第3章 §3 指数函数 3.1 3.2 第3课时 指数函数图象和性质的综合应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 本练习聚焦指数函数图象和性质综合应用，通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三层设计，实现从单一知识点到综合问题的进阶，适配新授课知识内化与能力提升需求，培养数学抽象、推理能力及模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义域、值域、单调性等单一概念|选择题1-6聚焦概念辨析，夯实基础认知| |中档|复合函数、恒成立问题、最值求解|填空题10-12及解答题13-14强化运算推理，提升应用能力| |拔高|高斯函数、奇函数综合应用|15-16题结合跨知识情境，渗透数学建模与创新意识|

第3课时　指数函数图象和性质的综合应用 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.设函数f(x)=,则函数y=f的定义域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-∞,4] B. C.(0,4] D. 2.下列函数中值域为(0,+∞)的是 (　 ) A.y= B.y= C.y= D.y= 3.[2024·江西南昌三中高一月考] 函数f(x)=的单调递增区间为 (　 ) A.(-∞,-1] B.(-∞,1] C.[1,+∞) D.[3,+∞) 4.若函数f(x)=(a>0且a≠1)在(1,3)上单调递减,则关于x的不等式ax>1的解集为 (　 ) A.{x|x>1} B.{x|x<1} C.{x|x>0} D.{x|x<0} 5.[2024·四川凉山安宁河联盟高一期中] 若不等式≤对任意的x∈[3,4]恒成立,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C. D. 6.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为,则a的值为 (　 ) A. B. C. D.或 7.若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 (　 ) A.[4,8) B.(1,8) C.(4,8) D.(1,+∞) 8.(多选题)已知函数f(x)=2-x-2x,则下列结论中正确的是 (　 ) A.f(0)=0 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上是增函数 D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有唯一解 9.(多选题)设函数f(x)=|3x-1|,若c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式不成立的是 (　 ) A.3c>3b B.3b>3a C.3c+3a>2 D.3c+3a<2 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　.  11.[2024·辽宁名校联盟高一月考] 若函数f(x)=在区间D上单调递增,请写出一个满足条件的区间D:　　　　.  12.若函数y=在区间(-∞,1]上有意义,则实数a的取值范围是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)已知f(x)=9x-2×3x+4(x∈[0,2]),设t=3x(x∈[0,2]). (1)求t的最大值与最小值; (2)求f(x)的最大值与最小值. 14.(10分)[2024·广东茂名高一期末] 已知函数f(x)=2x. (1)是否存在实数b,使得当x∈[0,8]时,不等式f(x+1)≥f[(x+b)2]恒成立? (2)试求函数G(x)=f(x+1)+af(2x)(a∈R),x∈(-∞,0]的最大值H(a). 15.(5分)(多选题)[2024·山东烟台高一期末] 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-π]=-4,[1.5]=1.已知函数f(x)=,设g(x)=[f(x)],则 (　 ) A.f(x)是奇函数 B.g(x)是奇函数 C.f(x)在R上是增函数 D.g(x)的值域是{-1,0} 16.(15分)[2024·湖南邵阳高一期末] f(x)是定义在[-8,8]上的奇函数,当x∈[-8,0]时,f(x)=+. (1)求f(x)在(0,8]上的解析式; (2)若当x∈[-8,0]时,不等式f(x)≥-恒成立,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　指数函数图象和性质的综合应用 1.A　[解析] 因为f(x)=,所以f=,所以4-≥0,即≤4,即≤1,解得x≤4,所以y=f的定义域为(-∞,4],故选A. 2.A　[解析] 因为2-x∈R,所以函数y=的值域为(0,+∞);函数y=的值域为[0,1);函数y=的值域为[0,+∞);y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).故选A. 3.A　[解析] 因为f(x)=,所以x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为t=x2-2x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=1,y=在[0,+∞)上单调递增,所以y=在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.又y=在R上单调递减,所以f(x)=在(-∞,-1]上单调递增,在[3,+∞)上单调递减,即f(x)=的单调递增区间为(-∞,-1].故选A. 4.D　[解析] ∵f(x)=在(1,3)上单调递减,且t=x2-2x+1在(1,3)上单调递增,∴函数y=at在定义域上是减函数,∴0<a<1.由ax>1,得x<0,即不等式的解集为{x|x<0}. 5.D　[解析] 由已知得不等式≤22ax-3对任意的x∈[3,4]恒成立,根据指数函数的单调性得x2+1≤2ax-3对任意的x∈[3,4]恒成立,即2a≥对任意的x∈[3,4]恒成立.设y==x+,根据对勾函数的单调性知y=x+在[3,4]上单调递增,则当x∈[3,4]时,x+≤4+=5,则2a≥5,解得a∈,则实数a的取值范围为.故选D. 6.D　[解析] 当0<a<1时,函数f(x)=ax在[-2,2]上单调递减,则f(x)max=f(-2)=,f(x)min=f(2)=a2,所以+a2=,可得a=;当a>1时,函数f(x)=ax在[-2,2]上单调递增,则f(x)max=f(2)=a2,f(x)min=f(-2)=,所以a2+=,可得a=.综上,a=或.故选D. 7.A　[解析] 因为函数f(x)是R上的增函数,所以解得4≤a<8,所以实数a的取值范围是[4,8).故选A. 8.ABD　[解析] ∵f(x)=2-x-2x,∴f(0)=20-20=0,A正确;∵f(-x)=2x-2-x=-f(x),∴f(x)是奇函数,B正确;f(x)=-2x在R上是减函数,C错误;∵当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→-∞,∴f(x)的值域是R,又f(x)是R上的减函数,∴对任意实数a,方程f(x)-a=0都有唯一解,D正确.故选ABD. 9.ABC　[解析] 依题意,f(x)=|3x-1|=作出f(x)的图象,如图所示.由图可知,要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立,则c<0且a>0,设f(t)=f(a),且t<a,则b∈(t,a),故必有3c<1且3a>1,又f(c)-f(a)>0,所以1-3c-(3a-1)>0,即3c+3a<2,故D中关系式成立,C中关系式不成立;由c<b<a,结合指数函数的性质,易知3c<3b,3b<3a,故A,B中关系式均不成立.故选ABC. 10.-　[解析] 当a>1时,此方程组无解;当0<a<1时,解得∴a+b=-2=-. 11.[-3,0](答案不唯一)　[解析] 令g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,可得函数g(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.由函数y=在定义域R上为减函数,结合复合函数的单调性的判定方法,可得函数f(x)在(-∞,1]上单调递增,即D⊆(-∞,1],可取D=[-3,0]. 12.　[解析] 设2x=t,因为x∈(-∞,1],所以0<t≤2,则由题意得1+t+at2≥0恒成立,所以a≥-恒成立.设f(t)=-=-+,因为0<t≤2,所以∈,所以当=,即t=2时,f(t)取得最大值-,所以a≥-. 13.解:(1)∵t=3x在[0,2]上单调递增,∴1≤t≤9,即t的最大值为9,最小值为1. (2)令y=t2-2t+4=(t-1)2+3,∵1≤t≤9,y=t2-2t+4在[1,9]上单调递增,∴当t=1时,y取得最小值3,当t=9时,y取得最大值67, 即f(x)的最大值为67,最小值为3. 14.解:(1)假设存在满足题意的实数b,函数f(x)=2x在定义域R上单调递增,不等式f(x+1)≥f[(x+b)2], 则x+1≥(x+b)2,即x2+(2b-1)x+b2-1≤0. 依题意,∀x∈[0,8],g(x)=x2+(2b-1)x+b2-1≤0恒成立,由于g(x)的图象开口向上, 故只需该方程组无解, 故不存在实数b,使得当x∈[0,8]时,不等式f(x+1)≥f[(x+b)2]恒成立. (2)函数G(x)=2x+1+a·22x,x∈(-∞,0], 令t=2x∈(0,1],φ(t)=at2+2t,t∈(0,1]. 当a=0时,函数φ(t)在(0,1]上单调递增,φ(t)max=φ(1)=2. 当a≠0时,φ(t)=at2+2t=a-,t∈(0,1], 当-<0,即a>0时,φ(t)的图象开口向上,函数φ(t)在(0,1]上单调递增,所以φ(t)max=φ(1)=a+2; 当0<-<1,即a<-1时,φ(t)的图象开口向下,φ(t)max=φ=-; 当-≥1,即-1≤a<0时,φ(t)的图象开口向下,函数φ(t)在(0,1]上单调递增,φ(t)max=φ(1)=2+a. 综上,H(a)= 15.ACD　[解析] 由x∈R且f(-x)===-f(x),得f(x)是奇函数,A正确;由f(x)=1-,结合指数函数、复合函数的单调性,易知f(x)在R上是增函数,C正确;由g(1)=[f(1)]==0,g(-1)=[f(-1)]==-1,得g(-1)≠-g(1),则g(x)不是奇函数,B错误;当x≥0时,1+2x≥2,则f(x)=1-∈[0,1),此时g(x)=0,当x<0时,1<1+2x<2,则f(x)=1-∈(-1,0),此时g(x)=-1,所以g(x)的值域是{-1,0},D正确.故选ACD. 16.解:(1)因为f(x)是定义在[-8,8]上的奇函数, 所以f(0)=+=0,解得a=-1, 即当x∈[-8,0]时,f(x)=-. 设x∈(0,8],则-x∈[-8,0), 则f(-x)=-=4x-3x, 又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(4x-3x)=3x-4x,所以当x∈(0,8]时,f(x)=3x-4x. (2)当x∈[-8,0]时,不等式f(x)≥-恒成立, 即-≥-恒成立,可得m≤+恒成立,所以m≤+对x∈[-8,0]恒成立. 设h(x)=+,x∈[-8,0], 易知y=,y=在[-8,0]上均单调递减,则h(x)在[-8,0]上单调递减, 可得h(x)min=h(0)=2,则m≤2, 所以实数m的取值范围为(-∞,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $