精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025年秋期高二年级数学月考 考试范围：第一章一第三章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. -5 C. 1或-5 D. 1或-8 4. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 6. 过圆内一点作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），且，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ） A. B. 是等腰直角三角形 C. 与平行的单位向量的坐标为或 D. 在方向上的投影向量的坐标为 10. 已知是圆C：上的动点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是________． 13. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 14. 已知椭圆，圆，直线与椭圆交于点，过作椭圆的切线交圆于、两点（在的左侧），则______． 四、解答题 15. 已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 16. 如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． （1）求证：； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． （1）求E的方程； （2）过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 18. 如图，在四棱锥中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，，，M为棱PC的中点． （1）求直线BM与平面PAB所成角的正弦值； （2）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出线段CQ的长度；若不存在，说明理由． 19. 设，过点的直线与椭圆交于两点（点在点左侧），直线与直线交于点，设直线的斜率分别为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期高二年级数学月考 考试范围：第一章一第三章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求夹角、模长、数量积判断A、B、D；根据共线定理判断向量是否平行判断C. 【详解】由，B错误； 由，所以，D正确． 由，A错误， 如果则存在实数使，显然不成立，C错误. 故选：D 2. 若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角得到斜率，由两点斜率公式得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 3. 已知两点到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. -5 C. 1或-5 D. 1或-8 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】因为两点到直线的距离相等， 所以或， 故选：C. 4. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线及直线方程，通过直曲联立求出点的横坐标，再根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】因为，由抛物线的定义可知到准线距离为，即，解得：， 即抛物线方程为，代入点坐标得，即. 不妨取，又， 则直线的斜率为，所以直线为， 联立，消去整理得：， 解得：，，即点的横坐标为， 由此可得：，即得：. 故选：B 5. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知直线经过点且以向量为方向向量，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】因为直线的方程为，即为， 可知直线经过点且以向量为方向向量， 可得，所以点到距离为. 故选：B. 6. 过圆内一点作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设，，用表示，再结合基本不等式的知识即可得最大值. 【详解】过点O分别作AB，CD的垂线，垂足为M，N，则四边形OMPN为矩形， 所以． 设，，则，， 所以，，所以． 因为 （当且仅当时取得最大值），所以的最大值为， 故选：A． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解． 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，，， 又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以垂直平分线段，所以， 又因为，所以，， 在直角三角形中，， 于是的面积为． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解. 8. 已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），且，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方体体积求出棱长，再利用勾股定理求出动点到定点的距离，从而确定动点的轨迹，最后根据圆的弧长公式求出轨迹长度. 【详解】因为正方体的体积为8，故， ，则，而， 故， 故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分， 即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为； 故选：D 二、多选题 9. 空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ） A. B. 是等腰直角三角形 C. 与平行的单位向量的坐标为或 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查空间向量的坐标运算，利用向量的加减法得出坐标，再利用向量的模长公式，可判断A选项；计算出三角形三条边长，可判断B选项；与已知向量平行的单位向量计算公式：可判断C选项；根据在方向上的投影向量与向量共线的性质，可判断D选项. 【详解】根据空间向量的线性运算， ，选项A正确； 计算可得，三条边不相等，选项B不正确； 与平行的单位向量为： 选项C正确； 在方向上的投影向量与向量共线，，选项D不正确， 故选：AC. 10. 已知是圆C：上的动点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离可得，求解即可判断AB；设，利用点到直线的距离可得，求解即可判断CD. 【详解】由圆C：，可得圆心，半径， 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点， 所以，所以， 整理得，解得， 所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点， 所以，所以，解得， 所以的最大值为，最小值为，故CD正确. 故选：ACD. 11. 已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题设易得，进而得到抛物线：，，进而求解判断即可；对于B，设，，：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及向量运算可得为钝角，进而判断即可；对于C，表示出直线的斜率为，进而分析判断即可；对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，结合抛物线的定义可得为的中点，可得平行于轴，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题可知，则，则抛物线：，， 故，故A错误； 对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：， 联立，得， 则， 且，，则， 所以， 所以，因为， 所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确； 对于C，由B知，的中点的纵坐标为， 横坐标为， 所以直线的斜率为， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，， 因为，所以， 因为为的中点，所以平行于轴， 因为，所以，则，即， 故直线的斜率为2，故D正确． 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是________． 【答案】平行或直线在面内 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得结论. 【详解】由，， 可得，所以， 所以直线与平面的位置关系是平行或直线在面内． 故答案为：平行或直线在面内. 13. 过双曲线（）的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取线段的中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答. 【详解】设双曲线的右焦点为，半焦距为，取线段的中点， 因为切圆于，则，有， 因为，则有，， 而为的中点，于是即，， 在中，，整理得， 所以双曲线的离心率为． 故答案为：. 14. 已知椭圆，圆，直线与椭圆交于点，过作椭圆的切线交圆于、两点（在的左侧），则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用大圆性质拓展（1）的结论求解即可. 【详解】由椭圆大圆的性质拓展（1）的结论可得. 故答案为：3． 四、解答题 15. 已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心为，由可求得的值，可得出圆心的坐标和圆的半径，即可得出圆的方程； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论.若存在时，设直线l的方程为，由题意可得，求解即可. 【小问1详解】 ∵圆M的圆心在直线上，∴可设圆心M的坐标为， 由，得，解得， ∴圆心M的坐标为，半径． ∴圆M的方程为． 【小问2详解】 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心M到直线l的距离， 解得或， ∴直线l的方程为或； 当当直线l的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以弦长为，故不符合题意； 综上所述：直线l的方程为或. 16. 如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． （1）求证：； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且，连接MD，DE，NE， 则，∴，， ∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴，， 又P是的中点，∴． ∴，，∴四边形DMNE是平行四边形， ∴， 又，， ∴． （2） 【解析】 【分析】(1)构建平行四边形使得平行于平面的一条直线即可. (2)构建空间直角坐标系利用空间向量进行空间角的求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点为Q，连接DB，DQ，易知DB，DQ，DC两两互相垂直． 以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则，，，， ∴，∴， ∴，，． 设平面的法向量为， 则取，则，， ∴平面的一个法向量为． 设直线MN与平面所成的角为θ，则 ， 即直线MN与平面所成角的正弦值为. 17. 已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． （1）求E的方程； （2）过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 【答案】（1） （2）证明：依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点． 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的性质求得，利用离心率求得，进而求得，可求解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，结合韦达定理得，，求得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【小问1详解】 设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，，，M为棱PC的中点． （1）求直线BM与平面PAB所成角的正弦值； （2）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出线段CQ的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）建系求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （2）设，再应用点到平面距离向量公式计算求参，再应用模长公式计算. 【小问1详解】 因为，，两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系， ，，，，， 得，，， 设平面的一个法向量为， 得，令，得， 所以 所以 所以直线与平面所成角的正弦值是． 【小问2详解】 假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，则，， 设平面的一个法向量为 由，得， 令，得，得， 所以， ∴点到平面的距离是，， 即，存在点满足题意， 此时，所以 19. 设，过点的直线与椭圆交于两点（点在点左侧），直线与直线交于点，设直线的斜率分别为，求． 【答案】2 【解析】 【分析】分直线的斜率为0和不为0两种情况，当的斜率不为0时，设直线的方程为，设，联立椭圆方程消去x，将坐标化，然后利用韦达定理代入化简即可得证. 【详解】解：当直线的斜率为0时，则直线为轴，由题意可得， 所以直线的方程为，令，可得， 即，所以， 当直线的斜率不为0时，如图，设直线的方程为， 设， 联立整理得， 可得， 即，且，可得， 直线的方程为，令， 可得，即， 因为直线的斜率和直线的斜率相同， 所以 ． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $