若a是方程的一个解，则的值是________． 13. 如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若， ，则菱形面积为________． 14. 如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______． 15. 如图，已知在中，，，，点在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接．随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值是________． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 17. 如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形． 18. 新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的一个根为1，求方程的另一个根． 20. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 21. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若点在上，且，则成立吗？为什么？ （3）运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 23. 【综合与实践】 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——“折纸”引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．由此，可判断与的数量关系为： ． 【初步应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （2）求证：． （3）若，，求折痕的长． 【迁移探究】如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （4）若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级 数学质检练习（一） （范围：第一章至第二章 时间：120分钟 满分：120分） 一．单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 1或 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 2. 如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形和等边三角形性质得出及度数，求出，结合计算即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ． 3. 如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； B、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； C、由可以使平行四边形是菱形，符合题意； D、由可以使平行四边形是矩形，不能使平行四边形成为菱形，不符合题意． 4. 如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得小长方形的面积和大正方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意，小长方形的面积为，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴空白部分的面积是． 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴． 6. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均增长率的等量关系，列方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 7. 为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：设参赛的足球队个数为个， 由题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 8. 设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动，当时，点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是判断出全等． 分两种情况：①当点在边上时，根据判断出，得出，得出点的坐标；②当点在边上时，同①的方法即可． 【详解】解：∵点的坐标为，轴，轴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ①当点在边上时， 在和中， ， ， ， ， ②当点在边上时， 同①的方法，得出， ， 或． 故选：C． 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可． 【详解】解：如图 ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8， ∴AB==5， 作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值， ∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点， ∴E′在AD上，且E′是AD的中点， ∵AD=AB， ∴AE=AE′， ∵F是BC的中点， ∴E′F=AB=5． 故选：C． 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将方程化为形式，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可． 【详解】解：∵， ∴， 配方得，即， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次方程时，先将常数项移到等号右边，并使二次项的系数为1，然后进行配方． 12. 若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程得到关系式，整理得到的值，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 13. 如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若， ，则菱形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，，根据尺规作图可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，再根据菱形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 由作图可知， ， ， ， ． 14. 如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为9时，它移动的距离等于_______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，证明是等腰直角三角形，得出，根据重叠部分面积列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，  ∵四边形是正方形， ∴，，，  由平移可知，，  ∴，  设与交于点G ， 在中，，，  ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴重叠部分四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形的高为， ∴， 解得：，  ∴移动的距离等于3． 15. 如图，已知在中，，，，点在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接．随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段的性质，勾股定理，连接，过点C作于点H，先求出，证明四边形是矩形，则，当的值最小时，的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长，则的最小值是线段的长，然后根据三角形的面积公式求出线段的长即可得出答案． 【详解】解：连接，过点C作于点H，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当的值最小时，的值为最小， 点P在斜边上（不与A、B重合）， 根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， 长度的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 17. 如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形． 【答案】 证明：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ∵ ∴，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和菱形的判定定理是关键．连接交于O，证与互相垂直平分，即可由菱形的判定定理得出结论． 【详解】略 18. 新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路宽度为1m 【解析】 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根 （2）m=3，另一根为2 【解析】 【分析】（1）根据方程表示出根的判别式，判断根的判别式大于等于0即可得证； （2）把x=1代入方程求出m的值，进而确定出方程，求出另一根即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：把x=1代入方程得：1-m+2m-4=0 解得：m=3， 把m=3代入得：， 解得：， 所以另一根为x=2． 【点睛】本题考查了根的判别式以及方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 20. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，证明，得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）设，则，由菱形的性质可得，，，，求出，由平行四边形的性质可得，结合勾股定理求出，最后由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）可得四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 21. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若点在上，且，则成立吗？为什么？ （3）运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2） 解：成立，理由： 由（1）得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即； 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； （3）5 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得四边相等，四个角都为直角，且，易证，再由全等三角形对应边相等即可求证； （2）由（1）可得与，再推导得出，由可得，所以，进而得出结论； （3）作垂线构造正方形，套用 (2) 结论，设未知数，由勾股定理列出方程，再求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 过点作，交延长线于点，取，连接． ∵，，， ∴四边形是矩形，又， ∴四边形是正方形，； 由（1）（2）模型结论：， ∵， ∴， 设，则， 即， 在中，有勾股定理， 即， ∴解得， ∴． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元；（3）该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出关系式，和一元二次方程是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，再减去其他开支，列出方程进行求解即可． （3）根据题意得到每千克的利润为元，，由此销售数量关系列式，根据完全平方公式的非负性即可求解． 【详解】解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系， 设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克， ∴， 解得，， 根据题意，销售单价不应低于成本10元，且日销售量不应为负数，即， 解得， ∴； （2）能； 由题意，得：，， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∴当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元； （3）设总利润为，由题意，得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 23. 【综合与实践】 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——“折纸”引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．由此，可判断与的数量关系为： ． 【初步应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （2）求证：． （3）若，，求折痕的长． 【迁移探究】如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （4）若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）5 （4）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，由矩形的性质得出，进而可得出，由等角对等边得出． （2）由折叠的性质可得出，由矩形的性质得出，进而可得出，又，即可得出． （3）设，则，在中，，利用勾股定理求出x，进而求出． （4）由折叠的性质得出，，，，得出，由全等三角形的性质得出，然后分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴ ∴． 【小问4详解】 解：由折叠的性质得：，，， ， ∴， 又， ∴， ∴， 分两种情况： 当点Q在线段上时， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当点Q在线段上时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $