精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋期高二年级10月阶段检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 点坐标为，直线为，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 2 B. 10 C. 2或9 D. 2或10 4. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆相交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线（）恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若 ，则的面积为 C. 记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D. 若M是圆 上任一点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 13. 已知为椭圆上一动点，，为椭圆的左、右焦点，点，则周长的最小值是________. 14. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 15. 在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为. （1）过点作圆的两条切线，求这两条切线的斜率之和； （2）若过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 16. 双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上一点满足，求的面积. 17. 已知直线与直线． （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （3）中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 18. 已知圆，直线过原点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 19. 已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. （1）求该椭圆的方程； （2）已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期高二年级10月阶段检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 2. 点坐标为，直线为，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】根据点到直线的距离公式，将和直线（，，）代入，得. 故选：D. 3. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 2 B. 10 C. 2或9 D. 2或10 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】，，，， 由，由得或10， 又. 所以. 故选：B. 4. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 5. 已知直线与圆相交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 6. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 7. 已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆内切半径关系可得： ，根据椭圆的定义可得点的轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故长半轴，半焦距 ,则短半轴 点轨迹方程为. 故选：C. 8. 设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线（）恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，分离参数联立方程求定点判断对错； 选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角； 选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数； 选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值． 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若 ，则的面积为 C. 记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D. 若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 13. 已知为椭圆上一动点，，为椭圆的左、右焦点，点，则周长的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程得到参数，即得到焦点坐标，求得，然后由三角形三边关系求得周长的最小值. 【详解】，，，，， 法一：，由， 的周长的最小值为. 法二：的周长的最小值为. 故答案为：. 14. 已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 15. 在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为. （1）过点作圆的两条切线，求这两条切线的斜率之和； （2）若过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，根据圆心到切线的距离等于圆的半径，可得出关于的等式，解出的值，即可得出结果； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 圆的标准方程为， 又因为，即点在圆外， 若切线斜率不存在，则该直线的方程为，圆心到直线的距离为， 则直线与圆相交，所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 所以，整理可得，解得或， 故两切线的斜率之和为. 【小问2详解】 由题意可知，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上一点满足，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代点的坐标入曲线方程，结合离心率和的关系建立方程组，求得的值，即可得到曲线方程； （2）由双曲线上的点到两焦点距离差为，两焦点间的距离，结合余弦定理即可求得，然后得到三角形面积. 【小问1详解】 由题意知： ， 解得， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 由题意得，， 在中，由余弦定理得： 即：，， ， 所以的面积为. 17. 已知直线与直线． （1）若，求的值； （2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （3）中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由两直线互相垂直列方程即可求； （2）根据题意求出，分直线的截距均为0和均不为0两种情况讨论即可； （3）由直线求出，由边上的高方程求出，得到直线的方程，联立直线与求出点，设，求出，代入直线的方程，与直线联立得出，即可求直线的方程. 【小问1详解】 因为，所以， 解得或. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以，解得， 因为直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线方程为， 所以，此时直线的方程为； 当两截距均不为0时，设直线的方程为， 将点代入得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，所以直线的方程为：或. 【小问3详解】 由可得， 由得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线， 所以直线的方程为：即， 又因为所在直线的方程为， 由解得，所以， 设，则中点， 代入得，整理得， 由，解得，所以， 所以直线的方程为：即. 18. 已知圆，直线过原点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1）或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）先检验直线斜率不存在时是否满足条件，当直线斜率存在时设直线的方程，根据点到直线的距离等于半径，求出斜率，由此可得结论； （2）先说明直线的斜率存在，再设其方程为，由点到直线的距离公式及直线与圆相交时的弦长公式，求出面积的表达式，利用二次函数的性质即得. 【小问1详解】 圆的圆心的坐标为，半径， ①当直线的斜率不存在时，直线为， 圆心到直线的距离， 直线为圆的切线， ②当斜率存在时，设直线为， 圆心到直线的距离， 由题知直线与圆相切， 则，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 直线的斜率不存在时，直线为与圆相切，不符合题意，故直线斜率必存在， 设直线的方程为， 圆心到直线的距离，弦长， 所以， 当时，面积最大， 此时，整理得， 解得， 所以直线的方程或. 19. 已知椭圆的左右焦点为，点为椭圆上异于左右顶点的任意一点，的周长为6，椭圆的离心率为. （1）求该椭圆的方程； （2）已知定点，过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点（与点不重合），延长分别与直线交于两点. （i）当直线斜率不存在时，求的面积； （ii）证明：以线段为直径的圆与轴的交点为定点. 【答案】（1）； （2）（i）， （ii）根据题意，设，，，以线段为直径的圆与轴的交点为， 联立，消去整理得， ，则，， 所以直线的方程为：，令，求得， ，同理，可得， ，， 由，即， 又 ， ，解得或， 所以以线段为直径的圆与轴的交点为定点和. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程组进而求出得解； （2）（i）当的斜率不存在时，求出的坐标，进而求得的面积；（ii）设，，，以线段为直径的圆与轴的交点为，与椭圆联立可得根与系数关系，由，运算求得为常数，得证. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，则，解得， ，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由题，，当的斜率不存在时，可得， 则，，， 直线，令，解得，即， ， 所以的面积为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $