广东茂名市茂南区2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年度第一学期 九年级数学质检练习（一） （范围：第一章至第二章 时间：120分钟 满分：120分） 一．单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为 A． B．或 C． D． 2．如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则 A． B． C． D． 3．如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是 A． B． C． D． 4．如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是 A． B． C． D． 5．已知，是方程的两个实数根，则的值是 A． B． C． D． 6．据国家统计局发布的《年国民经济和社会发展统计公报》显示，年和年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元．设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为 A． B． C． D． 7．为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排场比赛，则参赛的足球队个数为 A． B． C． D． 8．设，，其中为实数，则与的大小关系是 A． B． C． D．不能确定 9．如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，，点为线段的中点，点从点出发，在线段，上沿运动，当时，点的坐标为 A． B． C．或 D．或 10．如图，在菱形中，对角线，，点，分别是边，的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是 A． B． C． D． 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．将方程化为形式，则________，________． 12．若是方程的一个解，则的值是________． 13．如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若，，则菱形面积为________． 14．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为时，它移动的距离等于________． 15．如图，已知在中，，，，点在斜边上（不与、重合），过作，，垂足分别是、，连接．随着点在边上位置的改变，则长度的最小值是________． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 17．如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形． 18．新型科技广泛应用于智慧农业，为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的一个根为，求方程的另一个根． 20．如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 21．如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若点在上，且，则成立吗？为什么？ （3）运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则________． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为元时，日销售量为千克；销售单价为元时，日销售量为千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 23．【综合与实践】 八年级下册课本第页中的“数学活动”——“折纸”引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 （1）如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．由此，可判断与的数量关系为：________． 【初步应用】如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （2）求证：． （3）若，，求折痕的长． 【迁移探究】如图，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （4）若正方形纸片的边长为，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期 九年级数学质检练习（一）参考答案 一．选择题：本大题共小题，每小题3分，共30分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．A 9．C 10．C 二．填空题：本大题共小题，每小题3分，共15分． 11． 12． 13． 14． 15． 三．解答题（一）：本大题共小题，每小题8分，共24分． 16．（1）解：，或 ， （2）解： 或，，． 17．证明：连接，交于点，四边形是正方形， ，，， ，即， ∴四边形是平行四边形， ，∴四边形是菱形． 18．道路宽度为 解：设道路宽度为，依题意得， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 四．解答题（二）：本大题共小题，每小题9分，共27分． 19．（1）证明：，∴方程总有两个实数根 （2）解：把代入方程得 解得，把代入得，解得，，所以另一根为． 20．（1）证明：，，， ∵四边形为平行四边形，， ，，， 在和中，， ，， ，∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则，由（1）可得四边形是菱形， ，，，， ， ∵四边形为平行四边形，， 由勾股定理得，，（负值不符合题意，舍去）， ，，， ∴菱形的面积为． 21．（1）证明：∵四边形是正方形，，， 又，，； （2）解：成立，理由：由（1）得， ，，，， ，，即； 在和中，， ，， ，且，； （3）过点作，交延长线于点，取，连接． ，，， ∴四边形是矩形，又， ∴四边形是正方形，； 由（1）（2）模型结论：，， ，设，则， 即， 在中，有勾股定理，即，∴解得，． 五．解答题（三）：本大题共小题，每小题12分，共24分． 22．解：（1）日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，设，销售单价为元时，日销售量为千克，销售单价为元时，日销售量为千克， ，解得， 根据题意，销售单价不应低于成本元，且日销售量不应为负数，即， 解得，； （2）能；由题意，得，， ，解得，，，； ∴当蔬菜的销售单价定为元时，日销售利润为元； （3）设总利润为，由题意，得 ， ，∴当时，有最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 23．（1） （2）证明：由折叠的性质可得，∵四边形是矩形，， ，，，，， ． （3）解：∵四边形沿所在直线折叠， ，，， 设，则，在中，， 即，解得，，． （4）解：由折叠的性质得，，， ，，又， ，，分两种情况：当点在线段上时， ， ，， ， ， ； 当点在线段上时， ， ，， ， ， ，综上所述，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $